《探索三角形相似的條件》一、選擇題1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點(diǎn)上，這塊三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）A．一定相似 B．當(dāng)E是AC中點(diǎn)時(shí)相似C．不一定相似 D．無(wú)法判斷4．下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且5．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=6．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．7．如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是（）A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為（）時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．A． B． C．或 D．或9．如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長(zhǎng)線于E，則圖中的相似三角形有（）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)10．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二、填空題13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽，△BAD∽△ACD（寫出一個(gè)三角形即可）．14．如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是．（只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）15．如圖所示，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相似．16．如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=3，過(guò)點(diǎn)M作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=．17．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=．18．過(guò)△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上一定點(diǎn)M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有條．三、解答題19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AM的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：△DBA∽△DAC．20．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．21．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且CE=CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：AB=BG；（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相似．22．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD．（1）通過(guò)計(jì)算，判斷AD2與AC?CD的大小關(guān)系；（2）求∠ABD的度數(shù)．23．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．

《探索三角形相似的條件》參考答案與試題解析一、選擇題1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】設(shè)各小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理分別表示出已知陰影三角形的各邊長(zhǎng)，同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長(zhǎng)，利用三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似可得出左圖中的陰影三角形與已知三角形相似的選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則已知的三角形的各邊分別為，2，，A、因?yàn)槿叿謩e為：，，3，三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；B、因?yàn)槿叿謩e為：1，，，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似；C、因?yàn)槿叿謩e為：1，2，三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；D、因?yàn)槿叿至頌椋?，，，三邊不能與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用；相似三角形的判定方法有：1、二對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；2、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似；3、三邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似；4、相似三角形的定義．本題利用的是方法3．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正確，C不正確；即可得出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、D，錯(cuò)誤的判斷是C；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點(diǎn)上，這塊三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）A．一定相似 B．當(dāng)E是AC中點(diǎn)時(shí)相似C．不一定相似 D．無(wú)法判斷【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】首先連接OC，由等腰直角三角形的性質(zhì)，易證得△COE≌△BOF，則可得△OEF是等腰直角三角形，繼而可得△OEF與△ABC的關(guān)系是相似．【解答】解：連結(jié)OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△CAB．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法：①兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判斷出A、B的正誤；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判斷出C、D的正誤，即可選出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，故不能判定兩三角形相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，故不能判定兩三角形相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判斷出△ABC與△DEF相似，故此選項(xiàng)正確；D、∠A=∠E且不能判定兩三角形相似，因?yàn)橄嗟鹊膬蓚€(gè)角不是夾角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．5．如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】本題中已知∠BAC=∠D，則對(duì)應(yīng)的夾邊比值相等即可使△ABC與△ADE相似，結(jié)合各選項(xiàng)即可得問(wèn)題答案．【解答】解：∵∠BAC=∠D，，∴△ABC∽△ADE．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似，熟記各種判定相似三角形的方法是解題關(guān)鍵．6．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】網(wǎng)格型．【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)已知可求出△ABC三邊的長(zhǎng)，同理可求出陰影部分的各邊長(zhǎng)，從而根據(jù)相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的邊長(zhǎng)均為1∴△ABC三邊分別為2，，同理：A中各邊的長(zhǎng)分別為：，3，；B中各邊長(zhǎng)分別為：，1，；C中各邊長(zhǎng)分別為：1、2，；D中各邊長(zhǎng)分別為：2，，；∵只有B項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，且相似比為故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的理解及運(yùn)用．7．如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是（）A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】題目中隱含條件∠A=∠A，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，得出添加的條件只能是=，根據(jù)比例性質(zhì)即可推出答案．【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：=，∴AC2=AD?AB．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為（）時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．A． B． C．或 D．或【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM與AB和BE是對(duì)應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似，∴①DM與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM與BE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM為或時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)．解決本題特別要考慮到①DM與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，②當(dāng)DM與BE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)這兩種情況．9．如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長(zhǎng)線于E，則圖中的相似三角形有（）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【考點(diǎn)】相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的判定來(lái)找出共有多少對(duì)相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6對(duì)，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)于相似三角形的判定的掌握以及能夠不遺漏的找出全部的相似三角形．10．如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】計(jì)算題．【分析】設(shè)AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，分兩種情況考慮：三角形PDA與三角形CPB相似；三角形PDA與三角形PCB相似，分別求出x的值，即可確定出P的個(gè)數(shù)．【解答】解：設(shè)AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當(dāng)△PDA∽△CPB時(shí)，=，即=，解得：x=1或x=6，當(dāng)△PDA∽△PCB時(shí)，=，即=，解得：x=，則這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確；D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【考點(diǎn)】相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥DC，再結(jié)合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴與△AEF相似的三角形有2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．二、填空題13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽△DBA，△BAD∽△ACD（寫出一個(gè)三角形即可）．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)垂直定義得出∠ADB=∠BAC，根據(jù)相似三角形的判定得出即可．【解答】解：△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA，故答案為：△DBA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，垂直定義的應(yīng)用，能運(yùn)用相似三角形的判定定理進(jìn)行推理是接解此題的關(guān)鍵．14．如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是AB∥DE．（只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】開放型．【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行添加條件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴當(dāng)∠B=∠DEF時(shí)，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE時(shí)，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE時(shí)，使△ABC∽△DEF．故答案為AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．15．如圖所示，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件∠B=∠AED（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相似．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案．【解答】解：已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件∠B=∠AED（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相似，故答案為：∠B=∠AED．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=3，過(guò)點(diǎn)M作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=4或6．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】分別利用，當(dāng)MN∥BC時(shí)，以及當(dāng)∠ANM=∠B時(shí)，分別得出相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：如圖1，當(dāng)MN∥BC時(shí)，則△AMN∽△ABC，故==，則=，解得：MN=4，如圖2所示：當(dāng)∠ANM=∠B時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴=，即=，解得：MN=6，故答案為：4或6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形判定，正確利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．17．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=1或4或．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度．【解答】解：①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，=，即=，解得：PD=1，或PD=4；②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，=，即=，解得：DP=．綜上所述，DP的長(zhǎng)度是1或4或．故答案是：1或4或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要分類討論，以防漏解．18．過(guò)△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上一定點(diǎn)M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有2條．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【分析】過(guò)M作MN∥BC交AB于N；過(guò)M作∠AMD=∠B，交AB于D；即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：過(guò)M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；過(guò)M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；因此符合條件的直線共有2條；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定方法；熟記相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023春?昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AM的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：△DBA∽△DAC．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】證明題．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根據(jù)相似三角形的判定得出即可．【解答】證明：∵∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)的應(yīng)用，能求出∠DAB=∠C是解此題的關(guān)鍵．20．（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，平行線的判定與性質(zhì)以及兩角法證得結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．21．（2023?阜陽(yáng)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且CE=CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：AB=BG；（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相似．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．【分析】（1）利用平行分線段成比例定理得出==，進(jìn)而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分別利用第一種情況：若∠CDB=∠CPB，第二種情況：若∠PCB=∠CDB，進(jìn)而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）證明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：當(dāng)BP長(zhǎng)為或時(shí)，△BCP與△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：在△BCP與△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=；第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BG于H點(diǎn)．如圖2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．綜上所述：當(dāng)PB=或時(shí)，△BCP與△BCD相似．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用分類討論分析是解題關(guān)鍵