第十二章變化的電磁場第3篇電磁學§12.1電磁感應定律

首先介紹幾種簡單的電磁感應現(xiàn)象。IiIi

共同點：當一個閉合回路面積上的磁通量發(fā)生變化時，回路中便產(chǎn)生感應電流。這就是電磁感應現(xiàn)象。I(t)Ii1.楞次定律

閉合導體回路中感應電流的方向,總是企圖使它自身產(chǎn)生的磁場,去反抗引起感應電流的磁通量的改變。這一結論叫做楞次定律。

反抗的意思是：

感應電流Ii與原磁場B的反方向成右手螺旋關系。BIiBIi

若m增加,感應電流的磁場線與B反向;

若m減少,感應電流的磁場線與B同向;

感應電流Ii與原磁場B的正方向成右手螺旋關系。楞次定律是能量守恒定律的必然結果。要想維持回路中電流，必須有外力不斷作功。這符合能量守恒定律。

則不需外力作功，導線便會自動運動下去，從而不斷獲得電能。這顯然違背能量守恒定律。按楞次定律，如果把楞次定律中的“反抗”改為“助長”，如右所示，用楞次定律分析可知，無論磁棒插入還是拔出線圈的過程中，都要克服磁阻力而作功，正是這部分機械功轉化成感應電流所釋放的焦耳熱。2.法拉第電磁感應定律

法拉第從實驗中總結出回路中的感應電動勢為

(1)m

是通過回路面積的磁通量；(2)式中負號表示感應電動勢的方向與磁通量變化的關系；若i>0,則i的方向與原磁場的正方向組成右手螺旋關系；若i<0,則i的方向與原磁場的反方向組成右手螺旋關系。例如:i若m

，先規(guī)定回路的繞行方向L(與B成右手螺旋關系)，則i與L方向相反。L(3)若回路線圈有面積相同的N匝，則

=Nm稱為線圈的磁通鏈。

(4)如果閉合回路的總電阻為R,則回路中的感應電流則在t1→t2這段時間內,通過回路任一截面的感應電量為(i)首先求出回路面積上的磁通量(取正值)：用法拉第電磁感應定律解題的步驟如下：對勻強磁場中的平面線圈：(ii)求導：(ⅲ)判斷i

的方向。

例12-1

一長直螺線管橫截面的半徑為a,單位長度上密繞了n匝線圈，通以電流I=Iocost(Io、為常量)。一半徑為b、電阻為R的單匝圓形線圈套在螺線管上，求圓線圈中的感應電動勢和感應電流。

解

由m=BScos得m=μonI·b2a2BIab如果b<a,結果怎樣？方向？

解

應當注意，對勻速轉動的線圈：

m=BScos

(1)一矩形線圈(a×b)在勻強磁場中轉動，

t=0時如圖(1)所示。m=Babcos

(t+)例12-2：

一面積為S、匝數(shù)為N的平面線圈，以角速度在勻強磁場B中勻速轉動;轉軸在線圈平面內且與B垂直。求線圈中的感應電動勢。=BScos

(t+o)式中o為t=0時磁場B與線圈法線方向的夾角。

（1）Bab=Babcost=Babsin(t+)

連接bd組成一個三角形回路bcd。m=BScos

(t+o)

由于bd段不產(chǎn)生電動勢，所以回路中的電動勢就是導線bcd中電動勢的。

(2)一導線彎成角形(bcd=60o,bc=cd=a)，在勻強磁場B中繞oo′軸轉動，轉速每分種n轉,t=0時如圖(2)所示，求導線bcd中的i。cBoo′bd(2)§12.2感應電動勢

一.動生電動勢abB--++1.動生電動勢產(chǎn)生機理導體ab在磁場中運動，則導體中的電子在a端出現(xiàn)負電荷，b端出現(xiàn)正電荷。當電場力與洛淪茲力相等時，導體兩端的電荷分布保持穩(wěn)定，導體ab相當于一個電源。引入非靜電場強：根據(jù)電動勢的定義，導體ab上的動生電動勢：(1)若i>0,則i沿方向，即ab的方向；若i<0,則i與的方向相反，即ba的方向。(2)動生電動勢只存在于運動導體內，無論導體是否構成閉合回路，只要導體在磁場中運動切割磁場線，即產(chǎn)生電動勢的非靜電力就是洛淪茲力。說明abB--++

(3)若整個導體回路在磁場中運動，則在回路中產(chǎn)生的動生電動勢：2.動生電動勢過程中的能量轉換產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力是洛侖茲力，在電源內部洛侖茲力做功將電子從正極搬到負極，這似乎與洛侖茲力對運動電荷不做功的結論相矛盾？abB--++注意若穿過導體回路的磁通量不變，盡管導體回路上各段都可能產(chǎn)生電動勢，但整個回路上的電動勢為零。即即洛侖茲力的合力不做功。但可見：即分力作為產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力做正功，而分力(它在宏觀上表現(xiàn)為安培力)做負功，使導體運動的機械能轉化為電能。電源內部的電子同時參與兩種運動,隨導體以速度運動:沿導體的漂移運動u:abB--++uf3.動生電動勢的計算

