江蘇省宿遷市宿城區(qū)龍河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線與拋物線相切，則雙曲線的離心率等于(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線的相關(guān)知識即可建立方程求出，再利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及相關(guān)性質(zhì)，即可求出離心率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線方程為，則，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以有，解得，則，所以雙曲線方程為，即標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以有，則，所以離心率，故答案選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，切線方程問題以及雙曲線離心率的求解，屬于中檔題.對于切線問題，關(guān)鍵是抓住這三個關(guān)系：（1）切點(diǎn)在曲線上；（2）切點(diǎn)在切線方程上；（3）曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.2.下列選項中與點(diǎn)位于直線的同一側(cè)的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.當(dāng)曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)與方程.【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路:1．直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；2．分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3．?dāng)?shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.4.若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，線段被拋物線的焦點(diǎn)分成長度之比為2︰1的兩部分線段，則此雙曲線的離心率為

A、;

B、;

C、

;

D、

;

參考答案：B略5.已知，則=

A. B.C. D.參考答案：C略6.（2009江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則等于A.

18

B.

24

C.

60

D.

90參考答案：C解析：由得得,再由得

則,所以,.故選C7.己知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的

A,

B.

C.

D．參考答案：C略8.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是

（

）（A）a＞c＞b

（B）a＞b＞c

（C）c＞a＞b

（D）b＞c＞a參考答案：A9.已知，為單位向量，且滿足，則（

）A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案：C【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義及乘法運(yùn)算,即可求得【詳解】因?yàn)閯t由向量數(shù)量積的定義可得,為單位向量則即由向量夾角的取值范圍為可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的定義,向量的夾角求法,屬于基礎(chǔ)題.10.已知a、b為正實(shí)數(shù)，直線y=x﹣a與曲線y=ln（x+b）相切，則的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′==1，x=1﹣b，切點(diǎn)為（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴a∈（0，1），則=，令g（a）=，則g′（a）=，則函數(shù)g（a）為增函數(shù)，∴∈（0，）．故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

②若m⊥α，m⊥β，則α∥β③若m、n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β④若m?α，n?β，m∥n，則α∥β

其中正確的命題的序號是．參考答案：②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】規(guī)律型．【分析】由空間平面與平面之間位置關(guān)系的定義及判定方法，可以判斷①的正誤；若m⊥α，m⊥β，則α∥β，可由垂直同一條直線的兩個平面的關(guān)系判斷；對于③，利用反證法，可得到α∥β；對于④，α∩β=a，m?α，n?β，m∥a，n∥a，故m∥n，從而可判斷．【解答】解：對于①，若α⊥β，β⊥γ，則α與γ可能相交，也可能平行，故①錯誤；對于②，因?yàn)橛蒻⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命題正確；對于③，若α∩β=a，則因?yàn)閙?α，m∥β，n?β，n∥α，所以m∥a，n∥a，∴m∥n，這與m、n是異面直線矛盾，故結(jié)論正確對于④，α∩β=a，m?α，n?β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故結(jié)論不正確故正確的命題為：②③故答案為：②③【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是空間直線與平面之間的位置關(guān)系判定及命題的真假判斷與應(yīng)用，其中熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．12.設(shè)，其中．若對一切恒成立，則以下結(jié)論正確的是___________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；

②；

③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調(diào)遞增區(qū)間是；⑤

經(jīng)過點(diǎn)的所有直線均與函數(shù)的圖象相交．參考答案：①

③

⑤為參數(shù)。因?yàn)椋允侨呛瘮?shù)的對稱軸，且周期為，所以，所，所以.①,所以正確。②，，因?yàn)?，所以，所以，所以②錯誤。③函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以③正確。因?yàn)?，所以單調(diào)性需要分類討論，所以④不正確。假設(shè)使經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線與函數(shù)的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，且，即，所以矛盾，故不存在經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線于函數(shù)的圖象不相交故⑤正確。所以正確的是①

③

⑤。13.B.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.則曲線C上的點(diǎn)到直線的最短距離為

.參考答案：14.如圖,、為圓的兩條割線,若，，，，則

.參考答案：615.如圖，在△ABC中，若AB=1，AC=3，?=，則BC=參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)數(shù)量積得出1×3cos∠BAC=，cos∠BAC=，運(yùn)用余弦定理得出BC即可．解答：解：∵在△ABC中，若AB=1，AC=3，?=，

∴1×3cos∠BAC=，∴cos∠BAC=，∴在△△ABC中根據(jù)余弦定理得出BC2=1=7，∴BC=故答案為：點(diǎn)評：本題考查了平面向量的數(shù)量積在求夾角中的應(yīng)用，余弦定理求解邊長問題，屬于中檔題．16.設(shè)x是正實(shí)數(shù)，若n∈N﹡時，不等式（nx－20）ln（）≥0恒成立，則x的取值范圍是____________．參考答案：略17.設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域,則中的點(diǎn)到直線距離的最大值是_______.參考答案：答案：解析：畫圖確定可行域，從而確定到直線直線距離的最大為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，且數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜2n+．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項an和Sn的關(guān)系，即可求解{an}的項公式；（2）由bn=2+（﹣），即可利用裂項相消法求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，繼而得以證明．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣﹣=n+1，又當(dāng)n=1時，a1=S1=2適合an=n+1；∴an=n+1．…（2）證明：由（1）知bn=n+3﹣（n+1）+=2+（﹣），…∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2n+（﹣+﹣+…+﹣）…=2n+（+﹣﹣）＜2n+…．19.（本題滿分12分）學(xué)校要用三輛校車從老校區(qū)把教職工接到校本部，已知從老校區(qū)到校本部有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；校車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為．若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．（1）若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（2）在（I）的條件下，求三輛校車中被堵車輛的輛數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：解：（1）由已知條件得

即，則

答：的值為．………………4分（2）解：可能的取值為0，1，2，3

…………8分

的分布列為：

0123

所以

答：數(shù)學(xué)期望為．

……12分略20.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最值．參考答案：（1）．由，得，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）∵，∴，當(dāng)取到最大值1，此時；當(dāng)取得最小值，此時．21.（本小題滿分13分）已知數(shù)列中，，，其前項和為，且當(dāng)時，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）令，記數(shù)列的前項和為，證明對于任意的正整數(shù)，都有成立．參考答案：（Ⅰ）證明：當(dāng)時，,

所以．

又由，可推知對一切正整數(shù)均有，

∴數(shù)列是等比數(shù)列．

………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項為1，公比為4，

∴．當(dāng)時，，又，∴

………７分

（Ⅲ）證明：當(dāng)時，，此時

，

又，

∴．

………９分

，

當(dāng)時，＝

．