第十一章非參數(shù)檢驗(yàn)

在社會(huì)研究中我們經(jīng)常要采用定序尺度，但直到現(xiàn)在，我們都還沒(méi)有機(jī)會(huì)討論涉及到定序尺度的顯著性檢驗(yàn)。本章要講述某些用于定序尺度的雙樣本檢驗(yàn)。與以前所講的檢驗(yàn)不同，使用這類方法不需要對(duì)總體分布作任何事先的假定(例如正態(tài)總體)。同時(shí)從檢驗(yàn)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)，也不是檢驗(yàn)總體分布的某些參數(shù)(例如均值、成數(shù)、方差等)，而是檢驗(yàn)總體某些有關(guān)的性質(zhì)，所以稱為非參數(shù)檢驗(yàn)。非參數(shù)檢驗(yàn)，泛指“對(duì)分布類型已知的總體進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)”之外的所有檢驗(yàn)方法。

2/6/20231與均值差等檢驗(yàn)比較，非參數(shù)檢驗(yàn)有什么優(yōu)點(diǎn)呢？在對(duì)均值差進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，不僅要有定距尺度的假定，還要有正態(tài)總體的假定。當(dāng)然，對(duì)于大樣本，正態(tài)總體的假定可以放松。但正是對(duì)于小樣本，這種假定最容易出問(wèn)題。因此，在滿足下面兩條件之一時(shí)，我們期望用非參數(shù)檢驗(yàn)代替均值差檢驗(yàn)：①?zèng)]有根據(jù)采用定距尺度，但可以安排數(shù)據(jù)的順序(即秩)；②樣本小且不能假定具有正態(tài)分布。由于非參數(shù)檢驗(yàn)不能充分利用全部現(xiàn)有的資料信息。因此，如果有根據(jù)采用定距尺度，并且如果對(duì)于小樣本能夠假定其具有正態(tài)性，或?qū)Υ髽颖灸軌蚍潘蓪?duì)正態(tài)性假定的要求，一般寧愿使用均值差檢驗(yàn)，而不用非參數(shù)檢驗(yàn)。

2/6/20232非參數(shù)檢驗(yàn)，無(wú)需做出經(jīng)典統(tǒng)計(jì)所必要的關(guān)于分布的任何假設(shè)。唯一需要的假設(shè)是：全部數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)對(duì)都出自相同的基本總體，且取樣是隨機(jī)的、相互獨(dú)立的?；谶@種原因，非參數(shù)檢驗(yàn)又稱為分布自由(或無(wú)分布)檢驗(yàn)?！盁o(wú)分布”不是指總體真的無(wú)分布，而是指雖有時(shí)對(duì)總體分布一無(wú)所知，但仍可以進(jìn)行分析。不僅如此，這些很容易理解的方法還可以用于處理等級(jí)的資料和定性的信息。

2/6/20233很顯然，如果把從一個(gè)正態(tài)總體中抽取的數(shù)據(jù)用分布自由來(lái)處理，其效果肯定不如相應(yīng)的參數(shù)檢驗(yàn)有力。我們一般用下述指標(biāo)來(lái)確定非參數(shù)檢驗(yàn)的“效率”。式中的n

0和n分別是兩種檢驗(yàn)保證實(shí)現(xiàn)給定的檢驗(yàn)力所需的樣本容量。如果說(shuō)某種非參數(shù)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效率為95％，就意味著這種非參數(shù)檢驗(yàn)在使用100個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)的效力等于t檢驗(yàn)(在正確模型條件下)使用95個(gè)數(shù)據(jù)的效力。

檢驗(yàn)力又稱檢驗(yàn)勢(shì)，它是用1―β或[1―（犯第二類錯(cuò)誤的概率）]來(lái)定義的。也就是說(shuō)，對(duì)于固定的樣本容量，檢驗(yàn)?zāi)軌蚍穸ㄥe(cuò)誤假設(shè)的能力越大，其相對(duì)檢驗(yàn)力越大。2/6/20234“符號(hào)檢驗(yàn)”是針對(duì)觀察結(jié)果之差的符號(hào)來(lái)作估價(jià)的。在單一實(shí)驗(yàn)組的實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于樣本中每個(gè)個(gè)體的前測(cè)與后測(cè)，如果我們并不關(guān)心（X1―X0）的具體數(shù)值，而只關(guān)心是增大了還是減小了。具體來(lái)說(shuō)，就是只研究差值d的符號(hào)，即若X1＞X0，記作“+”；若X1＜X0，記作“―”；若X1＝X0，刪去。那么我們面對(duì)的就將是配對(duì)樣本的“符號(hào)檢驗(yàn)”問(wèn)題了。“符號(hào)檢驗(yàn)”并不要求配對(duì)樣本出自同一個(gè)總體，重要的是各個(gè)對(duì)的結(jié)果要相互獨(dú)立。

