PAGE第二章空間向量與立體幾何[A組基礎(chǔ)鞏固]1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up6(→))的有()①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則及正方體的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以，所給四個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).答案：D2．如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD.設(shè)M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝()A.eq\o(AN,\s\up6(→)) B.eq\o(CN,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→)).答案：A3．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD為()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))·\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))|·|\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(BA2,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))||\o(BA,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))|)>0，∴〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉為銳角，同理cos〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉>0，∴∠BCD為銳角，cos〈eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉>0，∴∠BDC為銳角，即△BCD為銳角三角形．答案：B4．已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：如圖所示，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(A1C1,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))，故選D.答案：D5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).答案：A6．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，則a＋b與a－b的位置關(guān)系是________．解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：垂直7．已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值為_(kāi)_______答案：08．已知空間向量a，b，|a|＝3eq\r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，則λ的值為_(kāi)_________．解析：∵|a|＝3eq\r(2)，|b|＝5，〈a，b〉＝135°，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3eq\r(2)×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－15.∵m⊥n，∴m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝18－15(1＋λ)＋25λ＝3＋10λ＝0，∴λ＝－eq\f(3,10).答案：－eq\f(3,10)9.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解析：(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋c.(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)c，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.10.如圖，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為棱AB，BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．解析：(1)證明：設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，根據(jù)題意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D.(2)∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)×\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10)，即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).[B組能力提升]1．已知空間向量a、b滿足條件a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，則〈a，A．30° B．45°C．60° D．不確定解析：∵a＋3b與7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0.①∵a－4b與7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0.②由①②得a·b＝eq\f(1,2)|b|2，|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|a||b|)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝60°.答案：C2．已知在正四面體DABC中，所有棱長(zhǎng)都為1，△ABC的重心為G，則DG的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：如圖，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(DM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up6(→))＋\o(DC,\s\up6(→))－\o(DA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，而(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))2＋2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC2,\s\up6(→))＋2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(DG,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(6),3).答案：D3．如圖，O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_________．解析：eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以1－λ＝eq\f(1,2)，eq\f(λ,2)＝eq\f(1,4)，解得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．設(shè)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|＝________.解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－ B.∴|c|＝eq\r(－a－b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)5．如圖所示，空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)．(1)求下列向量的數(shù)量積：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))；(2)求證：MN為AB與CD的公垂線段．解析：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由題意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝r－q，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝a2cos60°＝eq\f(1,2)a2.eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·(r－q)＝eq\f(1,2)(r2－q2－p·r＋p·q)＝eq\f(1,2)(a2－a2－a2cos60°＋a2cos60°)＝0.eq\o(