第二講第一節(jié)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如圖所示，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，E為eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，分別連接BD、DE、BE，則△BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°解析：如右圖所示，連接AD．∵AB＝AC，D是eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，∴AD過圓心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是eq\o\ac(AC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.答案：B2．如圖所示，AB是半⊙O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，若CD＝3，AB＝4，則tan∠BPD＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(\r(7),3)解析：如右圖所示．連接BD，則∠BDP＝90°，∵∠DCP＝∠BAP，∠CDP＝∠ABP，∴△APB∽△CPD．∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(3,4).在Rt△BPD中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)，∴cos∠BPD＝eq\f(3,4).∴tan∠BPD＝eq\f(\r(7),3).答案：D3．AB為⊙O的直徑，AC為圓中的任意一弦，點(diǎn)D為eq\x\to(BC)的中點(diǎn)，那么OD()A．等于eq\f(1,2) B．等于ACC．與AC相交 D．與AC平行解析：如右圖所示，連接OC．∵D為eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，∴∠BOD＝∠DOC＝eq\f(1,2)∠BOC．又∵∠A＝eq\f(1,2)∠BOC，∴∠A＝∠BOD．∴OD∥AC，故選D．答案：D4.如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于()A．4π B．8πC．12π D．16π解析：由∠ACB＝30°知eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))所對圓心角為60°，由OB＝OA知△BOA為等邊三角形，故AB＝OB＝OA＝4，故S圓＝πr2＝π×42＝16π.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，則eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度數(shù)為_________，eq\o\ac(AOB,\s\up10(︵))的度數(shù)為________.解析：由圓心角定理，得eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度數(shù)＝∠AOB的度數(shù)＝100°，eq\o\ac(AOB,\s\up10(︵))的度數(shù)＝360°－eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的度數(shù)＝360°－100°＝260°，故填100°，260°.答案：100°260°6.如圖，△ABC是圓O的內(nèi)接等邊三角形，AD⊥AB，與BC的延長線相交于點(diǎn)D，與圓O相交于點(diǎn)E，若圓O的半徑r＝1，則DE＝________.解析：連接BE.∵AD⊥AB．所以BE為⊙O的直徑，且BE＝2r＝2.又∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝30°，∠EBD＝30°，又∵∠ABD＝60°，∴∠D＝∠EBD＝30°，∴DE＝BE＝2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)7.如圖，AB是⊙O的一條弦，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．求證：AC·CB＝DC·CE.證明：連接BD．在△ACE與△DCB中，∵∠EAC與∠BDC是同弧所對的圓周角，∴∠EAC＝∠BDC．又∵CE為∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB．∴eq\f(AC,CE)＝eq\f(DC,CB).∴AC·CB＝DC·CE.8．已知如圖，BC為半圓O的直徑，F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點(diǎn)，A是eq\o\ac(BF,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，BF交AD于點(diǎn)E.(1)求證：BE·BF＝BD·BC；(2)試比較線段BD與AE的大小，并說明道理．解析：(1)證明：連接FC，則BF⊥FC．在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°，∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC．∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(BD,BF).即BE·BF＝BD·BC．(2)連接AC、AB，則∠BAC＝90°.∵eq\o\ac(AF,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE＞BD，∴AE＞BD．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖，BC是半圓O的直徑，A、D為半圓O的三等分點(diǎn)，且BC＝4，P是直徑BC上的一動點(diǎn)，且PF⊥BD，PE⊥AC．(1)求PE＋PF的值；(2)如果點(diǎn)P是AD邊上的動點(diǎn)，那么PE＋PF的值是不是定值？如果PE＋PF是定值，請證明你的結(jié)論，如果不是定值，請說明理由．解析：(1)∵A，D為半圓O的三等分點(diǎn).eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，∴∠DBC＝∠ACB＝30°，又∵∠PFB＝∠PEC＝90°，∴BP＝2PF，PC＝2PE，∴BP＋PC＝2(PF＋PE)，∴PF＋PE＝eq\f(4,2)＝2.(2)P點(diǎn)在AD上時，PE＋PF是定值．∵A、D是半圓O的三等分點(diǎn)，∴∠DAC＝∠ADB＝30°，在Rt△PAE中，PE＝eq\f(1,2)AP，在Rt△PDF中，PF＝eq\f(1,2)PD．∴PE＋PF＝eq\f(1,2)