1.1.1任意角

教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)與技能目標(biāo)

理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角)與區(qū)間角的概念.

(二)過(guò)程與能力目標(biāo)

會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角，能判斷象限角，會(huì)書(shū)寫(xiě)終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角

的集合的書(shū)寫(xiě).

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

1.提高學(xué)生的推理能力；2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書(shū)寫(xiě).

教學(xué)難點(diǎn)

終宮相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書(shū)寫(xiě).

教學(xué)過(guò)程

一、引入：

1.回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所

形成的圖形.

二、新課:

1.角的有關(guān)概念:

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)?條射線繞著端點(diǎn)從?個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

②角的名稱(chēng)：

始邊

③角的分類(lèi)：終邊人爺一J

「正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角人點(diǎn)

J零角：射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

〔負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“/a”可以簡(jiǎn)化成“a”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0。；

⑶角的概念經(jīng)過(guò)推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角.

⑤練習(xí)：請(qǐng)說(shuō)出角a、B、Y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除

外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.

例1.如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？

例2.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

⑴60°；(2)120°；(3)240°；(4)300°；(5)420°；(6)480°；

1)

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角a終邊相同的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={BIB=a+

k?360°,

keZ),即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整個(gè)周角的和.

注意：

(1)keZ

⑵a是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無(wú)限個(gè)，它們

相差

360。的整數(shù)倍；

⑷角a+k?720°與角a終邊相同，但不能表示與角a終邊相同的所有角.

例3.在0。到360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角.

(1)-120°；(2)640°；⑶-950°12'.

答：⑴240。，第三象限角；⑵280。，第四象限角；⑶129。48',第二象限角;

例4.寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).

解：{a|a=90°+n?180°,neZ).

例5.寫(xiě)出終邊在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360°WBV720。的元素6

寫(xiě)出來(lái).

4.課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類(lèi)：

「正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

V零角：射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

I負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材Pz-Ps;②教材艮練習(xí)第1-5題；③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題

思考題：已知a角是第三象限角，則2a,4各是第兒象限角？

2

解：:a角屬于第三象限，

k?360°+180°<a<k?360°+270°(keZ)

因此，2k?360°+360°<2a<2k-360°+540°(keZ)

即(2k+1)360°<2a<(2k+1)360°+180°(keZ)

故2a是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

a

又k?1800+90°<—<k?180°+135°(kGZ).

2

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(nGZ),則n?36。°+90°<—<n?360°+135°(neZ),

2

此時(shí)，上a屬于第二象限角

2

a

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+l(nSZ),則n?360°+270°<—<n?360°+315°(nSZ),

2

此時(shí)，上a屬于第四象限角

2

a

因此一屬于第二或第四象限角.

2

1.L2弧度制（一）

教學(xué)目標(biāo)

（四）知識(shí)與技能目標(biāo)

理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起-一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特

殊角的弧度數(shù).

（五）過(guò)程與能力目標(biāo)

能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式,

并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題

（六）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過(guò)新的度量角的單位制（弧度制）的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過(guò)對(duì)弧度制

與角度制下弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的對(duì)比，讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)及扇形面積公式在弧度制下

的簡(jiǎn)潔美.

教學(xué)重點(diǎn)

弧度的概念.弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)角度制：

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的？

規(guī)定把周角的士作為1度的角，用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制.

360

二、新課：

1.引入：

山角度制的定義我們知道,角度是用來(lái)度量角的，角度制的度量是60進(jìn)制的,運(yùn)用起來(lái)

不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度一弧度制，它是

如何定義呢？

2.定義

我們規(guī)定，長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制

叫做弧度制.在弧度制下，1弧度記做Irad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

3.思考:

（1）一定大小的圓心角a所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)

嗎？

（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納:

弧度制的性質(zhì)：

2勿。

①半圓所對(duì)的圓心角為一=%；②整圓所對(duì)的圓心角為=2%.

r

③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a\=-.

r

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

TT11TT

360°=2萬(wàn)：180。=%；1°=—?0.01745raJ；n°=—rad.

