1第七章機械振動

◆教學基本要求1.掌握描述簡諧振動的各物理量（特別是相位）及各量間的關系。2.理解旋轉(zhuǎn)矢量法。3.掌握簡諧振動的基本特征，能建立一維簡諧振動的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧振動的運動方程，并理解其物理意義。4.理解同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成規(guī)律。教學基本要求

§1簡諧運動第七章機械振動機械振動是指物體在一定位置附近作周期性往復運動振動的分類：受迫振動自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由諧振動簡諧振動機械振動的成因:回復力;慣性.1.簡諧振動的動力學方程(1)彈簧振子moxF受力

F=－kx由牛頓第二定律令機械振動則

§1簡諧運動1.簡諧振動的動力學方程(1)彈簧振子mox受力

F=－kx由牛頓第二定律令F凡滿足以上特征的運動叫簡諧運動.物體受線性恢復力的作用;或加速度與位移大小成正比,而方向相反;或有簡諧運動的微分方程.忽略空氣阻力，質(zhì)點在平衡點附近往復運動.(2)單擺(數(shù)學擺)重力矩：M=－mgl

sinθ簡諧運動則凡滿足以上特征的運動叫簡諧運動.物體受線性恢復力的作用;或加速度與位移大小成正比,而方向相反;或有簡諧運動的微分方程.忽略空氣阻力，質(zhì)點在平衡點附近往復運動.(2)單擺(數(shù)學擺)重力矩：M=－mgl

sinθPFmAlθO根據(jù)轉(zhuǎn)動定律：而

J=ml2在小角度條件下sinθ≈θ(θ<5°)簡諧運動PFmAlθO根據(jù)轉(zhuǎn)動定律：而

J=ml2在小角度條件下sinθ≈θ(θ<5°)質(zhì)點作簡諧運動(3)復擺(物理擺)質(zhì)量為m的任意形狀的物體,繞過O點的水平軸作微小的自由擺動，稱為復擺.OClθ??P設復擺的轉(zhuǎn)動慣量為J,復擺的質(zhì)心C到O的距離為OC=l簡諧運動質(zhì)點作簡諧運動(3)復擺(物理擺)質(zhì)量為m的任意形狀的物體,繞過O點的水平軸作微小的自由擺動，稱為復擺.OClθ??P設復擺的轉(zhuǎn)動慣量為J,復擺的質(zhì)心C到O的距離為OC=lM=－mgl

sinθ當θ很小時,M=－mgl

θ由轉(zhuǎn)動定律或重力矩：令簡諧運動微分方程2.諧振的速度與加速度簡諧運動M=－mgl

sinθ當θ很小時,M=－mgl

θ由轉(zhuǎn)動定律或重力矩：令簡諧運動微分方程2.諧振的速度與加速度簡諧運動微分方程的解為:A、φ為待定系數(shù)那么速度為:式中vm=ωA為速度振幅加速度為:式中am=ω2A為加速度振幅簡諧運動簡諧運動微分方程的解為:A、φ為待定系數(shù)那么速度為:式中vm=ωA為速度振幅加速度為:式中am=ω2A為加速度振幅可見a(t)振動超前v(t)π/2；v(t)振動超前x(t)π/2§2描述簡諧振動的物理量速度振幅:vm=ωA1.振幅A式中A為振幅:簡諧運動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值加速度振幅:am=ω2A2.周期頻率圓頻率周期T:物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間描述簡諧振動的物理量所以彈簧振子:單擺:頻率ν:單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)描述簡諧振動的物理量可見a(t)振動超前v(t)π/2；v(t)振動超前x(t)π/2§2描述簡諧振動的物理量速度振幅:vm=ωA1.振幅A式中A為振幅:簡諧運動的物體離開平衡位置最大位移的絕對值加速度振幅:am=ω2A2.周期頻率圓頻率周期T:物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間所以彈簧振子:單擺:頻率ν:單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)圓頻率ω:物體在2π秒時間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)(又叫角頻率)

單位:rad/s固有頻率彈簧振子3.相位和初相位相位(ωt+φ):決定物體在任意時刻的振動狀態(tài)

初相位φ:決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài)描述簡諧振動的物理量相位即可以決定振動狀態(tài)(x,v),也常用來比較兩個諧振動是否同步4.常數(shù)A和φ的確定(方法1.公式法)由振動運動方程:由初始條件t=0時位移x0和速度v0聯(lián)立求解得:描述簡諧振動的物理量圓頻率ω:物體在2π秒時間內(nèi)所作的完全振動次數(shù)(又叫角頻率)