第一節(jié)符號(hào)檢驗(yàn)

2/6/20235符號(hào)檢驗(yàn)的零假設(shè)就是配對(duì)觀察結(jié)果的差平均起來(lái)等于零：人們期望這些差中有一半小于零(負(fù)號(hào))，而另一半大于零(正號(hào))，因此符號(hào)檢驗(yàn)就是對(duì)差分布之中位數(shù)為零的零假設(shè)檢驗(yàn)。現(xiàn)將符號(hào)檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)表達(dá)如下H0：p(+)＝p(―)＝0.5H1：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)p(+)＞p(―)或p(+)＜p(―)雙側(cè)檢驗(yàn)p(+)≠p(―)很顯然，符號(hào)檢驗(yàn)就是先假設(shè)p＝0.5，按二項(xiàng)分布計(jì)算正號(hào)“+”出現(xiàn)次數(shù)之抽樣分布，然后以樣本中正號(hào)“+”出現(xiàn)的次數(shù)x作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。如果它是B(x；n，0.5)下的小概率事件，便否定對(duì)差分布之中位數(shù)為零的零假設(shè)，即認(rèn)為兩總體存在平均水平上的差別。由此可見(jiàn)，符號(hào)檢驗(yàn)是二項(xiàng)檢驗(yàn)的一種實(shí)際應(yīng)用。

2/6/20236[例]假設(shè)我們觀測(cè)15個(gè)相配的對(duì)，獲得兩個(gè)差為零和13個(gè)差不為零，其中有11個(gè)正號(hào)，2個(gè)負(fù)號(hào)，試在2.5％的顯著性水平上進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)。[解]H0：p＝0.5

H1：p(+)＞p(―)由α＝0.025確定否定域，查二項(xiàng)分布表（附表2）

P(13；13，0.5)＝0.000P(12；13，0.5)＝0.002P(11；13，0.5)＝0.010P(10；13，0.5)＝0.035

P(13)+P（12）+P(11)＝0.000+0.002+0.010＝0.012＜0.025

P(13)+P(12)+P(11)+P（10）＝0.012+0.035＝0.047＞0.025所以否定域由x等于11，12，13組成。現(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量x＝11，所以零假設(shè)p＝0.5在2.5％顯著性水平上被拒絕。

2/6/20237[例]隨機(jī)地選擇13個(gè)單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，現(xiàn)試在0.05顯著性水平上，用符號(hào)檢驗(yàn)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。2/6/20238[解]H0：p＝0．5

H1：p(+)＞p(―)由上例知，B(x；13，0.5)在α＝0.025顯著性水平上，單側(cè)檢驗(yàn)（p＞0.5）否定域由x由11，12，13組成。觀察前表知，在13個(gè)相配的對(duì)中，10個(gè)差為正號(hào)，3個(gè)差為負(fù)號(hào)，即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量x＝10。所以零假設(shè)p＝0.5在2.5％顯著性水平上不能被拒絕。2/6/20239

對(duì)比[例10.3.1]和[例11.1.2]可見(jiàn)，由于符號(hào)檢驗(yàn)只計(jì)及差值d的符號(hào)，而沒(méi)有計(jì)及差值d的大小，所以有時(shí)用t檢驗(yàn)可以作出拒絕零假設(shè)的判定，如改用符號(hào)檢驗(yàn)卻往往不能作出這樣的判定。因此說(shuō)，符號(hào)檢驗(yàn)效力較低。根據(jù)計(jì)算，就滿足正態(tài)分布而言，符號(hào)檢驗(yàn)法的效率是配對(duì)樣本t檢驗(yàn)的63％。即如果符號(hào)檢驗(yàn)法需要樣本容量為100的話，那么t檢驗(yàn)法只需n＝63就可作出相同的檢驗(yàn)。但符號(hào)檢驗(yàn)運(yùn)用于定類尺度，對(duì)總體分布又無(wú)需加以限制，所以就配對(duì)樣本的顯著性檢驗(yàn)而言，其適應(yīng)面是相當(dāng)廣的。像符號(hào)檢驗(yàn)這樣的非參數(shù)值驗(yàn)，在分布自由檢驗(yàn)中稱為簡(jiǎn)便檢驗(yàn)(或快速檢驗(yàn))。

