學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式真題回放1.【2017課標(biāo)II，理14】函數(shù)（)的最大值是?！敬鸢浮?【解析】【考點(diǎn)】三角變換,復(fù)合型二次函數(shù)的最值。【考點(diǎn)解讀】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”,它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：①開口方向；②對稱軸位置;③判別式;④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析。2.【2017北京，理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若,=___________.【答案】【解析】【考點(diǎn)】1。同角三角函數(shù)；2。誘導(dǎo)公式；3.兩角差的余弦公式?！究键c(diǎn)解讀】本題考查了角的對稱的關(guān)系,以及誘導(dǎo)公式,常用的一些對稱關(guān)系包含,與關(guān)于軸對稱，則，若與關(guān)于軸對稱，則,若與關(guān)于原點(diǎn)對稱,則。3?！?017江蘇，5】若則.【答案】【解析】．故答案為．【考點(diǎn)】兩角和正切公式【考點(diǎn)解讀】三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)。（2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異。①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3）給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍，確定角.4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若,則（）（A）(B）（C）(D）【答案】D5.【2015高考新課標(biāo)1，理2】=（）（A）(B)（C）（D）【答案】D【解析】原式===,故選D.6。【2015高考上海，文17】已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(）.A。B。C。D.【答案】D考點(diǎn)分析1。了解任意角的概念;2.了解弧度制的概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．知識鏈接1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角Ｗ。，按終邊位置不同分為象限角和軸線角。))（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝｛β|β＝α＋k·360°,k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad。(2）公式角α的弧度數(shù)公式｜α|＝eq\f(l,r）（弧長用l表示）角度與弧度的換算①1°＝eq\f（π，180）rad;②1rad＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(180,π)））°弧長公式弧長l＝｜α｜r扇形面積公式S＝eq\f（1，2）lr＝eq\f(1,2）|α|r23。任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y，x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線融會貫通題型一象限角與終邊相同的角典例1.終邊在直線y＝eq\r（3)x上，且在[－2π，2π）內(nèi)的角α的集合為________.【答案】eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(－\f（5,3）π，－\f(2，3)π，\f(π，3），\f（4,3）π)）典例2。若角是第二象限角，試確定,的終邊所在位置．【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上，的終邊在第一象限或第三象限。(2)，當(dāng)時，∴，∴的終邊在第一象限．當(dāng)時，∴，∴的終邊在第三象限．綜上所述,的終邊在第一象限或第三象限．【變式訓(xùn)練】1。若且，則角θ的終邊所在象限是（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：A解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，sin2θ>0）），得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinθ〉0,，cosθ>0）)，故θ終邊在第一象限．2。終邊在直線y＝eq\r(3）x上的角的集合為________．【答案】{α|α＝kπ＋eq\f(π，3)，k∈Z}【解析】終邊在直線y＝eq\r(3）x上的角的集合為｛α|α＝kπ＋eq\f(π，3）,k∈Z}．【解題技巧與方法總結(jié)】1．終邊在某直線上角的求法步驟（1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線.(2）按逆時針方向?qū)懗鯷0，2π)內(nèi)的角。（3）再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合.(4)求并集化簡集合。2．確定kα，eq\f（α,k)(k∈N＊）的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或eq\f(α，k)的范圍,然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α，k)的終邊所在位置。題型二三角函數(shù)的定義典例1.若角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（－eq\r(3）,m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2)，4)m，則cosθ的值為________?！敬鸢浮浚璭q\f(\r(6）,4)典例2。已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x，\f（\r（3)，2))），則tanα＝（）eq\r（3） B．±eq\r（3）C。eq\f（\r(3），3) D．±eq\f（\r(3），3)【答案】B【解析】由｜OP|2＝x2＋eq\f(3,4）＝1，得x＝±eq\f(1,2)，tanα＝±eq\r（3).【變式訓(xùn)練】1。已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(t，t2＋1）(t>0），則tanα的最小值為（）A．1 B．2C.eq\f（1，2) D.eq\r(2）【答案】B【解析】根據(jù)已知條件得tanα＝eq\f（t2＋1,t)＝t＋eq\f（1，t)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時,tanα取得最小值2.已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π,3)，cos\f（2π,3)）），則角α的最小正值為（)eq\f（5π，6) B.eq\f（2π,3）C.eq\f(5π,3） D。eq\f（11π，6）【答案】D【解題技巧與方法總結(jié)】(1）已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值。先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解。（2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值。（3）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)。題型三利用誘導(dǎo)公式化簡求值典例1。若,是第三象限的角,則(）A．B．C．D．【答案】B。典例2.已知，求【答案】18【解析】由題有，，原式【變式訓(xùn)練】1。若，則（）A．B．C．D．2.化簡【答案】當(dāng)時，原式當(dāng)時,原式【知識鏈接】六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f（π,2)－αeq\f（π，2）＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α［來源:]－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f（kπ，2）±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限"，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦,余弦變正弦;當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”【方法技巧】(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟：去負(fù)號—脫周期—化銳角．