180180

②將弧度化為角度:

2夕=360；p=180；\rad=(出)盎57.30?5718Gn=(.

pp

5.常規(guī)寫(xiě)法：’

①用弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少n的形式，不必寫(xiě)成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.恃殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度OOOOOOOOOOO

弧717171712萬(wàn)3萬(wàn)5萬(wàn)34

0兀24

度64323462

7.弧長(zhǎng)公式

同=—?Ir同

r

弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積.

例1.把67°30'化成弧度.

3

例2.把一萬(wàn)rad化成度.

5

例3.計(jì)算：

TT

(l)sin-；(2)tan1.5.

4

例4.將下列各角化成。到2JI的角加上2kn(keZ)的形式:

(1)-^-；(2)-315°.

例5.將下列各角化成2kJi+a(k￡Z,0WaV2冗)的形式，并確定其所在的象限.

八、19萬(wàn)小、31乃

(1)??；(2)一丁.

3o

解：(1)且19萬(wàn)=2)+7經(jīng)不，

36

而？王是第三象限的角，\3是第三象限角.

63

(2)?/-迎=-6夕+生，'-亞是第二象限角.

666

例6.利用弧度制證明扇形面積公式S=；/R‘其中/是扇形弧長(zhǎng)’A是圓的半徑

證法一：：圓的面積為成2,.?.圓心角為had的扇形面積為成2,又扇形弧長(zhǎng)為1,半徑為

2萬(wàn)

R,

.?.扇形的圓心角大小為,rad,.?.扇形面積S=!//?.

RR22

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面枳公式為5=巴芷，又此時(shí)弧長(zhǎng)

360

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化,而弧度制下的扇形面積公式顯然要

簡(jiǎn)潔得多.

扇形面積公式:S=glR=Ja|R2

7.課堂小結(jié)①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系

與區(qū)別.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材R-Ps;

②教材￡練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題.

4T.2.1任意角的三角函數(shù)（三）

教學(xué)目的:

知識(shí)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式；

2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；

3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。

能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域、

值域有更深的理解。

德育目標(biāo)：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神：

教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的利用。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

sin（2k萬(wàn)+a）=sina（keZ）

cos（2A：^+a）=cosa（keZ）

tan（2A7r+a）=tana（女eZ）

練習(xí)1.tan600。的值是

B.—C.-V3D.V3

3

練習(xí)2若sinOcos。〉0,則除________.B

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限

結(jié)”若cos8〉0,且sin28<0則。的終邊在__

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第二象限

二、講解新課：

當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足J/+V=i時(shí).，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的

幾何表示——三角函數(shù)線。

1,有向線段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)

P(x,y)，

過(guò)P作X軸的垂線，垂足為過(guò)點(diǎn)A(1,O)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向

延￡7/

長(zhǎng)線交與點(diǎn)T，

由四個(gè)圖看出：

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段。M=x,MP=y,于是有

.yy.xx,yMPAT

sina=—=—=y=MP,cosa-----x-OM,tana=—=---=---=AT

r1r1xOMOA

我們就分別稱(chēng)有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說(shuō)明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為&的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線

在x軸上；正切線在過(guò)單位圓與工軸正方向的交點(diǎn)的切線上,

三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指

向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與1的終邊的交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與％軸或丁軸同向的為正值，與x軸或？軸反

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書(shū)寫(xiě)：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

4.例題分析：

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

解：圖略。

例3.比較大?。?/p>

2.424

(1)sin—^^sin—(2)cos—7r^cos—TC

24

(3)tan—tan-TT

例4相?！?句上滿(mǎn)足sin、器的他取值范圍是（）

例5.利用單位圓寫(xiě)出符合卜,列條件的角x的范圍.

(1)sinx<-g;(2)cosx>g.

