統(tǒng)計(jì)學(xué)第9章

方差分析第9章

方差分析§1基本問(wèn)題§2單因素方差分析§3雙因素方差分析2§1基本問(wèn)題§1.1方差分析概念§1.2方差分析中的統(tǒng)計(jì)思想§1.3方差分析中的假定3§1.1方差分析概念方差分析方差分析是通過(guò)檢驗(yàn)各總體的均值是否相等來(lái)判斷分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量是否有顯著影響。方差分析不僅可以提高檢驗(yàn)的效率，同時(shí)由于它是將所有的樣本信息結(jié)合在一起，也增加了分析的可靠性。4§1.1方差分析概念【例9.1】某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同。現(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿的五家超市收集了前一時(shí)期該飲料的銷售情況，如表9—1所示。試分析飲料的顏色是否對(duì)銷售量產(chǎn)生影響。表9—1不同顏色飲料在五家超市的銷售情況

單位：箱5§1.1方差分析概念分析思路：要判斷“顏色”對(duì)“銷量”是否有顯著影響，實(shí)際上就是要分析四種顏色之間銷量是否有顯著差異，最終被歸結(jié)為檢驗(yàn)這四種顏色飲料銷量的均值是否相等。如果它們的均值相等，即四種不同顏色飲料之間的銷售量沒(méi)有顯著差異，就意味著“顏色”對(duì)銷售量沒(méi)有顯著影響；反之，如果它們的均值不全相等，則意味著“顏色”對(duì)銷售量是有顯著影響。6§1.1方差分析概念因素（因子）在方差分析中，被檢驗(yàn)是否有影響作用的對(duì)象稱為因素或因子。水平（處理）因素的不同表現(xiàn)稱為水平或處理。觀測(cè)值每個(gè)因子水平下得到的樣本數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值。7§1.2方差分析中的統(tǒng)計(jì)思想1．兩類誤差方差分析名稱來(lái)源（1）方差分析兩類誤差（從誤差來(lái)源的角度）隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差（2）方差分析兩類誤差（從總誤差分解的角度）組內(nèi)誤差組間誤差數(shù)據(jù)誤差分解是從總誤差分解的角度來(lái)研究的。8§1.2方差分析中的統(tǒng)計(jì)思想2.誤差分解總平方和(SST):如果用平方和表示數(shù)據(jù)的誤差，那么反映全部數(shù)據(jù)誤差大小的平方和稱為總平方和。誤差平方(SSE):反映組內(nèi)誤差大小的平方和稱為組內(nèi)平方和，也稱為誤差平方和或殘差平方和。因素平方和(SSA):反映組間誤差大小的平方和稱為組間平方和，也稱為因素平方和。9§1.2方差分析中的統(tǒng)計(jì)思想數(shù)據(jù)誤差分解過(guò)程如圖9—1所示。10圖9—1誤差分解示意圖§1.2方差分析中的統(tǒng)計(jì)思想3．誤差分析

(1)組間均方、組內(nèi)均方組間誤差、組內(nèi)誤差經(jīng)過(guò)平均后的數(shù)值稱為組間均方、組內(nèi)均方。

(2)因素（自變量）與因變量的關(guān)系判定如果因素（自變量）對(duì)因變量沒(méi)有影響，那么在組間誤差中只包含隨機(jī)誤差，而沒(méi)有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間均方與組內(nèi)均方之比就會(huì)接近1；如果因素（自變量）對(duì)因變量有影響，則組間誤差中除包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間均方就會(huì)大于組內(nèi)均方，二者的比值就會(huì)大于1。當(dāng)比值大至某種程度時(shí)，就認(rèn)為因素的不同水平之間存在著顯著差異，也就是自變量對(duì)因變量有顯著影響。11§1.3方差分析中的假定方差分析假定1.每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布2.每個(gè)總體的方差相等3.觀測(cè)值彼此獨(dú)立12§2單因素方差分析§2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)§2.2分析步驟§2.3計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)結(jié)果13§2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)首先引入單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)問(wèn)題。進(jìn)行單因素方差分析時(shí)，所要求的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形如下表9—2：表9—2單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)14§2.2單因素方差分析步驟1．提出假設(shè)，即設(shè)立原假設(shè)與備擇假設(shè)2．構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及確定分布3．依據(jù)樣本信息汁算該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值4．設(shè)定檢驗(yàn)的顯著性水平

并確定臨界值5．比較理論值（臨界值）與實(shí)際值，進(jìn)行決策15§2.2分析步驟1．提出假設(shè)，即設(shè)立原假設(shè)與備擇假設(shè)

