經(jīng)典幾何模型之〃阿氏圓〃經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓酢 段廉潔一.模型名稱由來E模型背景】*尸尸型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn).當(dāng)Jt值為1時(shí).即可轉(zhuǎn)化為“內(nèi)十.PE"之和最短問題.就可用我們常見的&欲馬問題”模型朱處理.即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理..而當(dāng)強(qiáng)取任意不為E的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸時(shí)稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行.因此必須傳換思路.此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究.即點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)產(chǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為*胡不典a問題；點(diǎn)F在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為加阿氏的押憫題。E模型由來】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓“，已知平面上兩點(diǎn)/、人則所有滿足戶/4?285壬1）的點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古程鵬數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱"阿氐圓".二?模型建立如圖］所小，0d的半徑為八點(diǎn)46都在。。外.尸為。。上一動(dòng)點(diǎn)，己知連接以、PB,則為*PB-的值最小時(shí).F點(diǎn)的位直如何昵定？模型解讀：最早見3吁型問題應(yīng)該是在“將軍被馬”問題中，而本題多了一個(gè)號(hào)”.故如何確定隈?產(chǎn)月”的大小是關(guān)鍵，如圖3在線段。片上載取QC使。CV?小則可說明△HF0與△戶￡:0相似.即PB=PC.故本題求的最小值可以特化物“融十尸廠”的最小值，其中與4與C為定點(diǎn).嚴(yán)為動(dòng)點(diǎn).故當(dāng)心RC:三點(diǎn)共線時(shí)，"PA^PCir值最小口如圖3'天,蘭老師初中繳宇濟(jì)究會(huì)的加工盟藥

圖3三?.阿氏ar模型破解策略工破解策咯詳細(xì)步屏解折】第一步；連接動(dòng)點(diǎn)干圓心門（一般情含有”的線段兩端點(diǎn)分別巧圓心。相連3-即連接S?.OP.第二步I汁薜出線段白尸與。占及3,與N的段段比.找到線段比為*的情沆.如例第三步：在。3上取點(diǎn)￡使得==匕；〔核心關(guān)期鼻）門產(chǎn)（iR況四步工連接/U丐@。的交點(diǎn)即為點(diǎn)『【核心步聚另單獨(dú)解析】圖1 圖4fwfip回顧圖2,在8上取出（：構(gòu)建=="的目的是為了膨成“母子型相似模型..“母OP0B子型相似“的構(gòu)崖是“阿氏及r模型破解的」核武器“,"母子型相似“一出,“阿氏0r直接秒殺.將圖2中△片產(chǎn)。隼獨(dú)提取出.如圖4.上色渲染的△用?仃5也3戶口,就是“浮子型用陽模型，I#母子型相似模型”的耨點(diǎn)如圖4,△戶儀？與△白戶口有公共角上口.且堡=竺（在OPOB某些角度處理策珞題中.“母子型相似”的主要特征是上0=/。、Z￡=ZOPC）蘭老辟初用弊（井究會(huì)45011^225fl（定點(diǎn)）fl（定點(diǎn)）C（構(gòu)造的點(diǎn)）fX'f）P（構(gòu)造出△取冷3&取匕后可以得到一=上±，進(jìn)而推出。產(chǎn)=3?oc;即*半程的平OPOB方，原有蛾段x構(gòu)造要段"?瑜定仁的位置后，連接TC，求出厘C長慢呻可氏ET即可破解）四."阿氏圓"典型例題講解例h如圖L在RtZU/f中.14E7A90*,<H=4tC4=0*0E半輕為2.