[冗[\7i冗冗

答案：（1）——F2k兀<x<----F2k兀,攵eZ；（2）----F2k兀<x<—F2k兀,左eZ：

6666

三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.三角函數(shù)線的定義；

2.會(huì)畫(huà)任意角的三角函數(shù)線；

3.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

.2萬(wàn)一.472萬(wàn)一47

1°sin——與sin——2°tan——與tan--

3535

解：如圖可知：

.2〃.4〃2萬(wàn)4萬(wàn)

sin——>sin——tan-<tan--

3535

例2.利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

30°^a^l50°

30°<a<90?；?10°<a<270°

補(bǔ)充：1.利用余弦線比較cos64°,cos285°的大小；

TT7T

2.若一<6<一,則比較sing、cos，、tan。的大??；

42

3.分別根據(jù)下列條件，寫(xiě)出角。的取值范圍：

y/3V3

（1）cos0<—；（2）tan?>—1；（3）sin0>------.

22

4T.2.1任意角的三角函數(shù)（1）

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

2.已知角a終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角a的各三角函數(shù)值；

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。

能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)：

（3）通過(guò)對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分

析、探究、解決問(wèn)題的能力。

德育目標(biāo)：（1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與

比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；

（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各

象限的符號(hào)），以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重

點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他

們的集合形式表示出來(lái).

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？

在Rt^ABC中，設(shè)A對(duì)邊為a,B對(duì)邊為b,C對(duì)邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依

a,b,a

次為sinA--,cosA——,tanA=—.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。

二、講解新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為（x,y）,

它與原點(diǎn)的距離為r（r=+1y1=+>2>0）,那么

（1）比值上叫做a的正弦，記作sina,即sina=）；

rr

YY

（2）比值一叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=—；

8}

(3)比值)叫做a的正切，記作tana,BPtan?=—；

xx

xx

(4)比值一叫做a的余切，記作cota,即cota=—；

yy

說(shuō)明：①a的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，a的終邊沒(méi)有表明a?定是正角或負(fù)角，以及a

的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；

②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a,四個(gè)比值不以點(diǎn)P(x,y)在a的終邊上

的位置的改變而改變大小；

7T

③當(dāng)。=5+左萬(wàn)伏62)時(shí)，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)X都等

于0,

所以tana=工無(wú)意義；同理當(dāng)a=上萬(wàn)(AeZ)時(shí)，cota=±無(wú)意義；

xy

④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值a,比值上、土、?、土分別是一個(gè)確定的實(shí)

rrxy

數(shù)，

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為

三角函數(shù)。

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

71

y=tana{a1a手5+k兀，keZ}R

注意：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)a是任意角，射線0P是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與ox轉(zhuǎn)了

幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無(wú)關(guān).

(3)sina是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“a”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形

的性質(zhì)，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角

函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定

義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研

究過(guò)程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角

坐標(biāo)系的第一象限，使?銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，?直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們

熟悉的銳角三角函數(shù)類(lèi)比記憶.

3.例題分析

例L求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值：(通過(guò)本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)

(1)0；(2)萬(wàn)；

解(1)因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，x=r,y=0,所以

sin0=0,co$0=l,tan0=0,cot0不存在。

(2)因?yàn)楫?dāng)a=乃時(shí)，x--r,y=0,所以

sin;r=0,cos7=-1,tan%=0,cot乃不存在,

37r

(3)因?yàn)楫?dāng)a=5-時(shí)，x=0,y=-r,所以

萬(wàn)八

sin—=-1fcos—=0,tan—不存在,cot—3=0,

2222

例2.已知角Q的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(2,-3),求a的四個(gè)函數(shù)值。

解：因?yàn)閤=2,y=—3,所以r=j22+(—3)2=岳，于是

3713x22V13

sina=z=^l=cosa=—=—j=

rV1313rV1313

y3x2

tana=—=——；cota=—=——.