各因子水平下因變量的均值相等（因子影響作用不顯著）

不全相等

各因子水平下因變量均值不全相等（因子的影響作用顯著）其中，

為因素第個(gè)水平下的總體均值。16§2.2分析步驟2．構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及確定分布總平方和SST:反映全部數(shù)據(jù)誤差大小的平方和稱為總平方和.組間平方和SSA:反映組間誤差大小的平方和稱為組間平方和.。組內(nèi)平方和:反映組內(nèi)誤差大小的平方和稱為組內(nèi)平方和，也稱為誤差平方和或殘差平方和，記為SSE。17§2.2分析步驟下式可以用于驗(yàn)證計(jì)算的正確性：自由度SST的自由度為n-1；SSA的自由度為r-1；SSE的自由度為n-r。n=rm為總觀測(cè)值個(gè)數(shù)r為因素水平數(shù)m為每個(gè)水平下的觀測(cè)值個(gè)數(shù)18§2.2分析步驟組間均方MSA計(jì)算公式組內(nèi)均方MSE計(jì)算公式19§2.2分析步驟F統(tǒng)計(jì)量將MSA與MSE進(jìn)行對(duì)比，得到的比值即為需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)原假設(shè)

為真時(shí)，該比值服從分子自由度為r-1、分母自由度為n-r的F分布.20§2.2分析步驟3．依據(jù)樣本信息計(jì)算該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值（1）計(jì)算各個(gè)因素水平下的樣本均值（2）計(jì)算所有因素水平下全部樣本的總均值（3）計(jì)算誤差平方和（4）計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值21§2.2分析步驟（1）計(jì)算各個(gè)因素水平下的樣本均值( )（2）計(jì)算所有因素水平下全部樣本的總均值（）其中：表示第i個(gè)水平下的第j個(gè)樣本觀測(cè)值；m為該水平下的樣本觀測(cè)值個(gè)數(shù)；r為所有因素水平個(gè)數(shù)，且。22§2.2分析步驟（3）計(jì)算誤差平方和23§2.2分析步驟（4）計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值24§2.2分析步驟

4．設(shè)定檢驗(yàn)的顯著性水平

并確定臨界值根據(jù)事先設(shè)定的顯著性水平

，在F分布表中查找分子自由度為

、分母自由度為

所對(duì)應(yīng)的臨界值

。5．比較理論值（臨界值）與實(shí)際值大小，進(jìn)行決策通過(guò)比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值和臨界值的大小判斷原假設(shè)的拒絕情況。具體判斷原則為：如果

，則拒絕原假設(shè)；如果

，則不能拒絕原假設(shè)。25§2.2分析步驟以上分析步驟可以用表格9—3表示，通常稱該表格為方差分析表，具體格式如下：表9—3單因素方差分析表的一般格式26§2.2分析步驟【例9．2】某新品藥進(jìn)入效果測(cè)試階段，測(cè)試人員希望了解該藥品在不同年齡段人群身上的藥效是否相同，因該藥對(duì)骨骼生長(zhǎng)發(fā)育具有強(qiáng)烈抑制作用，故未成年人不在試驗(yàn)范圍內(nèi)，因而將試藥人群分為21~30、31~40、41~50和51~60四個(gè)年齡段，每個(gè)年齡段有10名受試者，在其他各項(xiàng)條件都相同情況下開(kāi)展試驗(yàn)。試驗(yàn)開(kāi)始后，分別測(cè)量每個(gè)受試者某項(xiàng)身體指標(biāo)值，數(shù)據(jù)見(jiàn)表9—4。根據(jù)上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)分析該新藥在不同年齡段人群的藥效是否相同，即年齡是否影響該藥品效果的一個(gè)因素？（

）27§2.2分析步驟表9—4新品藥效果試驗(yàn)數(shù)據(jù)28§2.2分析步驟解：首先，根據(jù)題意設(shè)定原假設(shè)與備擇假設(shè)：

不全相等接下來(lái)，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)信息計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值：已知：

，

，

。（1）計(jì)算各個(gè)因素水平下的樣本均值29§2.2分析步驟（2）計(jì)算所有因素水平下全部樣本的總均值（3）計(jì)算誤差平方和可見(jiàn)：30§2.2分析步驟（4）計(jì)算組間均方和組內(nèi)均方及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值

根據(jù)事先設(shè)定的顯著性水平

，在F分布表中查找分子自由度為

、分母自由度為

所對(duì)應(yīng)的臨界值

在

之間，顯然，

，因此拒絕原假設(shè)，即

不成立，表明該新藥在各個(gè)不同年齡段水平下的藥效存在顯著差異，即年齡是影響該新藥藥效的一個(gè)顯著因素。31§2.3計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)結(jié)果目前很多統(tǒng)計(jì)軟件都可以進(jìn)單因素方差分析的數(shù)據(jù)分析，在SPSS統(tǒng)計(jì)軟件中有專門的模塊程序One-WayANOVA進(jìn)行單因素方差分析。以例9.2為例，運(yùn)行該模塊后，SPSS會(huì)自動(dòng)分解誤差平方和，給出組間方差、組內(nèi)方差、

統(tǒng)計(jì)量及相對(duì)應(yīng)的概率值等一些分析結(jié)果，輸出結(jié)果如表9—5所示。表9—5單因素方差分析表（ANOVA）32§3雙因素方差分析§3.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)§3.2分析步驟§3.3計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)結(jié)果33§3.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