2/6/202310對(duì)于配對(duì)樣本，至此我們已經(jīng)接觸了兩種檢驗(yàn)，即符號(hào)檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。在符號(hào)檢驗(yàn)中，只考慮差值d的符號(hào)而不管其大小，并且應(yīng)用二項(xiàng)分布檢驗(yàn)零假設(shè)。另一方面，最有力的檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)，則不僅需要定距尺度，而且還要求假定差值d服從正態(tài)分布。配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)兼?zhèn)淞松鲜鰞煞N檢驗(yàn)的某些特征，其效力也介乎兩者之間。第二節(jié)配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)

2/6/202311配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)對(duì)于非正態(tài)分布的d值，是最佳檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)效力大大高于符號(hào)檢驗(yàn)。如果t檢驗(yàn)的假定成立，配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效力對(duì)于大、小樣本都近乎為95％。因此，在定距尺度測(cè)量的水平上，若由于樣本容量太小而不能假定正態(tài)分布的時(shí)候，配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)特別有用。2/6/202312

配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)的零假設(shè)基本上和符號(hào)檢驗(yàn)以及用于配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)的零假設(shè)相同。配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)的步驟如下：(1)首先求出每對(duì)數(shù)據(jù)的差值d。(2)不計(jì)正負(fù)，按絕對(duì)值大小把差值d按順序排列起來(lái)。(3)絕對(duì)值最小者賦秩為l，第二小者賦秩為2，……，絕對(duì)值最大者賦秩為n(其中絕對(duì)值相等者，將它們應(yīng)得的秩均分之)，再在差值前補(bǔ)填上符號(hào)。(4)求得正差值的秩和T+及負(fù)差值的秩和T-。我們期望兩個(gè)秩和應(yīng)該近似相等。如果T+和T-相差太大，就應(yīng)該否定零假設(shè)。2/6/202313

(5)取兩個(gè)秩和中較小的一個(gè)，即T＝min(T+，|T-|)，作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。(6)給定顯著性水平α。如果n小，從配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)表(附表9）中直接查出臨界值Tα(n)。如果n大(n＞25)，就要應(yīng)用正態(tài)近似法，查出Zα(單側(cè)檢驗(yàn))或Zα/2(雙側(cè)檢驗(yàn))，同時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z按下式計(jì)算(7)若T≤Tα(n)，就拒絕零假設(shè)，同時(shí)認(rèn)為總體間有顯著性差異。2/6/202314[例]隨機(jī)地選擇13個(gè)單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，現(xiàn)試在0.05顯著性水平上，用配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)檢驗(yàn)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。2/6/202315[解]H0：T+＝|T-|，即在總體中，正秩和等于負(fù)秩和。H1：T+＞|T-|。前表給出了有關(guān)資料，由此又列出了配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)所需要的數(shù)據(jù)。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以看出負(fù)秩和小于正秩和。因此檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T取負(fù)秩和。

T＝|T-|＝1.5+4+8＝13.5由α＝0.025，n＝13，查表得單側(cè)檢驗(yàn)的T0.025(13)＝l7＞13.5，所以否定T+＝|T-|的零假設(shè)，即說(shuō)明該實(shí)驗(yàn)刺激有效。2/6/202316將[例11.2.1]與[例l0.3.1]和[例11.1.2]對(duì)比，可見(jiàn)配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)的效力比符號(hào)檢驗(yàn)的效力高得多，而很接近于t檢驗(yàn)的效力。理論研究表明，對(duì)于配對(duì)樣本非正態(tài)分布的差值d，配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)是最佳檢驗(yàn)。雖然本例中n很小，但是為了說(shuō)明用法，我們?nèi)匀皇褂谜龖B(tài)近似法計(jì)算一下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在單側(cè)檢驗(yàn)中，Zα＝Z0.025＝1.96＜2.24，我們可以否定零假設(shè)。但必須指出，正態(tài)近似計(jì)算法沒(méi)有把同數(shù)值（或同分對(duì)）的情況考慮在內(nèi)而作出修正。因此，它在同數(shù)值的數(shù)目很大時(shí)不能使用。2/6/202317前面我們剛剛討論過(guò)的符號(hào)檢驗(yàn)和配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)，都只適用于配對(duì)樣本。當(dāng)樣本為獨(dú)立樣本時(shí)，可采用本節(jié)所討論的秩和檢驗(yàn)法。其具體步驟為：

