專題8.2橢圓雙曲線拋物線〔測(cè)試時(shí)間：120分鐘總分值：150分〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，共60分〕1.雙曲線〔，〕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，那么它的焦距為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).2.如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，那么橢圓的方程為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，由余弦定理，，那么，由橢圓定義，，所以，又，所以．考點(diǎn)：余弦定理、橢圓的定義．3.拋物線的準(zhǔn)線方程是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：求拋物線的準(zhǔn)線方程．4.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為，那么的值為〔〕A．B．C．D．【答案】C．【解析】試題分析：∵P是橢圓上的點(diǎn)，∴，又∵軸，∴，∴，應(yīng)選C．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)．5.【2023黑龍江齊齊哈爾一模】假設(shè)拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，那么〔〕A.B.C.3D.4【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為根據(jù)拋物線定義可知：5=n+1,即n=4應(yīng)選：D6.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，那么雙曲線的離心率的值是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：1.平面向量的運(yùn)算；2.余弦定理；3.雙曲線的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】此題主要考查的是雙曲線的幾何性質(zhì)，向量知識(shí)的運(yùn)用，計(jì)算能力，屬于中檔題，分析題目可知，求出的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)可得到的坐標(biāo)，再將其代入到雙曲線方程中，即可得到一個(gè)關(guān)于離心率的一元四次方程，用換元法即可求出離心率的值，因此解此類題目，正確的運(yùn)用向量的坐標(biāo)關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.7.與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)〔2，2〕的雙曲線方程為〔〕A．B．C．D．【答案】【解析】試題分析：設(shè)雙曲線方程為雙曲線過(guò)點(diǎn)〔2，2〕，那么所以方程是：，應(yīng)選B考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．雙曲線的性質(zhì)．8.【2023河南中原名校聯(lián)考】橢圓〔〕的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，假設(shè)為其上一點(diǎn)，且，那么此橢圓離心率的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】，，那么，那么，，，又，橢圓離心率的取值范圍是，選C.9.設(shè)圓的圓心為C，A〔1，0〕是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)，那么的軌跡方程為〔〕A、B、C、D、【答案】A【解析】考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．10.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，是此橢圓上的一點(diǎn)，且，，那么該橢圓的方程是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椋裕忠?，所以，．故橢圓方程為．選A．考點(diǎn)：橢圓根本量運(yùn)算求橢圓方程．11.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，假設(shè)，，那么橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：1．橢圓定義；2．橢圓方程及性質(zhì)12.【2023華大新高考聯(lián)盟聯(lián)考】拋物線，點(diǎn)是拋物線異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，連接并分別延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，連接，假設(shè)直線的斜率存在且分別為，那么〔〕A.4B.3C.2D.【答案】B【解析】設(shè)，那么直線的方程為代入拋物線，整理得，所以,即，從而,故，同理可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，從而.所以，.所以.應(yīng)選C.二．填空題〔共4小題，每題5分，共20分〕13.是雙曲線〔〕的一個(gè)焦點(diǎn)，那么．【答案】14.為拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，假設(shè)，〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕，那么△的面積為．【答案】【解析】試題分析：由題意得，由拋物線定義得，所以考點(diǎn)：拋物線定義?！痉椒c(diǎn)睛】1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．15.【2023廣西柳州聯(lián)考】焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為6，假設(shè)該橢圓的離心率為，那么橢圓的方程是__________．【答案】【解析】由題設(shè)知,,所以橢圓方程為16.過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為中點(diǎn)，定點(diǎn)滿足：對(duì)于任意的都有，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】試題分析：設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，，消元得到：，化簡(jiǎn)得：，所以，，所以，又點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，所以，那么，令，得，假設(shè)存在點(diǎn)，使,那么即，所以恒成立，所以，解得，因此定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0，4〕，離心率為；〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕求過(guò)點(diǎn)〔3，0〕且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】〔1〕〔2〕【解析】〔2〕設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么由韋達(dá)定理得，,所以中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，并將其代入直線方程得，故所求中點(diǎn)坐標(biāo)為．考點(diǎn)：求橢圓方程、直線與橢圓相交求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．18.如圖，過(guò)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸的拋物線上的定點(diǎn)作斜率分別為的直線，分別交拋物線于兩點(diǎn)．〔1〕求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；〔2〕假設(shè)，且的面積為，求直線的方程．【答案】〔1〕拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為；〔2〕或．【解析】試題解析：〔1〕拋物線的方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，∴拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．〔2〕∵兩點(diǎn)在拋物線上，∴直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，∴，，，∴，，∴，同理，．由，得∴，∴，∴，∴，由得或．又，點(diǎn)到直線的距離．，又，∴，解得或，都滿足．當(dāng)時(shí)，，那么直線的方程為：；當(dāng)時(shí)，，那么直線的方程為：．考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，準(zhǔn)線，直線與拋物線的綜合．【名師點(diǎn)睛】假設(shè)直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，那么，由直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理可得〔或〕，這實(shí)質(zhì)上解析幾何中的是“設(shè)而不求〞法，除弦長(zhǎng)以外，其他與交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如此題的斜率，也是用點(diǎn)坐標(biāo)直接表示出來(lái)，，，再把代入可求得的關(guān)系．19.【2023廣西賀州聯(lián)考】中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為4，且橢圓過(guò)點(diǎn).〔1〕求橢圓的方程；〔2〕假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由c=2,及，可解得?！?〕設(shè)直線的方程為與橢圓組方程組，由向量坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可求得參數(shù)k.試題解析;〔1〕設(shè)橢圓的方程為，，∴，∴，又，解得，，故橢圓的方程為.〔2〕設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，，那么，，，∴，∴，∴，那么，又，∴，即，，∴.故直線的方程為.20.拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)．〔I〕試求的值〔用表示〕；〔II〕假設(shè)，求當(dāng)最大時(shí)，直線的方程．【答案】〔I〕，；〔II〕．【解析】試題分析：〔I〕設(shè)，，．利用，；〔II〕由〔I〕知：，，．又，根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)得：當(dāng)，即時(shí)，有最小值，的方程為：．試題解析：〔I〕設(shè)，，．∵，∴，，∴，，，，∴，，∵，∴，．考點(diǎn)：1、直線與拋物線；2、向量及其運(yùn)算．21.【2023華大新高考聯(lián)盟聯(lián)考】橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕直線平行于，且與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn).假設(shè)為鈍角，求直線在軸上的截距的取位范圍.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)題意得解方程即可得橢圓方程；〔2〕由直線平行于，得直線的斜率，為鈍角等價(jià)于，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求范圍.試題解析：〔1〕依題意有解得故橢圓的方程為.〔2〕由直線平行于，得直線的斜率，又在軸上的截距為，所以的方程為.由得.因?yàn)橹本€與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，解得.設(shè)，又為鈍角等價(jià)于且，那么，將代入上式，化簡(jiǎn)整理得，即，故的取值范圍是.22.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為.〔Ⅰ〕求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程；〔Ⅱ〕設(shè)，過(guò)點(diǎn)作直線，交橢圓異于的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕證明過(guò)程詳見解析.【解析】試題解析：〔Ⅰ〕由橢圓定義，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．由，得．故曲線的方程為