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．(2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方,要特別注意判斷符號．(3)注意求值與化簡后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化．題型四扇形的弧長及面積公式典例1。已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角。【解析】(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10,\f(1，2）θ·r2＝4)）?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1，θ＝8）)（舍)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝4，θ＝\f(1,2)，)）故扇形圓心角為eq\f(1，2）。典例2.已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？【解析】設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40。S＝eq\f（1,2）θ·r2＝eq\f（1,2）r（40－2r）＝r（20－r)＝－（r－10)2＋100≤100，當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時,Smax＝100，θ＝2。所以當(dāng)r＝10，θ＝2時,扇形面積最大。典例3．已知一扇形所在圓的半徑為扇形的周長是那么這個扇形的圓心角為__________．【答案】【變式訓(xùn)練】1.已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是(）A。2B.sin2C.eq\f(2,sin1）【答案】C【解析】∵2Rsin1＝2，∴R＝eq\f(1，sin1)，l＝|α｜R＝eq\f（2，sin1),故選C.2。（1）已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，試求這兩個角的大小(用弧度表示)。(2)已知扇形周長為10，面積是4,求扇形的圓心角；（3）已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？【解析】（1）設(shè)所求兩角分別為α，β(α＞β).因為1°＝eq\f（π,180)rad,所以由題意可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（α＋β＝1，，α－β＝\f(π,180)，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（α＝\f(1，2)＋\f(π，360），,β＝\f(1,2)－\f（π，360）.））所以所求兩角的弧度數(shù)分別為eq\f(1,2)＋eq\f（π,360)，eq\f（1,2）－eq\f(π,360）.（2）設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2r＋rθ＝10,,\f(1,2)θ·r2＝4,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝1,，θ＝8)）（舍去）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，，θ＝\f（1,2）,）)所以扇形的圓心角為eq\f（1，2）.（3)設(shè)圓心角是θ,半徑是r，則2r＋rθ＝40.又S＝eq\f（1,2)θr2＝eq\f（1,2）r（40－2r）＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100。當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時，Smax＝100,此時2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以當(dāng)r＝10,θ＝2時，扇形的面積最大?！痉椒偨Y(jié)】(1）弧度制下l＝｜α｜·r,S＝eq\f(1，2)lr,此時α為弧度．在角度制下,弧長l＝eq\f（nπr,180），扇形面積S＝eq\f(nπr2，360），此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系．(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形．知識交匯【2017屆福建福州外國語學(xué)校高三理上學(xué)期期中】若是純虛數(shù)，則的值為．【答案】考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系【交匯技巧】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念,考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，是一個基礎(chǔ)題，解題的過程中注意純虛數(shù)的等價條件，根據(jù)復(fù)數(shù)是一個純虛數(shù)，得到這個復(fù)數(shù)的實部為，虛部不為，解出關(guān)于的正弦的值和余弦不等于的值，根據(jù)三角恒等式從而得到這個角的余弦值，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系,得到正切值．練習(xí)檢測1．【2017屆遼寧葫蘆島普通高中高三理上學(xué)期考試二】的值為（)A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：，故選A?？键c(diǎn)：誘導(dǎo)公式。2．【山西省臨汾第一中學(xué)2017屆高三全真模擬數(shù)學(xué)（理）】已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸的非法半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則A.B.C。D?！敬鸢浮緿3．【四川省南充市2017屆第三次診斷考試數(shù)學(xué)（理）】若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A。B.C.D.【答案】A【解析】，故選A。4．【山西省孝義市2017屆高三下學(xué)期高考考前質(zhì)量檢測三（5月模擬）數(shù)學(xué)（理）】已有角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則(）．A.B。C.D。【答案】A【解析】由題意知，，故選A.5．【河北省石家莊市2017屆高三畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理)】已知角(）終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A。B.C.D.【答案】A【解析】所以為第三象限的,選A。6．【河南省長垣縣第十中學(xué)2016—2017學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A.B.C.D?！敬鸢浮緿7．【河北省保定市2017屆高三二?！拷铅鹊捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線y=2x上，則tan2θ=（)A.2B.-4C.-34【答案】D【解析】由題意可得：tanθ=2則：tan2θ=本題選擇D選項.8．【2017屆云南曲靖一中高三文上學(xué)期月考四】已知角的終邊過點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析:由同角的正余弦關(guān)系可得，故選C.9．【陜西省黃陵中學(xué)2017屆高三4月月考數(shù)學(xué)（理)】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合,它們的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則的值為（)A。B.C。D?！敬鸢浮緼【解析】，故選A.10．【安徽省淮北市第一中學(xué)2017屆高三下學(xué)期第二次周考數(shù)學(xué)(理）】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗方式為：弧田面積，弧田(如圖）由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（）A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米【答案】B【解析】如圖,由題意可得，在中,可得，可得,矢,由，可