彈性動力學問題的建立第一頁，共三十四頁，2022年，8月28日第五章彈性動力學問題的建立5.1彈性動力學的基本方程5.2彈性動力學問題的提法5.3以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程5.4圓柱坐標和球坐標系下以位移表示的運動微分方程第二頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的建立在前幾章中我們介紹了彈性動力學的基本假設，分別研究了應力、應變及應力與應變的關系，得出了應力與位移，應變與位移及應力與應變之間分別滿足的平衡或運動微分方程，幾何方程以及物理方程（本構方程，廣義虎克定律）。本章研究如何求解具體彈性動力學問題，包括：(1)說明彈性動力學的基本方程，進而明確彈性動力學問題的提法；(2)闡明解決彈性動力學問題的途徑，并建立相應的方程。第三頁，共三十四頁，2022年，8月28日前面討論中，主要討論彈性靜力學問題，即假定彈性體的任一微小部分始終處于靜力平衡狀態(tài)，位移，應變和應力只是位置函數(shù)，不隨時間變化（運動微分方程考慮了時間）。在彈性動力學問題中，彈性體內(nèi)各點的位移，應變和應力一般還隨時間變化，因而，它們不僅是位置的函數(shù)，也是時間的函數(shù)。彈性動力學的基本方程但只要彈性動力學仍采用理想彈性體，微小位移和和自然狀態(tài)假定，則針對彈性靜力學建立的幾何方程和物理方程都可運用于彈性動力學的任何一瞬間，形式上無須作任何改變，只需將平衡方程用運動方程來代替。第四頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題中，15個基本方程為：（1）運動微分方程（應力與位移關系，3個）彈性動力學的基本方程(5-1)第五頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學的基本方程（2）幾何方程（應變與位移關系，6個）(5-2)第六頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學的基本方程（3）物理方程（應力與應變關系，6個）(5-3)a（a）用應變表示應力第七頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學的基本方程（3）物理方程（應力與應變關系，6個）(5-3)b（b）用應力表示應變第八頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學的基本方程上述15個基本方程可求解15個未知數(shù):即位移分量,六個應變分量和六個應力分量。這15個方程稱為以直角坐標表示的彈性動力學基本方程。第九頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法求解彈性動力學問題，只有上述基本方程是不夠的，因為基本方程只是反映物體的內(nèi)部位移，應變和應力之間的相互關系，而對特定具體問題還必須考慮相應的初始和邊界條件。第十頁，共三十四頁，2022年，8月28日1、初始條件給出彈性體內(nèi)各個點在時間時位移分量和速度分量，即:(5-8)彈性動力學問題的提法第十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日2、邊界條件

彈性力學問題的邊界條件有三種情況：（1）給出彈性體全部表面的面力分量，此時邊界條件由應力邊界條件表示，應力分量由力的邊界條件公式給出。彈性動力學問題的提法第十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法（2）給出彈性體全部表面的位移分量，此時邊界條件由位移邊界條件表示，邊界上位移與給定的位移相等，即由位移公式式給出。（3）混合邊界條件，在彈性體一部分表面上給出了面力分量，而另一部分給出了位移分量。第十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法總之，彈性動力學的基本方程一般是控制彈性體內(nèi)部的位移，應變和應力之間相互聯(lián)系的普遍規(guī)律，而定解條件（初始和邊界條件）具體給出了每一個邊值—初值問題的特定規(guī)律。此外，在彈性波傳播問題中，介質分界面處應力和位移連續(xù)。第十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日3、彈性動力學問題嚴格且完整的提法

