第一節(jié)布洛赫定理5.1.1布洛赫定理5.1.3布里淵區(qū)5.1.2波矢的取值和范圍本節(jié)主要內(nèi)容:§5.1布洛赫定理5.1.1布洛赫定理1.晶格的周期性勢(shì)場(chǎng)(3)理想晶體中原子排列具有周期性，晶體內(nèi)部的勢(shì)場(chǎng)具有周期性；(1)在晶體中每點(diǎn)勢(shì)能為各個(gè)原子實(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)能之和；(2)每一點(diǎn)勢(shì)能主要決定于與核較近的幾個(gè)原子實(shí)(因?yàn)閯?shì)能與距離成反比)；(4)電子的影響：電子均勻分布于晶體中，其作用相當(dāng)于在晶格勢(shì)場(chǎng)中附加了一個(gè)均勻的勢(shì)場(chǎng)，而不影響晶體勢(shì)場(chǎng)的周期性。其中為任意格點(diǎn)的位矢。電子在一個(gè)具有晶格周期性的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)2.布洛赫定理當(dāng)勢(shì)場(chǎng)具有晶格周期性時(shí)，波動(dòng)方程的解具有如下性質(zhì)：其中為電子波矢，是格矢。(1)平移對(duì)稱算符(2)晶體中單電子哈密頓量具有晶格周期性。平移對(duì)稱操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。在直角坐標(biāo)系中：由于對(duì)易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù)是的本征函數(shù)，那么也一定是算符的本征函數(shù)。根據(jù)平移特點(diǎn)(3)根據(jù)上式可得到同理可得：這樣的本征值取下列形式引入矢量式中為晶格三個(gè)倒格基矢，由于,---布洛赫定理再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：可以看出平面波能滿足上式。因此矢量具有波矢的意義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢，平面波也滿足上式。因此電子的波函數(shù)一般是這些平面波的線性疊加則上式化為即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。（其中l(wèi)j為任意整數(shù))，只能取一些分立的值?？梢宰C明是倒格矢。態(tài)和態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對(duì)應(yīng)同一故。個(gè)能量，為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征值一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，必須把波矢的值限制在一個(gè)倒格子原胞區(qū)間內(nèi)，通常?。涸诤?jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目N=N1N2N3。在波矢空間內(nèi)，由于N的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：電子的波矢密度為：例1：一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數(shù)為,

f為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。

解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以下特點(diǎn)：令m-n=l，據(jù)布洛赫定理，即在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中，即1.布里淵區(qū)定義在倒格空間中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線)，這些中垂面(或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。5.1.3布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)(簡(jiǎn)約布里淵區(qū))：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；取對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢?第n+1布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過n個(gè)中垂面(或中垂線)才能到達(dá)的區(qū)域(n為正整數(shù))。2.布里淵區(qū)作圖法晶體結(jié)構(gòu)布拉維晶格倒格點(diǎn)排列中垂面(中垂線)區(qū)分布里淵區(qū)倒格基矢正格基矢第一布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)布里淵區(qū)的面積=倒格原胞的面積高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢進(jìn)入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖。第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)布里淵區(qū)的簡(jiǎn)約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖第一區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第十區(qū)倒格仍為矩形。例3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖和簡(jiǎn)約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為。解:第一區(qū)第二區(qū)例5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為a。解：正格基矢：倒格基矢：體心立方倒格是邊長(zhǎng)為4/a的面心立方。已知面心立方正格基矢：HPN正方形正格簡(jiǎn)約布里淵區(qū)