(1)設(shè)從兩個(gè)未知的總體1和總體2中分別獨(dú)立、隨機(jī)地各抽取一個(gè)樣本，樣本1的容量為n1，樣本2的容量為n2，兩樣本的數(shù)據(jù)分別列示如下：樣本1：X1，X2，…,Xn1樣本2：Y1，Y2，…,Y

n2(2)把樣本1和樣本2混合起來(lái)，并按數(shù)值從小到大順序編號(hào)，每個(gè)數(shù)據(jù)的編號(hào)即為它的秩。如果混合樣本中有相同數(shù)值的數(shù)據(jù)，則將它們應(yīng)得的秩均分。

第三節(jié)秩和檢驗(yàn)2/6/202318(3)分別計(jì)算兩樣本的秩和：樣本l中所有X1，X2，…,Xn1的秩和記作R1；樣本2中所有Y1，Y2，…,Y

n2的秩和記作R2。(4)秩和檢驗(yàn)是針對(duì)兩個(gè)總體具有完全相同的形式的零假設(shè)而進(jìn)行檢驗(yàn)的。在均值差檢驗(yàn)中，研究的重點(diǎn)放在中心趨勢(shì)的差異上，而不是離差的差異或形式的差異。秩和檢驗(yàn)的零假設(shè)則可以用任何差異形式表示出來(lái)。(5)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U是對(duì)混合樣本中n1+n2個(gè)元素根據(jù)它們的秩和和它們所屬的總體標(biāo)出的雙重指標(biāo)

2/6/202319檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U是U1和U2中較小的一個(gè)，即U＝min(U1,U2)，然后用下式核對(duì)計(jì)算

U1+U2＝n1

n2

(6)給出顯著性水平α，從秩和檢驗(yàn)表(附表10)中查出臨界值Uα，如果計(jì)算出的U值小于或等于從附表10中查出的臨界值Uα(n1

，n2)，則零假設(shè)被拒絕。

2/6/202320[例]設(shè)評(píng)審專家對(duì)19所大專院校按校園環(huán)境質(zhì)量排名次，環(huán)境質(zhì)量最好的學(xué)校記分?jǐn)?shù)為1，環(huán)境質(zhì)量最差的學(xué)技記分?jǐn)?shù)為19。其中10所學(xué)校是本科院校，其他9所學(xué)校是?？圃盒?。假定這19所學(xué)校是分別從全部大專院校中隨機(jī)地抽取的，試問(wèn)：?？祁愒盒：捅究祁愒盒５沫h(huán)境質(zhì)量是否有顯著性差異(α＝0.05)?本科院校環(huán)境質(zhì)量的名次(秩)為：1，2，4，5，6，7，9，11，14，17(n1＝10)?？圃盒－h(huán)境質(zhì)量的名次(秩)為：3，8，10，12，13．15．16，18，19(n2＝9)

2/6/202321[解]H0：?？祁愒盒：捅究祁愒盒５沫h(huán)境質(zhì)量無(wú)差異

H1：專科類院校和本科類院校的環(huán)境質(zhì)量有差異根據(jù)題意R1＝l+2+4+5+6+7+9+11+14+17＝76R2＝3+8+10+12+13+15+16+18+19＝114代入下兩式得

所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U＝min(U1,U2)＝U2＝2l由α＝0.05查附表10得

Uα(n1，n2)＝U0.05(10，9)＝20＜2l所以不否定零假設(shè)，說(shuō)明在0.05的水平上，不能認(rèn)為?？祁愒盒：捅究祁愒盒５沫h(huán)境質(zhì)量有顯著性差異。

2/6/202322

秩和檢驗(yàn)本來(lái)可直接用R1和R2，不必求U。但由于對(duì)于n小的U，其值可以準(zhǔn)確地從數(shù)表中查出，所以在秩和檢驗(yàn)中一般使用統(tǒng)計(jì)量U比較方便。秩和檢驗(yàn)因而也有了U檢驗(yàn)之稱。如果n較大，U的抽樣分布接近正態(tài)分布N(μ，σ2)，可以利用正態(tài)分布作近似檢驗(yàn)，其均值、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量分別是