單位:rad/s固有頻率彈簧振子3.相位和初相位相位(ωt+φ):決定物體在任意時刻的振動狀態(tài)

初相位φ:決定初始時刻振動物體的運動狀態(tài)相位即可以決定振動狀態(tài)(x,v),也常用來比較兩個諧振動是否同步4.常數(shù)A和φ的確定(方法1.公式法)由振動運動方程:由初始條件t=0時位移x0和速度v0聯(lián)立求解得:上式解出φ的有兩個值,一般由初始速度確定最后的取值.§3旋轉(zhuǎn)矢量法用幾何方法來表示簡諧振動作一矢量A,使它在oxy平面上繞點o作逆時針勻速轉(zhuǎn)動,角速度ω,其矢量的端點M在x軸上的投影點P的運動為簡諧運動.旋轉(zhuǎn)矢量法上式解出φ的有兩個值,一般由初始速度確定最后的取值.§3旋轉(zhuǎn)矢量法用幾何方法來表示簡諧振動作一矢量A,使它在oxy平面上繞點o作逆時針勻速轉(zhuǎn)動,角速度ω,其矢量的端點M在x軸上的投影點P的運動為簡諧運動.oxy

t=0時,矢端在M0點t時刻,矢端在M點.M點的投影點的坐標為xφωt+φPM0MωxA可見,矢量A作勻速轉(zhuǎn)動時,旋轉(zhuǎn)矢量法oxy

t=0時,矢端在M0點t時刻,矢端在M點.M點的投影點的坐標為xφωt+φPM0MωxA可見,矢量A作勻速轉(zhuǎn)動時,其端點M在ox軸上的投影點的運動就是諧振動.旋轉(zhuǎn)矢量法的優(yōu)點(1)把變速直線運動轉(zhuǎn)化為勻速圓周運動.(2)利用該方法可方便地畫出x~t,v~t,a~t圖(3)可方便地比較兩個振動的相位,方便地求初相位(4)方便地進行兩個振動的合成例題1一輕彈簧的右端連著一物體,彈簧的勁度系數(shù)為旋轉(zhuǎn)矢量法其端點M在ox軸上的投影點的運動就是諧振動.旋轉(zhuǎn)矢量法的優(yōu)點(1)把變速直線運動轉(zhuǎn)化為勻速圓周運動.(2)利用該方法可方便地畫出x~t,v~t,a~t圖(3)可方便地比較兩個振動的相位,方便地求初相位(4)方便地進行兩個振動的合成例題1一輕彈簧的右端連著一物體,彈簧的勁度系數(shù)為k=0.72N/m,物體的質(zhì)量m=20g.(1)把物體從平衡位置向右拉到x=0.05m處停下后再釋放,求簡諧運動方程;(2)求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過A/2處時的速率;(3)如果物體在x=0.05m處時速度不等于零,而是具有向右的初速度v0=0.30m/s,求其運動方程.解（1）先求角頻率ω

、振幅A、初相位φ旋轉(zhuǎn)矢量法k=0.72N/m,物體的質(zhì)量m=20g.(1)把物體從平衡位置向右拉到x=0.05m處停下后再釋放,求簡諧運動方程;(2)求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過A/2處時的速率;(3)如果物體在x=0.05m處時速度不等于零,而是具有向右的初速度v0=0.30m/s,求其運動方程.解（1）先求角頻率ω

、振幅A、初相位φ由旋轉(zhuǎn)矢量圖知φ=0所以運動方程為：oxA旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量圖知φ=0所以運動方程為：oxA(2)求A/2處的速度由運動方程由旋轉(zhuǎn)矢量圖知第一次經(jīng)過A/2oxAA/2π/3A(3)因x0=0.05m,v0=0.3m/s旋轉(zhuǎn)矢量法(2)求A/2處的速度由運動方程由旋轉(zhuǎn)矢量圖知第一次經(jīng)過A/2oxAA/2π/3A(3)因x0=0.05m,v0=0.3m/s又v0=－Aωsinφ>0設

