彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案。a三方面條件，分別建立三套方程。件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步分析兩部分。生了形變而連帶引起的。分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。12 三、分析計(jì)算題x x x2xAxBy，y222Axy，yB(xy)，F(xiàn)y；并考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)力分量是否xyxxy0；0yxyyx22 (2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程xy0；(3)在邊界上的應(yīng)力邊界條件lmxyxsmylxysfsxyfsy；(4)對(duì)于多連體的位移單值條件。 (2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程3xxyy得yx0y0yx即663，3C2xy2C3xy0223C1C3xQ3C2y03C22C30Q2xy0，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。yy按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程：2(y2x已知應(yīng)力分量x，y按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程：2(x1xyxyX0xX0xxyxyxyYyxyyxyy)y2x2(yx)2(1)2xyxyy)y1x)x212xy4 (2)x (3)xAxy，Ay2，yyB，ByyyyCxy；解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即2y22yx2x2y (2)2A2ByC(1分)；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。 5、證明應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題 力不計(jì)，b0)。Oh/2xy解：將應(yīng)力函數(shù)by2代入相容方程444xxyy4可知，所給應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程。2，y22，y2x2y2xy0對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面yh，2(xy)yh20(y)h0；y2y5)))yy2y2l)左邊，x，l1，m0，fx(xl2b，fy(xy)l0；xx)xx2xx可見(jiàn)，上下兩邊沒(méi)有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)by2能解決矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布?jí)毫?b<0)的問(wèn)題。6、證明應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題(體Oxy解：將應(yīng)力函數(shù)axy代入相容方程4x4x42x2y240y4y可知，所給應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程。2，y2y0，y2yx2y2xya對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面h2，h，2l22)fyfyyh2h2y)y2y)xlxlx2(xy)l2，l2xx2x)yh2y2)llx2x。a的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問(wèn)題。7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。Obgqy20xy2將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,yf1(x)yf2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得yd4f1(x)d4f2(x)0dx4dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無(wú)數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即dx4dx4這兩個(gè)方程要求f1(x)Ax3Bx2CxI，f2(x)Dx3Ex2JxK函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無(wú)影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex22yx2x2y(2y(6Ax2B)6Dx2Egy2x223Ax22BxCxyxy(xy)x0C0(xy)xb3Ab22Bbq67VVVV將將b0(xy)y0dx00(b3Ax22Bx)dxAx3Bx20bAb3Bb20(0而b(xy)y00dx0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒(méi)有垂直面力，這就要求y0矢量和主矩均為零，即b(b0dxyy03Dx2b(y)y0xdx00Exb3Db22Eb000A02E)xdx2Dx3Ex2b2Db3Eb200qqbbx0,yyxbbgy,xxq32xybb雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一V8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為fx，xfyyVy22x2yx22yx2x證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)當(dāng)滿足平82x2x2y2yxxxyyyyxyxyx1VxVyfxx0 0yy 22x2y2并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(y y yxyx1分)。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。平衡微分方程。將其改寫(xiě)為Vxxxy0Vyy0yx這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫(xiě)為V根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)xA(x，xVy)，使得AyyxAx yxyyByB(x，y)，使得可見(jiàn)也一定存在某一函數(shù)BBByxVyxyxyxABxy因而又一定存在某一函數(shù)x,y，使得yx入以上各式，得應(yīng)力分量9222xxy2yx2V，xyxy，為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)x,y必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問(wèn)題的相容方程，得2x2x2y2y2Vy2Vy2x 2x2x2x2yV2V22x22y2y222x222x22y2V12x2V2y4(1)2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程，得2x2x2y2y2y2yV2Vx2Vx112x2x2yV2V2x2x2y2y2y2y2x2x22x2412Vy2Vy2112x2x2yV2V9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。Oxgy解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為ax3bx2ycxy2dy3力分量表達(dá)式為x22yxfx2cx6dy,y22xyfy6ax2bygy,xy22bx2cy為反力x為反力x方y(tǒng)(xy)y02bx0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)0(y)y06ax0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見(jiàn)x2cx6dy，0y2mlymlyxyyxtanlxyxyxtan02cx6dxtansin2cxtancos4cxsin6dxtansin0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求dtan12xx設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為l，高為232gycot2,ygy,xygycoth，則tan。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿l2h0lh0glcot2gycot2h0yxlh0212010、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為1，液體的密度為2，試求應(yīng)力分量。Ogx解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來(lái)假設(shè)應(yīng)點(diǎn)，每一個(gè)g力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與yyAgxBCD2四項(xiàng)的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說(shuō)，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问剑虼?，假設(shè)ax3bx2ycxy2dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為x2xf22xyy22xyfy6ax2by1xy2，，()xx0的任意y值都應(yīng)的任意d6dy2gy6同時(shí)，該邊界上沒(méi)有豎直面力，所以有對(duì)左面的任意y值都應(yīng)成立，可見(jiàn)x2gy，(xy)x02cy00y6ax2by1gy，xy2bx，，，，mcos2lxlymymyxlxylxytanxytan00osbytansin對(duì)斜面的任意y值都應(yīng)成立，這就要求aytanbygysinbyt