2/6/202323游程檢驗(yàn)是適用于獨(dú)立樣本的另一種檢驗(yàn)法。游程檢驗(yàn)的基本原理和計(jì)算方法很簡(jiǎn)單：先把兩個(gè)樣本混合起來(lái)，按大小排列，并賦予其秩。那么，當(dāng)樣本所屬的總體是同分布的話，是不大可能出現(xiàn)來(lái)自總體1的樣本全是高秩、而來(lái)自總體2的樣本全是低秩的情況；反之亦然?？赡苄宰疃嗟那闆r是，來(lái)自總體1和總體2的樣本，其秩是隨機(jī)交錯(cuò)的。因此，根據(jù)混合樣本中兩樣本交錯(cuò)的次數(shù)來(lái)檢定秩交錯(cuò)次數(shù)是隨機(jī)的零假設(shè)，這就是游程檢驗(yàn)。其具體步驟如下：

第四節(jié)游程檢驗(yàn)2/6/202324

(1)設(shè)從兩個(gè)未知的總體1和總體2中分別獨(dú)立、隨機(jī)地各抽取1個(gè)樣本，樣本1的容量為n1，樣本2的容量為n2。(2)把樣本1和樣本2混合起來(lái)，并按數(shù)值從小到大順序編號(hào)，每個(gè)數(shù)據(jù)的編號(hào)就是它的秩。(3)點(diǎn)算游程數(shù)目。一個(gè)游程指混合樣本中接連屬于一個(gè)樣本的一串秩，其前后是另一個(gè)樣本的秩。例如，A和B分別代表混合樣本中來(lái)自第一個(gè)樣本的秩和來(lái)自第二個(gè)樣本的秩，這樣一來(lái)，混合樣本被賦予秩的數(shù)據(jù)序列便呈以下形式

ABBABAAABABBABBAAABAAB在此例中，第一個(gè)游程由一個(gè)A組成，第二個(gè)游程由兩個(gè)B組成，然后又是一個(gè)A組成的游程……，游程的總數(shù)為14。

2/6/202325(4)根據(jù)顯著性水平α確定否定域(n1，n2)。游程數(shù)目r的抽樣分布(見(jiàn)附表11)可用于建立否定零假設(shè)的否定域。(5)檢定零假設(shè)。以混合樣本中的游程數(shù)目為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：如果游程的數(shù)目很大，就表明兩個(gè)樣本混合得很好，不能否定零假設(shè)；相反，如果游程的數(shù)目較小，零假設(shè)就很可能是錯(cuò)的，應(yīng)該否定。

2/6/202326[例]設(shè)評(píng)審專家對(duì)19所大專院校按校園環(huán)境質(zhì)量排名次，環(huán)境質(zhì)量最好的學(xué)校記分?jǐn)?shù)為1，環(huán)境質(zhì)量最差的學(xué)技記分?jǐn)?shù)為19。其中10所學(xué)校是本科院校，其他9所學(xué)校是?？圃盒！＜俣ㄟ@19所學(xué)校是分別從全部大專院校中隨機(jī)地抽取的，試問(wèn)：?？祁愒盒：捅究祁愒盒５沫h(huán)境質(zhì)量是否有顯著性差異(α＝0.05)?（請(qǐng)作游程檢驗(yàn)）本科院校環(huán)境質(zhì)量的名次(秩)為：1，2，4，5，6，7，9，11，14，17(n1＝10)。?？圃盒－h(huán)境質(zhì)量的名次(秩)為：3，8，10，12，13．15．16，18，19(n2＝9)。

2/6/202327[解]將大專院校按校園環(huán)境質(zhì)量的優(yōu)劣順序混合排列，然后在第一個(gè)樣本的游程下畫(huà)上橫線，屬于第二個(gè)樣本的游程下則不畫(huà)橫線：

12345678910111213141516171819得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量r＝12由α＝0.05，查表得臨界值

rα(n1，n2)＝(10，9)＝6＜l2所以不否定零假設(shè)，說(shuō)明在0.05的水平上，不能說(shuō)專科類院校和本科類院校的校園環(huán)境質(zhì)量有顯著性差異。

