二、幾個初等(chūděng)函數(shù)的麥克勞林公式一、泰勒(tàilè)公式的建立三、泰勒(tàilè)公式的應(yīng)用應(yīng)用目的－用多項式近似表示函數(shù).理論分析近似計算泰勒公式第一頁，共25頁。特點(tèdiǎn):一、泰勒(tàilè)公式的建立以直代曲在微分(wēifēn)應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式第二頁，共25頁。1.求n次近似(jìnsì)多項式要求(yāoqiú):故令則第三頁，共25頁。2.余項估計(gūjì)令(稱為(chēnɡwéi)余項),則有第四頁，共25頁。第五頁，共25頁。公式①稱為的n+1

階泰勒公式

.公式②稱為(chēnɡwéi)n+1階泰勒公式的拉格朗日余項.泰勒(tàilè)(Taylor)中值定理:階的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù),時,有①其中②則當(dāng)泰勒第六頁，共25頁。公式(gōngshì)③稱為n+1階泰勒公式(gōngshì)的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確(jīngquè)表達式時,泰勒公式可寫為注意(zhùyì)到③④第七頁，共25頁。特例(tèlì):(1)當(dāng)n=0時,泰勒(tàilè)公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1時,泰勒(tàilè)公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差第八頁，共25頁。稱為(chēnɡwéi)麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒(tàilè)公式中若取則有誤差(wùchā)估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林由此得近似公式第九頁，共25頁。二、幾個初等函數(shù)(hánshù)的麥克勞林公式其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十頁，共25頁。其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十一頁，共25頁。麥克勞林公式(gōngshì)類似(lèisì)可得其中(qízhōng)第十二頁，共25頁。其中(qízhōng)麥克勞林公式(gōngshì)第十三頁，共25頁。已知其中(qízhōng)因此(yīncǐ)可得麥克勞林公式(gōngshì)第十四頁，共25頁。三、泰勒公式(gōngshì)的應(yīng)用1.在近似計算中的應(yīng)用(yìngyòng)誤差(wùchā)M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.第十五頁，共25頁。例1.計算無理數(shù)e的近似值,使誤差(wùchā)不超過解:已知令x=1,得由于(yóuyú)欲使由計算(jìsuàn)可知當(dāng)n=9時上式成立,因此的麥克勞林公式為第十六頁，共25頁。2.利用泰勒(tàilè)公式求極限例2.

求解:由于(yóuyú)用洛必達法則(fǎzé)不方便!用泰勒公式將分子展到項,第十七頁，共25頁。3.利用泰勒公式(gōngshì)證明不等式例3.證明(zhèngmíng)證:+第十八頁，共25頁。內(nèi)容(nèiróng)小結(jié)1.泰勒(tàilè)公式其中(qízhōng)余項當(dāng)時為麥克勞林公式.第十九頁，共25頁。2.常用(chánɡyònɡ)函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式(gōngshì)的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他(qítā)應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù)例如第二十頁，共25頁。泰勒(tàilè)多項式逼近6422464224O第二十一頁，共25頁。泰勒(tàilè)多項式逼近642246O4224第二十二頁，共25頁。思考(sīkǎo)與練習(xí)計算(jìsuàn)解:原式第四節(jié)第二十三頁，共25頁。泰勒(tàilè)(1685–1731)英國(yīnɡɡuó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓(niúdùn)學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第二十四頁，共25頁。麥克勞林(1698–1746)英國(yīnɡɡuó)數(shù)學(xué)家,