已知：a、彈性體的形狀和尺寸，彈性體的物理性質（彈性和慣性）；b、作用于彈性體上的體力；c、邊界條件；d、初始條件。彈性動力學問題的提法應用15個基本方程求出初始瞬時（通常）時刻以后任一瞬時刻彈性體中各點的位移，應變和應力。第十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日4、彈性動力學問題的簡化及解題方法在解決彈性動力學問題過程中，15個基本方程可以綜合簡化，因為這些方程中，并非每個方程中都包括所有的未知函數(shù)，可以將其中一部分未知函數(shù)選作“基本未知函數(shù)”，先求出它們，然后再由它們求出其它未知數(shù)。彈性動力學問題的提法第十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日以應力為“基本未知數(shù)”的解題方法稱應力法，以位移為“基本未知數(shù)”的解題方法稱位移法。相應地簡化15個基本方程，分別導出應力滿足的微分方程或位移滿足的微分方程，以及它們相應的邊界條件。在一定的邊界條件和初始條件下，按選取的解題方法，求出其相應的微分方程的解，也就是滿足全部基本方程。彈性動力學問題的提法第十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日（1）應力法取物體內(nèi)點的應力分量為基本未知量，先解出三個應力分量，再求相應的應變及位移，多用于彈性靜力學問題。彈性動力學問題的提法第十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法（2）位移法取物體內(nèi)點的位移為基本未知量，將各個方程中的應力和應變都用位移表示，先解出三個位移分量表達式，有了位移，就可以進一步求出應變和應力。在地震波動力學中，往往只需要求出位移就夠了?；咀龇ǎ旱谑彭?，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法①利用幾何方程（應變—位移），將物理方程中應變消去，即將應變用位移表示，物理方程變?yōu)閼εc位移關系，這樣從這12個方程中去掉6個方程，得到應力—位移關系方程，將其代入運動微分方程中得到以位移表示的運動微分方程（拉梅Lame方程）。第二十頁，共三十四頁，2022年，8月28日彈性動力學問題的提法②解位移形式的拉梅方程，求出位移分量，當然求解過程中要用到初始條件和由位移表示的邊界條件。③求出位移后，按幾何方程求出應變，代入物理方程中，再求出應力表達式。第二十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程1、Lame方程推導

首先將幾何方程式代入物理方程a，得：(5-9)第二十二頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程(5-10)再將式(5-9)代入運動微分方程(5-1)中，整理得:上式中，為拉普拉斯算子。第二十三頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程上式就是以位移表示的運動微分方程，稱為拉梅（Lame）方程。分別乘以，并由，上式寫成矢量形式，得：(5-11)式中：第二十四頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程2、以位移分量表示的力的邊界條件若彈性體表面處的位移給定，則可通過位移邊界條件給出力的邊界條件。若彈性體表面處面力給定，則取(5-12)第二十五頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程等號右端用位移表示，才能用拉梅方程定解。將(5-9)代入(5-12)式即可得到：(5-13)其中第二十六頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程3、彈性動力學解的唯一性彈性動力學解的唯一性可表述為：若彈性體受已知體力作用，在物體表面處，或者面力已知，或者位移已知；此外，初始條件已知，則彈性體在運動時，體內(nèi)各點的應力分量，應變分量與位移分量均是唯一的。第二十七頁，共三十四頁，2022年，8月28日以位移表示的運動微分方程―拉梅（Lame）方程彈性動力學的唯一定理，為彈性動力學問題常用的逆解法和半逆解法提供一個理論依據(jù)。逆解法和半逆解法也稱試湊法。如果試湊得不到真正的解，也會逐次逼近，得到比前次更為精確的近似解。此外還有變分法、數(shù)值方法求近似解，數(shù)值方法中有限差分和有限元法已在地震勘探中廣泛應用。第二十八頁，共三十四頁，2022年，8月28日圓柱坐標和球坐標系下以位移表示的運動微分方程1、圓柱坐標系下運動微分方程―拉梅（Lame）方程

也是在15個基本方程中消去應力和應變分量，得到圓柱坐標中以位移表示的運動微分方程(5-14)第二十九頁，共三十四頁，2022年，8月28日圓柱坐標和球坐標系下以位移表示的運動微分方程(5-14)式中分別為沿方向的位移分量，而體積應變和轉動分量為：第三十頁，共三十四頁，2022年，8月28日圓柱坐標和球坐標系下以位移表示的運動微分方程2、球對稱問題

（1）運動微分方程（2）幾何方程(a)(b)第三十一頁，共三十四頁，2022年，8月28日圓柱坐標和球坐標系下以位移表示的運動微分方程（3）物理方程(c)將（b）式代人（c）