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接4P*HPt求.d好戶的量小值.TOC\o"1-5"\h\z圖1 圖2解答】如圖3連接因?yàn)镋F=2,AC=6,BC=At簡單推算得"=L,—=-,而題AC 3 CB 21 I CP \目中是求F打上月F”其中的",故舍棄在工C■上取點(diǎn)，應(yīng)用"―=-w,所以在1 1 Cii 1亡月上取一點(diǎn)。，使61，則有器=m=器=3,無論戶如何移動(dòng).，Nca與△&*始終相似，故的L&P始終成立,所以H+LrPWP十FD,其中4分為定點(diǎn)『故乩尸、2 2D三點(diǎn)其弱時(shí)最小，m-BF=SF”口，但Jt（?［十<?￡>?二后（思考土若求BP+-PA疆T）2 3（大家仔細(xì)看第一題的解答過程，邊看邊與前面的41破解策略”對(duì)照T動(dòng)腦筋悟出"核武器D樹2土已知崩用匚口口中，ZtOD=90*,OC=Sr出f=3,UB=S,點(diǎn)F是弧匚口上一點(diǎn)，求2PA+PB的量小虬解答工首先連接次因?yàn)?。?@缶白品5,所以券=入器=，題目求的是“如依，其中的“依/與之相關(guān)的是吆三乙，故在以上取點(diǎn)，考慮到是加，故在8上取點(diǎn)從OP2仁蘭老師初中勉學(xué)冊(cè)究會(huì)45處工四5

使3則有曳二絲二生二無論『如何移動(dòng)，△啟4。與△陽始終相似,故OPOHPH2P出血始終成立，所以何,陪也+P乩其中H、自為定點(diǎn)，故目、尸、S三點(diǎn)共箕時(shí)最小.2E4+PS=PH+PB=y/oH2+OB1=13.《思考工若求”+?FH呢7)例3*如圖1,已知HG6,BC=8t.45=10,0C'的學(xué)程為4,點(diǎn)口是。匚上的動(dòng)點(diǎn)，連接一皿BDt則dD+j。的最小值為？28iCD1解答r苜先連接8，因?yàn)椋?氏4.CB=8.G=6,所以==_1、—=-T題目求的是CB2CA3UAD^-BD"T其中的“七工”與之相關(guān)的是里=!，故在心上取點(diǎn)，故在以上取點(diǎn)1 2 CB2從使c#=2, —=—=—=i-無論戶如何移動(dòng)，。與始終相似，CDCBBD2故mhg點(diǎn)。始終成立，所以A口總H0=A口但,其中H、d為定點(diǎn)『曲/AD.H三點(diǎn)共線時(shí)最小，AD+^BD=AD+DH=^CH1+AC2=21/10.f思明若求即黑？)例4*如圖工，在Rt△.也;燈中，乙1￡&90",.4。=%BC=3t點(diǎn)。為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足￡刀=也則4口+:8口的最小懾？蘭老師切中續(xù)學(xué)胡夯會(huì)45羽工簽25--.解答】此題關(guān)犍在于看出是“阿氏國模5T，首先從問題看，可能是“阿阿r，接著題目條件“8工2”更加確定此題有隱藏圓，如圖2,口在42的。C「，下而步驟完全與上相同，故略-誓熹+國例5r如圖1.在RtZURC中,ZC=W,01=3,CH=4.的半轅為"點(diǎn)尸是上一動(dòng)點(diǎn),則K戶4P出的最小值？解答F如闋2,連接比，口算生=三、—=i,故選擇在ca上取點(diǎn)，構(gòu)造”搐貳翳“CA3CB1“母子型相似模型”，取點(diǎn)〃，使。出1,則有要一其=娑=:,所以無論戶如何移動(dòng),CPCBBP2△戶CH與始終相似，故出片L8尸始終成立，所以H尸+，24=乂尸+尸"其中"T為2 2定點(diǎn)，故從3』三點(diǎn)共線時(shí)最小，川拈PE=d尸十產(chǎn)"=五用1+TC'=而.(限考1若或2修尸十一.「帽?)例由如圖I.正方形4瓦刀邊長為4, 的半艷為2,「是05上一動(dòng)點(diǎn)，則正以7+4網(wǎng)的最小值？?三二三逡加初中潮宇的究會(huì)45。宜位25

