第十五章虛位移原理理論力學(xué)（Ⅰ）東北大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所李永強(qiáng)§15-1約束·虛位移·虛功§15-2虛位移原理第十五章虛位移原理§15-1約束·虛位移·虛功1約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束，限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程.限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為幾何約束.（1）幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束如§15-1約束·虛位移·虛功限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱運(yùn)動(dòng)約束.§15-1約束·虛位移·虛功2定常約束和非定常約束

約束條件隨時(shí)間變化的稱非定常約束,否則稱定常約束.§15-1約束·虛位移·虛功（3）其它分類

約束方程中包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),且不可能積分為有限形式的約束稱非完整約束,否則為完整約束.

約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束（或稱固執(zhí)約束），約束方程為不等式的，稱單側(cè)約束（或稱非固執(zhí)單側(cè)約束）。本章只討論定常的雙側(cè)、完整、幾何約束；

n為質(zhì)點(diǎn)系數(shù)，S為約束方程數(shù)§15-1約束·虛位移·虛功2虛位移

在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為虛位移.虛位移等實(shí)位移等虛功

4理想約束

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中,所有約束力所作虛功的和等于零，稱這種約束為理想約束.力在虛位移中作的功稱虛功.§15-1約束·虛位移·虛功即設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡,有或記為此方程稱虛功方程,其表達(dá)的原理稱虛位移原理或虛功原理:§

15-2虛位移原理

對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的充分必要條件是:作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零.解析式為

例15-1如圖所示,在螺旋壓榨機(jī)的手柄AB上作用一在水平面內(nèi)的力偶(),其力矩,螺桿的螺距為.求:機(jī)構(gòu)平衡時(shí)加在被壓物體上的力.§

15-2虛位移原理解:給虛位移滿足如下關(guān)系：，故

例15-2圖中所示結(jié)構(gòu),各桿自重不計(jì),在Ｇ點(diǎn)作用一鉛直向上的力Ｆ,

求:支座Ｂ的水平約束力.§

15-2虛位移原理解:解除B端水平約束,以力FBX代替：代入虛功方程:

解得如圖在CG間加一彈簧,剛度K,且已有伸長(zhǎng)量δ0,仍求FBX.在彈簧處也代之以力,如圖,其中：

例15-3圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中,連桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng),滑塊Ａ,Ｂ與桿重均不計(jì),忽略各處摩擦,機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡.求：主動(dòng)力之間的關(guān)系。§

15-2虛位移原理解:

(1)幾何法：給虛位移代入虛功方程,有即由(在A,B

連線上投影相等)(2)用解析法.建立坐標(biāo)系,由：有得代入到由速度投影定理,有代入上式得(3)虛速度法定義:為虛速度

例15-4如圖所示機(jī)構(gòu),不計(jì)各構(gòu)件自重與各處摩擦,求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí),主動(dòng)力偶矩Ｍ與主動(dòng)力Ｆ之間的關(guān)系.§

15-2虛位移原理解:給虛位移由圖中關(guān)系有代入虛功方程得

用虛速度法:代入到

用建立坐標(biāo),取變分的方法,有解得求:

例15-5求圖所示無重組合梁支座Ａ的約束力.解：解除A處約束，代之，給虛位移，如圖：

代入虛功方程,得δrEOABD4m5mEM3mδrBδrAδθ例15－6已知：M，忽略各桿自重，問：平衡時(shí)彈簧受力F解：去掉彈簧支座以反力代替并給出虛位移：列虛功方程：AB桿瞬時(shí)平動(dòng)ABDφθP1P1P2CFE例15－7均質(zhì)桿長(zhǎng)AB=BC=L，桿重皆為P1，滑塊C重P2，滑軌傾角為θ，求：平衡時(shí)角φ為多大。yxABDφθ