解直角三角形與直角三角形的概念、性質、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質的基礎上，根據已知條件，計算直角三角形未知的邊長、角度和面積，以及與之相關的幾何圖形的數(shù)量。1、明確解直角三角形的依據和思路在直角三角形中，我們是用三條邊的比來表述銳角三角函數(shù)定義的。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質揭示了直角三角形中邊角之間的關系，是解直角三角形的基礎。如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，設三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c（以下字母同），則解直角三角形的主要依據是（1）邊角之間的關系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝。（2）兩銳角之間的關系：A＋B＝90°。（3）三條邊之間的關系：。以上每個邊角關系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根據已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關系式，通過解一元方程來求解。2、解直角三角形的基本類型和方法我們知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外還有三條邊及兩個銳角共五個元素，那么什么樣的直角三角形才可解呢？如果已知兩個銳角能否解直角三角形呢？事實上，解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質的聯(lián)系，因為已知兩個元素（至少有一個是邊）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此時直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解的。由于已知兩個銳角的直角三角形是不確定的，它們是無數(shù)多個相似的直角三角形，因此求不出各邊的長。所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個元素中，必須至少有一個是邊。這樣，解直角三角形就分為兩大類，即已知一條邊及一個銳角或已知兩條邊解直角三角形。四種基本類型和解法列表如下：

已知條件解法一邊及一銳角直角邊a及銳角AB＝90°－A，b＝a·ctgA，斜邊c及銳角AB＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosA兩邊兩條直角邊a和b，B＝90°－A，直角邊a和斜邊c，B＝90°－A，

例1、如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的長。分析一：所求AB是Rt△ABC的斜邊，但在Rt△ABC中只知一個銳角A＝α，暫不可解。而在Rt△ADE中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解Rt△ADE入手。解法一：在Rt△ADE中，，且∠A＝α，AE＝1，，在Rt△ADC中，，在Rt△ABC中，。分析二；觀察圖形可知，CD、CE分別是Rt△ABC和Rt△ACD斜邊上的高，具備應用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，。說明：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形。這樣的問題，總是先解出已經具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關線段的數(shù)量關系，因而在解直角三角形時經常要用到。在解直角三角形的問題中，經常會遇到這樣的圖形（圖3），它是含有兩個直角三角形的圖形。隨著D點在BC邊上位置的變化，會引起直角三角形中有關圖形數(shù)量相應的變化，從而呈現(xiàn)許多不同的解直角三角形的問題，下面舉例加以說明。

例2、如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC邊上的中線。（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的長；（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求證：tgβ＝2tgα。（1）分析：由AD是BC邊的中線，只知DC一條邊長，僅此無法直接在Rt△ADC中求解AD。而在Rt△ABC中，由已知BC邊和∠B可以先求出AC，從而使Rt△ADC可解。解：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC·tgB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴。（2）分析：α和β分別為Rt△ABC和Rt△ADC中的銳角，且都以直角邊AC為對邊，抓住圖形的這個特征，根據直角三角形中銳角三角比可以證明tgβ＝2tgα。證明：在Rt△ABC中，,在Rt△ADC中，,又∵BC＝2DC,∴tgβ＝2tgα。

例3、如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線。（1）若AB∶BD＝，求∠B；（2）又若BD＝4，求。分析：已知AD是∠BAC的平分線，又知兩條線段的比AB∶BD＝,應用三角形內角平分線的性質定理，就能把已知條件集中轉化到Rt△ADC中，先求出∠DAC即可求得∠B。解：（1）∵AD是∠BAC的平分線，,即,在Rt△ADC中，,∴∠DAC＝30°,∴∠BAC＝2∠DAC＝60°,∴∠B＝90°－∠BAC＝30°。（2）,BD＝4，∴AB＝BD＝4，∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝2，又∵BC＝AB·cosB＝6，∴＝BC·AC＝×6×2＝6。說明：解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質，利用平面幾何的有關定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，找到解決問題的突破口。

例4、如圖3，在Rt△ABC中、∠C＝90°，D為BC上一點，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB。分析：已知的角度告訴我們，Rt△ABC和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往這個特點設未知數(shù)，根據線段間的數(shù)量關系，可以列出一元一次方程求解。解：在Rt△ADC中，設DC＝x，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝x，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝x，∴x＝，∴AB＝AC＝x＝。說明：解直角三角形時，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質，利用線段和差的等量關系布列方程。還要熟練地掌握特殊銳角的三角比值，以使解答過程的表述簡潔。

例5、如圖4，在△ABC中、D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。分析：由數(shù)形結合易知，△ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC為所求，已知的另外兩邊都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形。因此，可以過D作DE⊥BC，拓開思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例線段的性質，逐步等價轉化求得AC。解：在△ABC中，設AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根據射影定理,得：，即BC＝。再由射影定理,得：，即。在△BDC中，過D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，。在Rt△DEC中，，即，整理得。說明：本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質的綜合應用。還應該注意，作垂線構造直角三角形是解直角三角形時常用的方法。3、解直角三角形在實際問題中的應用借助解直角三角形解決實際問題，包括度量工件、測量距離、工程技術等許多方面。解決問題的關鍵是要從實際問題中抽象出幾何圖形，把實際問題中的數(shù)量關系轉化為直角三角形的邊角之間的關系，從而通過解直角三角形使實際問題得到解決。例6、某型號飛機的機翼形狀如圖5，根據圖示尺寸計算AC、BD和AB的長度（保留三個有效數(shù)字）。分析；飛機機翼形狀為四邊形ABDC，要求其中三條邊的長度，一方面應使所求線段成為直角三角形的元素，另一方面，要設法將已知條件與未知量集中在某個三角形中以求解，這就需要恰當?shù)貥嬙熘苯侨切?。解：過C作CE⊥BA，交BA的延長線于E。在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，CE＝5，∴AC＝CE≈×5＝。過D作DF⊥BA，交BA的延長線于F，且與AC交于G，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝30°，DF＝5，∴BD＝，∴AB＝BF－AF＝BF－FG＝BF－（DF－DG）＝BF－（DF－CD）＝－（5－）≈（米）。說明：解決實際問題時，計算常有精確度的要求，應注意近似計算的法則和規(guī)范表述。

例7、某勘測隊在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?8°，沿傾斜角為25°的山坡前進800米后，又測得山頂?shù)难鼋菫?2°，求山的高度（精確到米）。分析：先根據題意畫出示意圖（如圖6），BC為山高，AD為山坡，∠DAC＝25°，因為仰角為視線與水平線的夾角，所以∠BAC＝38°，AD＝800米，∠BDE＝62°，要直接在Rt△ABC中求BC不夠條件，必須設法先求出AB，這就需要根據已知條件，構造直角三角形。解：過D作DF⊥AB于F，在Rt△ADF中，∠DAF＝38°－25°＝13°，∴AF＝AD·cos∠DAF＝800×＝，DF＝AD·sin∠DAF＝800×＝。在Rt△BDF中，∵∠DBF＝62°－38°＝24°，∴BF＝DF·ctg∠DBF＝×＝，∴AB＝AF＋BF＝＋＝，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝×＝（米）。答：山高為米。說明：在學過解斜三角形以后，解答本題會有更簡捷的方法。說明：應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形。例8、如圖7所示，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別