第二章函數(shù)的連續(xù)§2.1集合的映射和函數(shù)極一、映射定定義

A,B為兩個(gè)集合f是一種規(guī)則，對(duì)xA在B中有唯一元xffxff(fx)與之對(duì)稱f是A到B的映射f:AAf的定義域

fx)稱為xf下的像例 ff甲x乙y丙zfAB的映定義1.2相等映射設(shè)fABgAB若對(duì)xA,都有f(x)g(則稱映fg相等，記f定義1.3(復(fù)合映射 設(shè)f:BC,g:A當(dāng)x

g1B)式定義映(fg)(x)f(g(為映射f，g的復(fù)合映射2設(shè)fx)

，g(x)x10,h(x)x3,1x求fg解 fgh(x)f(g(h(x)))f(g(xf((x

10)

(x (x3)103設(shè)fx)axb，求fn由歸納法易fn(x)anx(an1an2a二、映射的分定義1.4（單射）fAxyA,xy則fxfy).f為單射定義1.5（滿射fAB若fAB，則稱f為滿射定義1.6（一一對(duì)應(yīng)f:AB,既是單射，又是滿射定義1.7（映射的逆像設(shè)f:ABFB,則A的子集f1(FxA:fxF}.稱為F的逆像甲g甲gx乙y丙zg1(x),g1(z),g1{x,z}g1y)甲，乙，丙定義1.8（恒等映射設(shè)f:AB可逆映射 f1:B f1f(x)f1(f(x)) xf1fAff1(y)f(f1(y))ff1B

yIA,IB分別稱為A,B上的恒等映射三、函數(shù)定義和基本初等函fAB的映射,如果BRf為函數(shù)常數(shù)函數(shù)冪函數(shù)ysinxyax

y1yxyx(yarcsinyloga四、非初等函數(shù)符號(hào)函 1o- 當(dāng)x1o-ysgnx 當(dāng)x 當(dāng)x

xsgnx取整函數(shù) 432[x]表示不超過(guò)x的最大整432-4-3-2- o-11 ---階梯曲雷函yD(x)

當(dāng)x是無(wú)理數(shù)y1 無(wú)理數(shù) 有理數(shù)Riemann1,xp整數(shù)pq互質(zhì)R(x) 0,xR\ 1 1 五、函數(shù)極限的定x、觀察函ysinx,當(dāng)x0時(shí)的變x問(wèn)題 如何用描述定義4.1（鄰域）稱集Uo(x;){x|0|x0

|0o為點(diǎn)x0的去心鄰域，或記為Ux0o定義4.2（函數(shù)極限）設(shè)fx)在點(diǎn)x0的去心鄰Uox)內(nèi)有定A為一個(gè)實(shí)數(shù)， 對(duì)0',|xx0|時(shí)|f(x)A|稱xx0時(shí),f(x)以A為極限,記為 f(x)x極限為局部性質(zhì)，僅x0附近取值有關(guān).與fx)在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān);取值和有關(guān).當(dāng)xUo(x;),函數(shù)y f(x)圖形落在0直線yA為中心線 寬為的帶形區(qū)域內(nèi)ysinx例 證明limsinysinxx sinxsinx 0 sinxsinxx0,取X1 則

xXlimsinx

sinxx

x x2例 證明 x x 函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義f(x)A

x2x12

x

要使fx

只要取x2當(dāng)0xx0時(shí),2

1

x2xlim

xx x定義4.3（極限不存在的定義函數(shù)fx)在x0不以A為極限00,對(duì)x'滿足0|x'x0|,但 f(x')A|例2證明()

xR\

,在)處處無(wú)極限證明對(duì)任意x0),若x0為有理數(shù)

0,對(duì)0,由實(shí)數(shù)稠密性， 存在無(wú)理數(shù)x'，滿0|

|f(x0)f(x')|x0若x0為無(wú)理

0

x02

由實(shí)數(shù)稠密對(duì)0 x0,