統(tǒng)計學(xué)第三章平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)算術(shù)均數(shù)和幾何均數(shù)數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述：集中趨勢centraltendency和離散趨勢tendencyofdispersion平均數(shù)average：說明一組觀察值(變量值)的集中趨勢、中心位置或平均水平。(ameasureoflocation,ameasureofcentraltendency,ameanoranaverage)平均數(shù)種類：算術(shù)均數(shù)arithmeticmean、幾何均數(shù)geometricmean、中位數(shù)median、眾數(shù)mode、調(diào)和均數(shù)harmonicmean,H第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、算術(shù)均數(shù)，簡稱均數(shù)mean。統(tǒng)計表示：總體的參數(shù)用希臘字母表示，樣本的統(tǒng)計量用拉丁字母表示用μ表示總體均數(shù)，用表示樣本均數(shù)(一)不分組資料均數(shù)的計算法:直接計算為避免過于復(fù)雜，在求和的范圍可看清時對sigma不記上下標(biāo)(dummysuffix)，對x也不加下標(biāo)Themeanisthesumoftheobservationsdividedbythenumberofobservations.第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日(二)分組資料的均數(shù)計算法：頻數(shù)表法P20例3-2，步驟：1、分組和編制頻數(shù)分布表frequencydistributiontable1)找出觀察值中最大值、最小值和極差range2)按極差大小決定組段數(shù)、組段和組距classinterval：8～15組，常用極差的1/10取整作組距，組段下限和上限lowlimitandupperlimit應(yīng)界限分明，無交叉，從下限開始不包括上限，第一組段包括最小，最后組段包括最大觀察值3)列表劃記tallying：見P20表3-2。頻數(shù)表可繪成直方圖histogram第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日2、加權(quán)法weightingmethodx為組中值classmid-value(midpoint)=本組下限與相鄰較大組段的下限相加除以2k為組數(shù)f為各組的頻數(shù)，又稱權(quán)數(shù)weight∑f各組頻數(shù)之總和∑fx為各組組中值與頻數(shù)乘積之和計算實例見P21第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日3、簡捷法short-cutmethod1)在頻數(shù)表的基礎(chǔ)上，以與最大頻數(shù)相對應(yīng)的組中值為假定均數(shù)x0,assumedorigin2)列出簡捷法計算均數(shù)用表，d為各組組中值減去假定均數(shù)后除以組距i，假定均數(shù)對應(yīng)d為0，向上依次為-1，-2，…向下依次為1，2，…3)將各行f值與d值相乘得df，再求∑df4)求均數(shù)*:可以任何一組組中值為假定均數(shù)，結(jié)果一致，但設(shè)在頻數(shù)最大組或其附近時，計算較簡便。計算機更方便第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、幾何均數(shù)geometricmean，簡記為G1)資料偏態(tài)分布，少數(shù)數(shù)據(jù)過分偏大，(各觀察值間呈等比關(guān)系)，原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)變換后為對稱分布，如平均潛伏期、平均抗體滴度等資料2)公式P22例3-3，計算抗體滴度的幾何均數(shù)；該方法計算出的G通常偏小，可在計算反對數(shù)前+(lgd)/2第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日3)幾何均數(shù)的應(yīng)用幾何均數(shù)常用于等比資料觀察值不能有0觀察值不能同時有正值和負(fù)值，若全為負(fù)先把負(fù)號除掉，最后結(jié)果前加負(fù)號第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日第二節(jié)中位數(shù)和百分位數(shù)一、median用M表示:把變量值按大小順序排列，居于中間位置的那個數(shù)值就是M適用于：偏態(tài)或分布不明的資料對稱分布時接近均數(shù)，偏態(tài)分布時更合理(一)未分組資料:P23例3-4，例3-5第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日(二)分組資料：按頻數(shù)表計算M公式：L中位數(shù)所在組的下限W中位數(shù)所在組的寬度f中位數(shù)所在組的頻數(shù)(例數(shù))n總頻數(shù)C中位數(shù)所在組的前一組的累計頻數(shù)cumulativefrequency第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日用累計頻數(shù)〔百分?jǐn)?shù)〕法尋找中位數(shù)所在的組段：累計頻數(shù)剛大于n/2的組段用內(nèi)插法linearinterpolation求中位數(shù)將W等分為f份，從C至n/2的數(shù)值長為(W/f)*(n/2–C)L值累計頻數(shù)Cn/2第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、百分位數(shù)percentile：指將n個觀察值從小到大依次排列，再把它分成100等份，對應(yīng)于r%位的數(shù)值即為第r百分位數(shù)。通常用Pr表示。中位數(shù)即第50百分位數(shù)(一)不分組資料的計算方法Pr=xr%(n+1)