對(duì)于同一道例題，對(duì)照此解和上解，我們看到秩和檢驗(yàn)和游程檢驗(yàn)做出了相同的判斷。但應(yīng)用前者，更接近于否定零假設(shè)。所以，如果零假設(shè)實(shí)際上是錯(cuò)誤的，應(yīng)用秩和檢驗(yàn)比應(yīng)用游程檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的可能性小。2/6/202328當(dāng)n1和n2都小于20時(shí)，游程數(shù)目r的準(zhǔn)確抽樣分布可以從附表11中查找。當(dāng)n1和n2都大于20時(shí)，r的抽樣分布近似于正態(tài)分布N(μ，σ2)，其均值、標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量分別是

2/6/202329第五節(jié)累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)

累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)是另一種雙樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)，它所需要的假定同秩和檢驗(yàn)和游程檢驗(yàn)一樣。以上各種非參數(shù)檢驗(yàn)，對(duì)于定序變量，都要求等級(jí)分得較多較細(xì)，實(shí)際上用的是未分組資料。但在社會(huì)研究中，對(duì)定序變量往往也用分組資料。例如一位研究者可以將一個(gè)城市社區(qū)的居民按文化程度分成六組，從中獨(dú)立、隨機(jī)地抽取兩個(gè)樣本。樣本l是喜愛(ài)圍棋者，容量為n1；樣本2是不喜愛(ài)圍棋者，容量為n2。將n1和n2分配到以文化程度為秩尺度的六個(gè)組中，這樣我們就得到了兩個(gè)樣本的分組資料〔參見(jiàn)后表〕。在樣本容量較大而等級(jí)劃分又很有限的情況下，累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)就顯得十分有用了。2/6/2023302/6/202331

累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)的原理很簡(jiǎn)單：如果獨(dú)立隨機(jī)樣本取自兩個(gè)形式完全相同的總體的零假設(shè)正確，即可期望兩個(gè)樣本累計(jì)相對(duì)頻數(shù)分布基本上相似。累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是由兩個(gè)累計(jì)頻數(shù)分布構(gòu)成的一系列差值之最大值D，即

如果D大于零假設(shè)前提下偶然性作用的期望值，就表明兩個(gè)分布相差太大，以致應(yīng)否定零假設(shè)。累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)的步驟如下：

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(1)設(shè)從兩個(gè)未知的總體1和總體2中，分別獨(dú)立、隨機(jī)地抽取兩個(gè)樣本，樣本容量分別為n1和n2。(2)將兩個(gè)樣本分別按同一秩尺度分組，得到如前表所示的兩個(gè)頻數(shù)分配數(shù)列。(3)根據(jù)兩個(gè)樣本的頻數(shù)分布，做出兩個(gè)樣本的累計(jì)頻率分布。(4)根據(jù)兩個(gè)樣本的累計(jì)頻率分布，算出差值的一系列數(shù)值，找出最大差，即為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D。(5)抽樣分布是零假設(shè)下隨機(jī)變量D的各個(gè)取值的概率分布。當(dāng)n1＝n2，且n值較小(≤40)時(shí)，可以給出D抽樣分布的準(zhǔn)確形式。但我們不討論這種情況。因?yàn)樵趎很小時(shí)，可以不用累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)，而用秩和檢驗(yàn)；而且在大多數(shù)社會(huì)研究中，兩個(gè)樣本容量正好相等的情況極少。如果兩樣本的容量都大于40，則分兩種情況加以討論：

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如果沒(méi)有預(yù)測(cè)方向，臨界值D可以由下式近似求得

其中：kα是由下表給出的依賴于顯著性水平α的常數(shù)。

如果已經(jīng)預(yù)測(cè)方向，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)改用卡方近似法求得，即注意：在累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)中，卡方的自由度總為2。

(6)判定。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在否定域內(nèi)，就否定零假設(shè)；如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在否定域外，則不否定零假設(shè)。

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[例]對(duì)表11.3所示資料作累計(jì)頻數(shù)檢驗(yàn)，顯著性水平選為0.0l，分別作雙側(cè)檢驗(yàn)和單側(cè)檢驗(yàn)。[解]①雙側(cè)檢驗(yàn)

H0：對(duì)圍棋的喜好與文化程度的高低無(wú)關(guān)

H1：對(duì)圍棋的喜好與文化程度的高低有關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算過(guò)程參見(jiàn)后表。

2/6/2023352/6/202336由于α＝0.01，查表11.4，代人下式得臨界值

＜0.257

所以拒絕零假設(shè)，