x2y3

例3.已知角Q的終邊過(guò)點(diǎn)(〃,2a)(aw0),求a的四個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(。,2。)(。w0),所以r二百1。1,x=a,y=2a

少八討?y2。2。275A45a

當(dāng)a>0U寸,sina=—=—j=-----=—j=-=------cosa=-

ry!5\a\y/5a5r

tana=2;cota;

立nn-f?y2。2。2V5

當(dāng)a<0時(shí),sma===—j=----=——j=-=------；

rV5lal-45a5

xay/5a31

cosa=—=--j=-=-------；tana=2;cota=—

r—x/5tz52

4.三角函數(shù)的符號(hào)

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：

①正弦值上對(duì)于第一、二象限為正(y>04>0),對(duì)于第三、四象限為負(fù)(y<0,r>0)；

X

②余弦值一對(duì)于第一、四象限為正(x〉0/〉0),對(duì)于第二、三象限為負(fù)(x<0,r〉0)；

r

③正切值上對(duì)于第一、三象限為正(x,y同號(hào))，對(duì)于第二、四象限為負(fù)(x,y舁號(hào)).

x

說(shuō)明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

練習(xí)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

7T1\jr

(1)cos250°；(2)sin(-—)；(3)tan(-672°)；(4)tan—.

例4.求證：若sina<0且tana>0,則角夕是第三象限角，反之也成立。

5.誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin(a+2&萬(wàn))=sina,

cos(cif+2k7r)=cosa,其中女EZ.

tan(a+2k兀)=tana,

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為。?2五間角的三角函數(shù)值問(wèn)題.

O元11jr

例5.求下列三角函數(shù)的值：(1)cos—,(2)tan(------),

46

(10)

Icosx\tanx

例6.求函數(shù)y=J——1+拌彳的值域

cosx|tanx|

解：定義域：cosxM；.x的終邊不在x軸上又：tanxxO，x的終邊不在y軸上

二當(dāng)x是第I象限角時(shí)，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=jtanx|y=2

.......II........,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx/.y=-2

........IIIIV......,Icosx|=-cosx)tanx|=tanxy=0

，x>0,y<0

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義；2.三角函數(shù)的定義域、值域；3.三角函數(shù)的符號(hào)及誘

導(dǎo)公式。

五、鞏固與練習(xí)

1、教材P15面練習(xí)：

2、作業(yè)P20面習(xí)題L2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)

題。

4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)

系；

2.熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法。

能力目標(biāo)：牢固掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分

析、解決三角的思維能力；

教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程：

-、復(fù)習(xí)引入：

1.任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)角a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為

r(r=JlxF+1y『=[x2+>0),那么：sina=-,cosa--,tana=),

rrx

2.當(dāng)角a分別在不同的象限時(shí)，sina、cosa、tga的符號(hào)分別是怎樣的？

3.背景：如果sinA=匕，A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數(shù)值；

5

4.問(wèn)題：由于a的三角函數(shù)都是由x、y、r表示的，則角a的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)

系？

二、講解新課：

(-)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

(板書(shū)課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系)

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

11}

(1)商數(shù)關(guān)系：tana=S^na(2)平方關(guān)系：sin2a+con2a=1

cona

說(shuō)明：

①注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如sin?4a+cos24a=1等；

②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如

tana?cot2=l(aw——,keZ)；

2

③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用(正用、反用、變形用)，如:

cosa=±vl-sin2a,sin2a=1-cos?a,cosa=‘巾。等。

tana

2.例題分析：

一、求值問(wèn)題

例1.(1)已知sina=—,并且a是第二象限角,求cosa,tana,cota.