當(dāng)n為150時計算第5百分位數(shù)5%(150+1)=7.55個變量值，如第7個變量為15，第8個變量為17，用內(nèi)插法求x7.55=15+0.55(17-15)=16.1，P5為16.1第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日(二)分組資料的計算方法percentileisestimatedbylinearinterpolationas(三)要計算多個百分位數(shù)時亦用圖解法：yaxisiscumulativerelativefrequency,xaxisisobservation(incubationperiod).seeFigure3-2,P25第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日中位數(shù)和百分位數(shù)的應(yīng)用1)中位數(shù)常用于描述偏態(tài)分布資料的集中位置，反映位次居中的觀察值的水平，只受居中變量值波動的影響，對稱分布時與均數(shù)相同2)百分位數(shù)用于描述觀察值在某百分位位置時的水平，多個百分位數(shù)結(jié)合應(yīng)用可更全面描述分布特征3)百分位數(shù)常用于確定醫(yī)學(xué)參考值范圍(referenceranges,正常值范圍)4)分布中部的百分位數(shù)相當(dāng)穩(wěn)定，具有較好的代表性，但靠近兩端的百分位數(shù)只有在樣本數(shù)足夠大時才較穩(wěn)定。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差

standarddeviation一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義：SD是表示一套變量值離散程度的指標(biāo)，均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合，能全面反映一套變量值的分布情況。SDisameasureofvariation,scatter,spreadordispersion.離散程度離均差x-x考慮正負(fù)值變?yōu)殡x均差的平方考慮觀察值的個數(shù)則除以n，為方差variance，考慮到V是觀察單位的平方，故開方得SD第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日由公式可見，當(dāng)各變量值愈接近均數(shù)時，標(biāo)準(zhǔn)差越小，當(dāng)各觀察值遠(yuǎn)離均數(shù)時，標(biāo)準(zhǔn)差越大，所以標(biāo)準(zhǔn)差能說明變量值的離散程度。二、不分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差的計算用代數(shù)的方法將上述公式簡化為P27表3-8計算實例第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、離均差平方和的簡化計算離均差平方和sumofsquaresaboutthemean簡記為lxx，即離均差平方和或離均差積和sumofproducts計算時，當(dāng)原始數(shù)據(jù)比較大時，計算可以減一個數(shù)可除一個數(shù)，進(jìn)行簡化。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日三條規(guī)則：1、原始數(shù)據(jù)減一個數(shù)或加一個數(shù)時，離均差平方和或積和數(shù)值不變2、原始數(shù)據(jù)除以一個數(shù)a，則簡化值算出的離均差平方和要乘上一個a2才是原有的離均差平方和3、離均差積和在計算時如將兩變量之一(如x)，除以一個數(shù)a時，則求得之離均差積和要乘以一個a，才是原始數(shù)據(jù)的離均差積和；如y也同時除以一個數(shù)字b，則求得的離均差積和要同時乘以ab第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日四、分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差計算公式：計算實例見P29表3-11五、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用1、表示變量值的離散程度2、概括地估計變量值的頻數(shù)分布3、應(yīng)用于求正常值范圍normalrange4、計算標(biāo)準(zhǔn)誤5、質(zhì)量控制第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日1、表示變量值的離散程度均數(shù)相近，單位相同時，標(biāo)準(zhǔn)差大表示變量值分布較分散，反之亦然。比較度量衡單位不同或均數(shù)相差懸殊的多組資料的變異度時，需改用變異系數(shù)coefficientofvariation，CV表示標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)之比P29-30例3-7，8第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日2、正態(tài)分布normal(Gaussian)distribution直方圖histogram：橫軸表示變量值的大小，以各長方塊面積代表頻數(shù)，P30圖3-3，當(dāng)觀察例數(shù)逐漸增多，組距細(xì)分時變一條光滑的曲線，形狀近似正態(tài)曲線正態(tài)曲線：呈對稱的鐘型，在均數(shù)處最高，兩側(cè)逐漸低下，兩端在無窮遠(yuǎn)處與底線相靠正態(tài)分布的兩個參數(shù)：正態(tài)總體的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(μ和σ)。通常用N(μ,σ)表示第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日正態(tài)曲線的函數(shù)式densityfunction：正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律：μ±σ：占全部曲線下面積的68.27%μ±1.64σ:占全部曲線下面積的90.90%μ±1.96σ:占全部曲線下面積的95.00%μ±2.58σ:占全部曲線下面積的99.00%第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日3、正常值(參考值referencevalue)范圍：醫(yī)學(xué)上常把絕大多數(shù)(90%,95%,99%)正常人的某指標(biāo)值范圍稱為該指標(biāo)的正常值范圍。資料近似正態(tài)或經(jīng)變量變換后符合正態(tài)分布時可用上述面積規(guī)律來估計95％正常值范圍，偏態(tài)資料可用百分位數(shù)法。正常人并非完全健康的人，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群。按實際需要確定上下限或僅上限或僅下限。雙側(cè)：1.64,1.96,2.58;單側(cè)：1.28,1.64,2.33第二十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日4、質(zhì)量控制：為了控制實