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文檔簡介

計算定積分的一般方法

—微積分基本定理第二節(jié)

主要內容：一、問題的提出二、微積分的基本定理三、定積分的換元積分法四、定積分的分部積分法一、問題的提出積分學中要解決兩個問題：一、原函數的求解;二、定積分計算.不定積分問題

解決面積、體積、做功、利潤等實際問題如何計算定積分？

定義很復雜，直接計算很困難.需要轉換新的思路.變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中路程為另一方面這段路程可表示為巧合還是真理？大膽猜想著名的牛頓-萊布尼茨定理二、微積分基本定理變限定積分概念變上限積分、變下限積分統(tǒng)稱為變限積分.借助求函數值來解決積分上限函數的性質：函數f(x)的定積分定理用導數的定義來證明.提示與分析：證積分區(qū)間的可加性積分區(qū)間的可加性如何化簡？定積分中值定理注意:變上限函數的導數的應用例1求解分析：這是型不定式，應用洛必達法則.定理牛頓-萊布尼茨公式原函數存在定理，結合原函數之間的關系.提示與分析：證積分區(qū)間的可加性微積分基本公式表明：求定積分問題轉化為求原函數的問題注意微分中值定理積分中值定理

牛頓-萊布尼茨公式揭示了微分（導數）與定積分這兩個定義之間的內在聯系，因而稱為微積分基本定理.注意(2)

解面積但例如

利用幾何意義可以大大簡化運算ππππππ由定積分的幾何意義可直接得：例求

原式=解1例:求函數的極值解:令:得:又:故:當x=1時,函數f(x)取得極小值,

如何計算分段函數的積分?12例:設在上連續(xù),且求解:設則:那么:故:例計算解令三.定積分的換元公式原式=01在區(qū)間上連續(xù)當x從時,

t從在上單調應用換元公式時要注意:解例3

計算例4

計算解令πππ如何去掉根式？三角代換πππππππππ例5

計算解一π提示與分析：用湊微分法求解.ππππ解二ππππ對稱區(qū)間上的積分奇函數例計算

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