13

4

(2)已知cosa=-g，求sinajana.

ios

解(0?/sin2cr+cos2a=1,cos2a=1-sin2a=l-(一)2=(一)2

1313

s

又,：a是第二象限角，cosa<0,即有cosa=從而

13,

_sina_1215

tana-

cosa5.tana12

(2)Vsin26if+cos2a=1

4

又?:cosa=——<0,???a在第二或三象限角。

5

3sina3

當(dāng)。在第二象限時(shí)，即有sina〉0,從而sina=-，tana=-----；

5cosa4

3sina3

當(dāng)a在第四象限時(shí)，即有sina<0,從而sina=--，tana=-——=一.

5cosa4

總結(jié)：

1.已知?個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值

中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解

的情況不止一種。

2.解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①?zèng)]有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方

關(guān)系開(kāi)平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。

例2.己知tana為非零實(shí)數(shù)，用tana表示sina,cosa.

,a->,sina

解1a：.sin-a+cos-a=l,tana=------

cosa

：.(cosatana)2+cos2a=cos2ot(l+tan2a)=1,即有cos2a-----―

1+tan-a

又???tana為非零實(shí)數(shù)，為象限角。

V1+tan2a

當(dāng)a在第一、四象限時(shí)，即有cosa>0,從而cosa

1+tan2a

12}

tanaVT+tan2^

sin。=tanscosa=-----------z--------；

l+tan~a

2

當(dāng)a在第二、三象限時(shí)，即有cosa<0,從而cosa=—J----二一Vl+tana

V1+tan"a1+tan2a

tan^Vl+tan26z

sina-tana-cosa----------------------.

1+tanra

“ic-A?-esina—4cosa

例3、已知sina=2cosa，求---------------2

5sina+2cosa⑵2sin2a+2sinacosa-cosa.

解：vsina=2cosa「.tana=2

?_s_i_n_a__-4__c_o_s_a___t_a_n_a__-_4___-_2____1

5sina+2cosa5tana+2126

強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：1°分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cosa,將分子、

分母轉(zhuǎn)化為tana的代數(shù)式；

2?！盎?法”

可利用平方關(guān)系siMa+cos2a=1,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)

系化歸為tana的分式求值;

小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：

（1）盡量使函數(shù)種類(lèi)最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；

（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；

（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開(kāi)出來(lái)；

（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái)，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧

妙的變形,

二、化筒

練習(xí)1.

解：原式=J1—sir?(36。'+8。。)=J1—sin?80。=后赤=80二

化簡(jiǎn)叵遠(yuǎn)+|l+cosl

(萬(wàn)<6</)

練習(xí)2.Nl+coseV1-COS0

三、證明恒等式

cosx_1+sinx

例4.求證:

1-sinxcos冗

證法一：由題義知cosxwO,所以l+sinx。0,1—sinxwO.

.」cosx(l+sinx)cosx(l+sinx)l+sinx.

??j==石邊?

(1-sinx)(l+sinx)cosxcosx

???原式成立.

證法二：由題義知cosxwO,所以1+sin0,1-sinx^O.

又V(1-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx?cosx,

.cosx14-sinx

??------=--------.

1-sinxcos%

證法三：由題義知cosxwO,所以l+sinxwO,l-sinx.

13}

cosx1+sinxcosx.cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x

===(),

1-sinxcosx----------(1-sinx)cosx-----------(1-sinx)cosx

.cosx1+sinx

?.----；—=-------.

l-sinxcosx

總結(jié)：證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明時(shí)常

用的方法有：(1)從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊；

(2)證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；

(3)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及成立的條件；

2.根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值；

五、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)第五課時(shí)

參考魄_______________

化簡(jiǎn)Jl-2sin40°cos40°.

解：原式=Jsii?40°+cos?400-2sin40°cos40°

=J(sin4(V—COS4(T)2=1cos400-sin40°1=cos400-sin40"

思考1.已知sina+cosa(0<0<7i),求tan。及si/S-cos^9的值。

""5

12

解：1。由sinacosa0<0<71,得：cos0<0z.0G(—,K)

2592

497

由(sina-cosa)2得：sin0-cos0聯(lián)立:

25'5

2、求tana的值。

上&1)2+(絲二3)2

解：VsinJa+cosJa=11

m+5m+5

化簡(jiǎn)，整理得：〃?(〃?-8)=0m,=0,m2=8

43..............

