學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修3教師用書：第2章章末綜合提升含解析［鞏固層·知識整合][提升層·題型探究］用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布【例1】某地教育部門為了調(diào)查學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中的有關(guān)信息，從上次考試的10000名考生中用分層抽樣的方法抽取500人,并根據(jù)這500人的數(shù)學(xué)成績畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖),則這10000名考生的數(shù)學(xué)成績在［140，150]內(nèi)的約有________人．思路點(diǎn)撥：根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本中數(shù)學(xué)成績在［140,150]內(nèi)的頻率，可估計(jì)總體中成績在［140,150]內(nèi)的人數(shù)．800[由樣本的頻率分布直方圖知數(shù)學(xué)成績在[140,150］內(nèi)的頻率是相應(yīng)小矩形的面積，即0。008×10＝0。08，因此這10000名考生中數(shù)學(xué)成績在［140,150］內(nèi)的約有10000×0。08＝800（人）．］用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布通常要對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行列表、作圖處理.這類問題采取的圖表主要有：條形圖、直方圖、莖葉圖、頻率分布折線圖、扇形圖等。它們的主要優(yōu)點(diǎn)是直觀,能夠清楚表示總體的分布走勢.除莖葉圖外，其他幾種圖表法的缺點(diǎn)是原始數(shù)據(jù)信息有丟失。eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知總體數(shù)據(jù)均在［10，70]內(nèi),從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，分組后對應(yīng)組的頻數(shù)如下表所示：分組[10,20)［20，30）［30,40）[40，50）［50,60）［60，70]頻數(shù)234542則總體數(shù)據(jù)在區(qū)間［10,50）內(nèi)的頻率約為()A．0。5 B．0。25C．0。6 D．0。7D[由頻率分布表可知樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間［10,50）內(nèi)的頻數(shù)等于[10，20），［20,30)，[30,40)，［40,50）四個(gè)分組的頻數(shù)之和，即2＋3＋4＋5＝14，頻率為eq\f（14,20）＝0。7。由樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的思想可知,總體數(shù)據(jù)在區(qū)間［10，50）內(nèi)的頻率約為0.7。］用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例2】在射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員分在同一小組,給出了他們命中的環(huán)數(shù)如下表：甲9676277989乙24687897910賽后甲、乙兩名運(yùn)動員都說自己是勝者，如果你是裁判，你將給出怎樣的評判？思路點(diǎn)撥：規(guī)則不同，評判結(jié)果有所不同．［解］為了分析的方便,先計(jì)算兩人的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)如下表所示．平均環(huán)數(shù)方差中位數(shù)命中10環(huán)次數(shù)甲7470乙75。47.51規(guī)則1：平均環(huán)數(shù)和方差相結(jié)合，平均環(huán)數(shù)高者勝．若平均環(huán)數(shù)相等，則再看方差，方差小者勝,則甲勝．規(guī)則2:平均環(huán)數(shù)與中位數(shù)相結(jié)合,平均環(huán)數(shù)高者勝．若平均環(huán)數(shù)相等，則再看中位數(shù)，中位數(shù)大者勝，則乙勝．規(guī)則3：平均環(huán)數(shù)與命中10環(huán)次數(shù)相結(jié)合，平均環(huán)數(shù)高者勝．若平均環(huán)數(shù)相等,則再看命中10環(huán)次數(shù),命中10環(huán)次數(shù)多者勝，則乙勝．以上規(guī)則都是以平均環(huán)數(shù)為第一標(biāo)準(zhǔn),如果比賽規(guī)則是看命中7環(huán)以上或10環(huán)的次數(shù)，那么就不需要先看平均環(huán)數(shù)了．樣本的數(shù)字特征可分為兩大類,一類反映樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，包括樣本平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；另一類反映樣本數(shù)據(jù)的波動大小，包括樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差.通常，我們用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.有關(guān)樣本平均數(shù)及方差的計(jì)算和應(yīng)用是高考考查的熱點(diǎn)。eq\o（[跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員5場比賽得分的莖葉圖，已知甲的成績的極差為31，乙的成績的平均值為24，則下列結(jié)論錯誤的是（)A．x＝9B．y＝8C．乙的成績的中位數(shù)為26D．乙的成績的方差小于甲的成績的方差B[甲的成績極差為31，所以最高成績?yōu)?9。x＝9；由乙平均值是24，得y＝24×5－(12＋25＋26＋31）－20＝6；由莖葉圖知乙成績的中位數(shù)為26,對比甲、乙成績分布發(fā)現(xiàn),乙成績較集中,其方差較小。］用線性回歸方程對總體進(jìn)行估計(jì)【例3】理論預(yù)測某城市2020到2024年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示:年份202x(年)01234人口數(shù)y(十萬)5781119（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2)指出x與y是否線性相關(guān)；(3）若x與y線性相關(guān),請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y，\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^）)x＋eq\o(a,\s\up6(^）)；(4)據(jù)此估計(jì)2025年該城市人口總數(shù)．（參數(shù)數(shù)據(jù):0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30）［解](1）數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖:(2）由散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)基本上分布在一條直線附近，故x與y呈線性相關(guān)．（3）由表知:eq\x\to（x)＝eq\f(1,5)×（0＋1＋2＋3＋4）＝2，eq\x\to（y)＝eq\f(1，5)×(5＋7＋8＋11＋19)＝10?！鄀q\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su（i＝1，5，x）iyi－5\x\to(x）\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x）\o\al(2，i)－5\x\to（x）2）＝3.2，eq\o（a，\s\up6（^））＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^））eq\x\to（x）＝3。6，∴回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^））＝3。2x＋3.6。(4）當(dāng)x＝5時(shí),eq\o(y，\s\up6（^））＝19.6(十萬)＝196萬．故2025年該城市人口總數(shù)約為196萬．對兩個(gè)變量進(jìn)行研究，通常是先作出兩個(gè)變量之間的散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖直觀判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果具有，就可以應(yīng)用最小二乘法求線性回歸直線方程．由于樣本可以反映總體，所以可以利用所求的線性回歸直線方程,對這兩個(gè)變量所確定的總體進(jìn)行估計(jì)，即根據(jù)一個(gè)變量的取值，預(yù)測另一個(gè)變量的取值．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20132014201520162017時(shí)間代號t12345儲蓄存款y(千億元）567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程eq\o(y,\s\up6（^）)＝eq\o（b,\s\up6（^)）t＋eq\o（a，\s\up6（^));（2）用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2018年(t＝6）的人民幣儲蓄存款．［解］（1）列表計(jì)算如下：itiyiteq\o\al（2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n＝5,eq\x\to（t)＝eq\f（1，n)eq\i\su（i＝1,n，t）i＝eq\f（15，5）＝3,eq\x\to（y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n，y）i＝eq\f(36，5）＝7.2.eq\i\su(i＝1，n,t)eq\o\al(2，i）－neq\x\to(t)2＝55－5×32＝10，eq\i\su(i＝1,n，t）iyi－neq\x\to(t)eq\x\to(y)＝120－5×3×7。2＝12,從而eq\o（b，\s\up6（^)）＝eq\f(12，10）＝1。2，eq\o（a，\s\up6（^）)＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up6（^)）eq\x\to（t）＝7.2－1.2×3＝3。6，故所求回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^）)＝1.2t