酊】 圖2RP|opq解答,此題.初學(xué)者有可能會(huì)陷入誤區(qū),以為很難，因?yàn)榘凑涨懊骖}的套路"=上、—=-BC2SA2（因?yàn)榍扒拔覀兌际潜容^這三條線段?。?感覺好像和"石尸O7PC"沒關(guān)系胸！實(shí)際上時(shí)。阿氏圓"套路的理解不夠深，我們研究的線段是圓心到“一動(dòng)兩苴”，在此題中，“一動(dòng)“指的是”動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)“.“兩定“不是指，、C而是要看問題“JIFD+4氏…問題中P為動(dòng)點(diǎn)小口才是定點(diǎn).故本題應(yīng)該比較器/7280菽為動(dòng)點(diǎn)小口才是定點(diǎn).故本題應(yīng)該比較器/7280菽4BP故選擇在雙？上取點(diǎn)H（如圖2）,使得座上巫，則有里=里=曳=巨,所以無詒戶如何移動(dòng)，APBH1BPBDPD4與A/MP始終相似,故PH=亙FD蠟簍成立,所以夜HH4PCK（PC+—FD）=44 4IPC+PH）,其中H、C■為定點(diǎn)，故H、尸、（？三點(diǎn)共線時(shí)最小.五PMAPC=4IPC+巫-PQ）4=4{PC^PiD=4CH.CH=^PM-+MC-=啜故CH=^PM-+MC-=啜故答案為1。技E都若求皿抖皿例，如圖例，如圖L在巴知菱形MbCD的總長為明，H=60”,0E的半徑為2,產(chǎn)為3H上一動(dòng)點(diǎn)*則行產(chǎn)口+6FU的最小/：?圖f圖2圖f圖2解答］比較H尸、BC.PD,得絲=且，—=-,故在2口上取點(diǎn)〃，使得班仁走,故BDftBC1 3W：二;老師初中致學(xué)講究去妁史15225

所以戶步且F口，J3PD+6PC=6^PC+—PD）=6（POFH）=BPBDPD6 6 66Jh.V[+=3向T（思考?若求產(chǎn)口十：尸匚呢T）例也在平面直角坐標(biāo)系中，』Q,O〉rB（0.2）.C（4,0）.DC3,2）.尸是A40￡f外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且,則如D+尸。的最小值是？圖1 圖2解答；首先從問題.大概看出是“胡不歸”或者“阿氏圓”的問題,然后嚴(yán)是動(dòng)點(diǎn).但是月月是定線段，/月以二13父是定值.屬于“定弦定甫”“隱圓模型”.故構(gòu)建。O,如圖2,然后下面過程略「答案工4五例%如圖上在Rt&4瓦中，AB=3tSC=&tABC=60"r。4的半程為G,F是。不上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸月、PCt則22匚+2產(chǎn)出的最小值？tFHWG=&8,利用/匕B4W（r8G8,可以求出班戶4,迸而可知//昨1,CM=4^-故匚H=7；二色蘭老師初中紐孕斷究會(huì)45羽工富3--.五■阿國圓.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)賽嫌h如圈，在邊長為4的正方/AHCD內(nèi)，內(nèi)切圓記為0門"是。心上一動(dòng)點(diǎn)，則a/W+PC的最小值為？d邛）散2.如圖.等1i小4皿？的墳長於6」內(nèi)切|3記為。電產(chǎn)是。白上一動(dòng)點(diǎn).則ZFfT+尸廠的?小值為？匚答案，n幣）鐮3t（2虞7?攔州）如圖，拋物線產(chǎn)-1+hr+r與交于d（-4,-4）,日CO,4）兩點(diǎn)，宜線』G.尸-上上空交產(chǎn)物于點(diǎn)心點(diǎn)上是直觸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)上作EFLr釉交于點(diǎn)八交熱物鐮于點(diǎn)G<1>求拋物戰(zhàn)y=--v+bx+L的表達(dá)式i（2）連接6/E0t當(dāng)四邊形G￡"B是平行四邊拶時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo):<3）?￡y軸上存在一點(diǎn)H,連摟七H,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)就到什么位置時(shí)，以小￡,產(chǎn)，日為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩瑕？求出此時(shí)點(diǎn)￡月的坐標(biāo)?②在①的前提下『以點(diǎn)E為圓心，上日長為舉餐作圓，點(diǎn)可為O片上一動(dòng)點(diǎn)，求十二蘭老師即中紀(jì)俘荊究會(huì)4列勇在達(dá)一月附+CM它的小值.2EE售案，(1)-JC2- +4 (2)G<-2^)門)①E-2,0)、H(0,-1)卻?賽擊(2018西北工業(yè):大學(xué)附鼻中學(xué)中學(xué)模擬壓軸翻)【問題提出】(1)如圖1,在中，80是〃邊上的中線，臂用尺現(xiàn)作圖悔出AB邊上的中畿CE,并說明BD=CEi【問屆探究】(2)如圖2