在無(wú)交互作用的雙因素方差分析中，獲取數(shù)據(jù)時(shí)，往往將兩個(gè)因素分別作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)表的行因素和列因素。假如要考慮A因素和B因素對(duì)考察對(duì)象的影響作用，設(shè)試驗(yàn)中，A因素有r個(gè)水平，B因素有k個(gè)水平，則進(jìn)行雙因素方差分析的試驗(yàn)數(shù)據(jù)表結(jié)構(gòu)應(yīng)形如表9—6。

表9—6雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)34§3.2分析步驟雙因素方差分析的步驟1．提出原假設(shè)與備擇假設(shè)2．構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及確定分布3．依據(jù)樣本信息汁算該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值4．設(shè)定檢驗(yàn)的顯著性水平

并確定臨界值5．比較理論值（臨界值）與實(shí)際值，進(jìn)行決策35§3.2分析步驟1．提出原假設(shè)與備擇假設(shè)對(duì)行因素提出的原假設(shè)應(yīng)為：

不全相等

其中，

為行因素第個(gè)水平下的總體均值。對(duì)列因素提出的原假設(shè)應(yīng)為：

不全相等其中，

為列因素第個(gè)水平下的總體均值。36§3.2分析步驟2．構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及確定分布SST是全部樣本觀察值（； )與總的樣本均值的誤差平方和，用公式表示為：其中，

表示行因素第i個(gè)水平下的樣本均值；

表示列因素第j個(gè)水平下的樣本均值；

表示所有樣本的均值。37§3.2分析步驟總誤差平方和的分解部分1.行因素角度SSR：2.列因素角度SSC：3.隨機(jī)因素影響造成的誤差平方和SSE：用于驗(yàn)證的關(guān)系：各平方和的自由度SST的自由度為n-1；SSR的自由度為r-1；SSC的自由度為k-1；SSE的自由度為(r-1)*(k-1)其中，n=rk為總觀測(cè)值個(gè)數(shù)，r為行因素水平數(shù)，k為列因素水平數(shù)。38§3．2分析步驟各均方計(jì)算公式行因素的均方：行因素的均方：

隨機(jī)誤差項(xiàng)的均方：構(gòu)造行因素和列因素檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)行因素的統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)列因素的統(tǒng)計(jì)量：39§3.2分析步驟3．依據(jù)樣本信息計(jì)算該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值（1）分別計(jì)算行因素、列因素各個(gè)水平下的樣本均值（2）計(jì)算所有因素水平下全部樣本的總均值（3）計(jì)算誤差平方和（4）計(jì)算行因素、列因素檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值40§3.2分析步驟4．設(shè)定檢驗(yàn)的顯著性水平

并確定臨界值根據(jù)事先設(shè)定的顯著性水平

，在F分布表中查找行因素、列因素統(tǒng)計(jì)量相對(duì)應(yīng)的臨界值

、

。5．比較理論值（臨界值）與實(shí)際值大小，進(jìn)行決策分別比較行、列因素檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值與其相對(duì)應(yīng)的理論值（臨界值）大小，判斷原假設(shè)的拒絕情況，進(jìn)行決策。41§3.2分析步驟雙因素方差分析的步驟可以用表格9—7表示，該表也稱為方差分析表，具體格式如下：表9—7雙因素方差分析表的一般格式42§3.2分析步驟【例9.3】某品牌飲料生廠商要分析飲料顏色和銷售地區(qū)對(duì)該飲料銷售量的影響作用，分別將該品牌的飲料調(diào)制成四種顏色后，在五個(gè)地區(qū)進(jìn)行銷售，通過(guò)一周的銷售試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)（表9—8）：請(qǐng)?jiān)谥眯哦?/p>

的水平下，分析飲料顏色和地區(qū)這兩個(gè)因素對(duì)于銷售量是否有顯著影響？表9—8飲料銷售試驗(yàn)數(shù)據(jù)43§3.2分析步驟解：根據(jù)題意：

，

，

，

對(duì)行、列因素分別建立假設(shè)：行因素：

列因素：

44§3.2分析步驟依據(jù)樣本數(shù)據(jù)信息汁算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值：（1）計(jì)算各個(gè)因素水平下的樣本均值，用表格形式表示為：注：右下角的灰色底紋單元格內(nèi)表示全部樣本觀測(cè)值的均值，即

。45§3.2分析步驟（2）計(jì)算各項(xiàng)誤差平方和（3）計(jì)算各均方及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值46§3.2分析步驟（4）行因素和列因素的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本值根據(jù)事先設(shè)定的顯著性水平

，在分布表中分別查找對(duì)應(yīng)的的臨界值

，

，顯然，

，因此拒絕行因素的原假設(shè)，即

不成立，說(shuō)明飲料的顏色是影響飲料銷售量的一個(gè)顯著因素；

，因此不能拒絕列因素的原假設(shè)，即不能拒絕

（

）均相等，表明地區(qū)因素并不是影響飲料銷售量的顯著因素。47§3