x=A

cos(6t+φ)t=0時x0=Acos

φ即：0.05=0.07cos

φ所以φ?。?4oxA-π/4旋轉(zhuǎn)矢量法又v0=－Aωsinφ>0設

x=A

cos(6t+φ)t=0時x0=Acos

φ即：0.05=0.07cos

φ所以φ取－π/4oxA-π/4例題2一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運動,其振幅為0.08m,周期為4s,起始時刻在x=0.04m處,向Ox軸負方向運動.試求:(1)t=1.0s時,物體所處的位置和所受的力;(2)由起始位置運動到x=－0.04m處所需要的最短時間.解:已知A=0.08m在t=0時有0.04=0.08cosφ由x=Acos(ωt+φ)旋轉(zhuǎn)矢量法例題2一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運動,其振幅為0.08m,周期為4s,起始時刻在x=0.04m處,向Ox軸負方向運動.試求:(1)t=1.0s時,物體所處的位置和所受的力;(2)由起始位置運動到x=－0.04m處所需要的最短時間.解:已知A=0.08m在t=0時有0.04=0.08cosφ由x=Acos(ωt+φ)所以而v0=－ωAsinφ<0(1)t=1.0s時由上式解得x=－0.069mF=－kx=－mω2x=1.70×10－3N(2)設最短時間為t由受力為旋轉(zhuǎn)矢量法§4簡諧運動的能量所以而v0=－ωAsinφ<0(1)t=1.0s時由上式解得x=－0.069mF=－kx=－mω2x=1.70×10－3N(2)設最短時間為t由受力為以彈簧振子為例：當其位移為x，速度為v時系統(tǒng)的動能moxv簡諧運動的能量§4簡諧運動的能量以彈簧振子為例：當其位移為x，速度為v時系統(tǒng)的動能moxv系統(tǒng)的勢能利用k=mω2總能彈簧振子的總能量與振幅的平方成正比.k、A都是常量，因此總能量守恒.但動能、勢能相互轉(zhuǎn)換.例題3定滑輪的半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為J,輕繩繞過滑輪一端與固定的輕彈簧相連.簡諧運動的能量系統(tǒng)的勢能利用k=mω2總能彈簧振子的總能量與振幅的平方成正比.k、A都是常量，因此總能量守恒.但動能、勢能相互轉(zhuǎn)換.例題3定滑輪的半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為J,輕繩繞過滑輪一端與固定的輕彈簧相連.彈簧的勁度系數(shù)為k,另一端掛質(zhì)量為m的物體,現(xiàn)將m從平衡位置向下拉一微小距離后放手.試證明物體作簡諧振動,并求其振動周期.(設繩與滑輪滑動,摩擦及空氣阻力忽略).解:用能量法求解>>>>>x0?xo設平衡點為坐標原點,向下為x正向.平衡時kx0=mg當物體在x點時,其速度為vxv簡諧運動的能量彈簧的勁度系數(shù)為k,另一端掛質(zhì)量為m的物體,現(xiàn)將m從平衡位置向下拉一微小距離后放手.試證明物體作簡諧振動,并求其振動周期.(設繩與滑輪滑動,摩擦及空氣阻力忽略).解:用能量法求解>>>>>x0?xo設平衡點為坐標原點,向下為x正向.平衡時kx0=mg當物體在x點時,其速度為vxv取平衡點為重力勢能零點,系統(tǒng)的總能守恒利用v=Rωkx0=mg化簡上式上式兩邊對t求導:簡諧運動的能量取平衡點為重力勢能零點,系統(tǒng)的總能守恒利用v=Rωkx0=mg化簡上式上式兩邊對t求導:上式消去v后，有任意時刻上式表明證明物體作簡諧振動,周期T:即：簡諧運動的能量§5簡諧運動的合成1.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成設兩個簡諧運動同方向(x),同頻率(ω).運動方程分別為:合位移應在同一方向上(x)x=x1+x2

旋轉(zhuǎn)矢量法當A1、A2以相同的頻率ω旋轉(zhuǎn)時，合矢量A也以相同的頻率ω旋轉(zhuǎn)，其合位移為上式消去v后，有任意時刻上式表明證明物體作簡諧振動,周期T:即：簡諧運動的合成§5簡諧運動的合成1.兩個同方向同頻率簡諧運動的合成設兩個簡諧運動同方向(x),同頻率(ω).運動方程分別為:合位移應在同一方向上(x)x=x1+x2

旋轉(zhuǎn)矢量法當A1、A2以相同的頻率ω旋轉(zhuǎn)時，合矢量A也以相同的頻率ω旋轉(zhuǎn)，其合位移為xoxx2x1x2φ1A1φ2A2φA合振動仍為諧振動，角頻率與分振動相同，振幅A、初相φ如上.簡諧運動的合成xoxx2x1x2φ1A1φ2A2φA合振動仍為諧振動，角頻率與分振動相同，振幅A、初相φ如上.(1)若相位差(φ2

－φ1)=2kπ(k=0,±1,±2,…),則分振動同相位,合振動加強(2)若相位差分振動反相位,合振動減弱(3)一般情況下|A1－A2|<A<(A1+A2)(φ2