當(dāng)m=0時(shí);sina=《，cosa=>(與a是第四象限角不合)

w…?12512

三Im=8時(shí)，sinot=---,cosa——,「.tana=----

13135

1.3誘導(dǎo)公式(一)

教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

(二)過(guò)程與能力目標(biāo)

(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

通過(guò)公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的

探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌藉次導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(l80°+a)=-sinacos(l80°+a)=-cosatan(l80°+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin(—a)=-sinacos(-a)-cosatan(-a)=-tana

誘導(dǎo)公式(四)

sin(180°-a)=sinacos(180°-a)=-cosatan(180°-a)=-tana

對(duì)于五組誘導(dǎo)公式的理解：

①公式中的a可以是任意角；

②這四組誘導(dǎo)公式可以概括為：

2k兀+a(k-a,"+a,萬(wàn)-a,的三角函數(shù)值，等于它的同名

三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。

總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

練習(xí)1：P27面作業(yè)1、2、3、4。

2：P25面的例2：化簡(jiǎn)

二、新課講授：

1、誘導(dǎo)公式(五)sin(--cu)=cosacos(---a)-sina

2、誘導(dǎo)公式(六)sin(—■ha)=cosacos(—+a)=-sina

2

總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號(hào)看象限

例1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：

3773\TT17

(l)tan—,(2)sin——,(3)cos519°,(4)sm(一可乃).

536

練習(xí)3：求下列函數(shù)值：

(l)cos^^,(2)sin(-^^),(3)sin670°,

(4)tan5800).

64

3萬(wàn)

例2.證明：(1)sin(--a)=-cosa

{-}

(2)cos(^-a)=-sina

?/\/\/冗、1\TC、

sm(24-a)cos(4+a)cos(—+6z)cos(z------a)

例3.化簡(jiǎn)：--------------------------%-------------------------己---------------

97r

cos(4-a)sin(3萬(wàn)-a)sin(-a-乃)sin(^-+a)

例4.已知tan(乃+a)=3,

2cos(%-a)-3sin(7+a)

求:的值。

4cos(-a)+sin(2%-a)

解：vtan(^+a)=3,.,.tana=3.

-2cosa+3sina_-2+3tana_-2+3x3

4cosa-sina4-tana4-3

小結(jié)：

①三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程圖:

②三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程口訣：

負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.

練習(xí)4：教材P28頁(yè)7.

三.課堂小結(jié)

①熟記誘導(dǎo)公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；

③運(yùn)用誘導(dǎo)公式可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

四.課后作業(yè)：

①閱讀教材；

②《習(xí)案》作業(yè)七.

1.3誘導(dǎo)公式(二)

教學(xué)目標(biāo)

(-)知識(shí)與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

(-)過(guò)程與能力目標(biāo)

(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

通過(guò)公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的

探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌握；誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)而誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

教學(xué)過(guò)程

16}

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式（一）

sin（360%+a）=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式（二）

sin（l80°+a）=—sinacos(l80°+a)=-cosatan(180°+a)=tana

誘導(dǎo)公式（三）

sin（—a）=-sinacos(-a)=cosatan(-6r)=Tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（7t—a）=sinacos(7t—a)=-cosatan(TC-a)=-tana

誘導(dǎo)公式（五）

sine-a）=cosacose-a)=sina

誘導(dǎo)公式（六）

sin（］+a）=cosacos(]+a)=-sina

二、新課講授：

練習(xí)1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：

AQ1?

(l)tan—,(2)sin——,(3)cos519°,(4)sin(-----兀).

5363

練習(xí)2：求下列函數(shù)值：

衣〈Q1

⑴cos.，(2)sin(-也)，(3)sin670。，(4)tan580°).

64

37r

例1.證明：(1)sin