－φ1)=(2k+1)π(k=0,±1,±2,…),則討論簡諧運動的合成(1)若相位差(φ2

－φ1)=2kπ(k=0,±1,±2,…),則分振動同相位,合振動加強(2)若相位差分振動反相位,合振動減弱(3)一般情況下|A1－A2|<A<(A1+A2)(φ2

－φ1)=(2k+1)π(k=0,±1,±2,…),則討論例題4求合成振動的表達式解:已知A1=6,φ1=0.75π;A2=8,φ2=0.25π已知合振動為簡諧運動的合成例題4求合成振動的表達式解:已知A1=6,φ1=0.75π;A2=8,φ2=0.25π已知合振動為2.兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成由于兩振動頻率不同,則它們的相位差不恒定.合振動一般不是簡諧運動.設某時刻兩振動相位差為0時,作為計時起點,此時求:

x=x1+x2為簡單起見.設A1=A2則:簡諧運動的合成2.兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成由于兩振動頻率不同,則它們的相位差不恒定.合振動一般不是簡諧運動.設某時刻兩振動相位差為0時,作為計時起點,此時求:

x=x1+x2為簡單起見.設A1=A2則:在|2－1|<<(2+1)下討論，隨t緩變隨t

迅變可認為合振動是頻率為振幅為簡諧運動的合成在|2－1|<<(2+1)下討論，隨t緩變隨t

迅變可認為合振動是頻率為振幅為其振幅也作緩慢的周期性變化.其大小在0~2A之間xtx2tx1t拍振動時而加強,時而減弱的現(xiàn)象叫拍簡諧運動的合成其振幅也作緩慢的周期性變化.其大小在0~2A之間xtx2tx1t拍振動時而加強,時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍頻ν:振幅變化的頻率ν=ν2－ν13.兩個方向垂直不同頻率簡諧運動的合成設某時刻兩振動相位差為0時,作為計時起點,此時則有:方程對應的圖形隨著兩個不同頻率的改變而形成不同的如薩爾圖形簡諧運動的合成拍頻ν:振幅變化的頻率ν=ν2－ν13.兩個方向垂直不同頻率簡諧運動的合成設某時刻兩振動相位差為0時,作為計時起點,此時則有:方程對應的圖形隨著兩個不同頻率的改變而形成不同的如薩爾圖形

§6

阻尼振動受迫動共振1.阻尼振動物體受阻力F=－Cv對彈簧振子－kx－Cv=ma或令k/m=ω02,C/m=2δ解為在δ2<ω02時（弱阻尼）阻尼振動受迫動共振

§6

阻尼振動受迫動共振1.阻尼振動物體受阻力F=－Cv對彈簧振子－kx－Cv=ma或令k/m=ω02,C/m=2δ解為在δ2<ω02時（弱阻尼）式中δ叫阻尼系數(shù),ω0叫固有頻率Atx-AO阻尼振動的振幅隨時間t作指數(shù)衰減周期T大于無阻尼自由振動T0阻尼振動受迫動共振式中δ叫阻尼系數(shù),ω0叫固有頻率Atx-AO阻尼振動的振幅隨時間t作指數(shù)衰減周期T大于無阻尼自由振動T0為過阻尼若阻尼很大為臨界阻尼當系統(tǒng)不再作周期運動而緩慢回到平衡位置(黃線).系統(tǒng)不能往復運動,物體更快回到平衡位置.是一種臨界情況.Atx-AO阻尼振動受迫動共振為過阻尼若阻尼很大為臨界阻尼當系統(tǒng)不再作周期運動而緩慢回到平衡位置(黃線).系統(tǒng)不能往復運動,物體更快回到平衡位置.是一種臨界情況.Atx-AO2.受迫振動系統(tǒng)受彈性力－kx、阻力－Cv、周期性外力Fcosωpt或有方程的解為阻尼振動受迫動共振2.受迫振動系統(tǒng)受彈性力－kx、阻力－Cv、周期性外力Fcosωpt或有方程的解為穩(wěn)定狀態(tài)下，物體與外驅(qū)動力同周期振動3.共振在周期性外力驅(qū)動下,受迫振動系統(tǒng)的振幅達到極大的現(xiàn)象叫共振.共振角頻率ωr:外力頻率ωp為ωr時出現(xiàn)共振阻尼振動受迫動共振穩(wěn)定狀態(tài)下，物體與外驅(qū)動力同周期振動3.共振在周期性外力驅(qū)動下,受迫振動系統(tǒng)的振幅達到極大的現(xiàn)象叫共振.共振角頻率ωr:外力頻率ωp為ωr時出現(xiàn)共振得AOω0ωp小阻尼阻尼→0大阻尼共振時的振幅阻尼振動受迫動