(1)

由電動勢定義求(2)若導體為閉合回路，可直接由法拉第定律求若導體不閉合，需加輔助線構成閉合回路。推廣：任意形狀的導線在勻強磁場中平移時abBldl例12-3：直導線在均勻磁場中平動，求動生電動勢。

在勻強磁場中,彎曲導線平移時所產(chǎn)生的動生電動勢等于從起點到終點的直導線所產(chǎn)生的動生電動勢。解：方向：i>0，與l同向；i<0，與l反向。解:

負號說明：i的方向由p指向o，o點電勢高。此結論可作為公式記住:例12-4

一條金屬細直棒op(長為l)繞o點以角速度在垂直于勻強磁場B的平面內勻速轉動,求uo-up=?opBxdx因轉動導線上各處的線速度不同，任取一線段元,則適用于在垂直于磁場平面內勻速轉動的導線。例12-5有一根導線ab彎成半徑為R的半圓形，如它在均勻磁場B中，以直徑ab為軸作勻角速轉動，設角速度為，求當半圓形導線所在平面和磁場B平行時，a、b兩端的動生電動勢。RoBabdl解：方法1：由動生電動勢的定義求在導線上任取一段線元dl，在其中產(chǎn)生電動勢的方向由ab，b點電位高。oBab方法2：由法拉第電磁感應定律求當回路平面與磁場成角=t時，通過回路的磁通量為閉合回路中的動生電動勢為求當半圓形導線所在平面和磁場B平行時，=t=2n方向可由楞次定律判定由于添上的直導線不動，所以整個閉合回路中的電動勢就是半圓形導線中電動勢。

導體不動,磁場隨時間變化,在導體中產(chǎn)生感應電動勢—感生電動勢。

二.

感生電動勢

感應電場1.現(xiàn)象2.原因

當螺線管中電流發(fā)生變化，引起螺線管中的磁場變化時，套在外邊的圓環(huán)中便產(chǎn)生電動勢。

是什么力驅使導線中的電荷運動，從而產(chǎn)生電動勢呢？即產(chǎn)生感生電動勢的非靜電力是什么？BIab

麥克斯韋的這個假設已為實驗所證實，是麥克斯韋電磁理論的基本原理之一。

麥克斯韋認為：變化的磁場要在其周圍的空間激發(fā)一種電場,叫做感應電場(渦旋電場)Ei。

圓環(huán)導線中的感生電動勢正是感應電場對自由電子作用的結果。

BIab帶電粒子處于此電場中，無論運動與否都要受到該電場的作用，這一作用力就是產(chǎn)生感生電動勢的非靜電力。

按電動勢的定義，在閉合導體中產(chǎn)生的感生電動勢：根據(jù)法拉第電磁感應定律式中m是通過閉合回路所圍面積的磁通量，即上式給出了感應電場與變化磁場之間的一般關系。討論：感應電場是非保守場,感應電場線是閉合曲線。(1)(3)式中負號說明感應電場與的方向呈左手螺旋。(2)感生電場是無源場。感應電場的方向也可根據(jù)楞次定律確定。3.感生電動勢的計算

(1)

由電動勢定義求(已知或易求)一段導體：閉合導體回路：(2)若導體為閉合回路，可直接由法拉第定律求若導體不閉合，需加輔助線構成閉合回路。例題12-6

一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內存在著由無限長通電螺線管產(chǎn)生的均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里。當磁感應強度以dB/dt的變化率均勻減小時,求圓柱形空間區(qū)域內、外各點的感生電場。由楞次定律判定，感生電場的方向是順時針的，Rr=Ei·2rr<R:解

由問題的對稱性知，感生電場線是在垂直于軸線平面內，以軸線為中心的一系列同心圓。

且圓周上各點Ei

的大小相等。由r>R:Ei·2rEi·2rr<R:Rr(1)只要有變化磁場，整個空間就存感生電場.處但(2)求感生電場分布是一個復雜問題，只要求本題這種簡單情況。說明：r解

由楞次定律判定，感生電場的方向是逆時針的。例12-7

一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內存在著均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里；磁感應強度以dB/dt的變化率均勻增加。一細棒AB=2R,中點與圓柱形空間相切，求細棒AB中的感生電動勢，并指出哪點電勢高。r>R:RABordll另法：

連接oA、oB組成回路。

由楞次定律知，回路電動勢方向為逆時針，因此導線AB中的感生電動勢由A指向B。B點電勢高。

由于oA和oB不產(chǎn)生電動勢,故回路電動勢就是導線AB中的電動勢。=0RABo例12-8

長直導線中通有電流I=Iocost(Io和為常量)

。有一與之共面的三角形線圈ABC,已知AB=a,BC=b。若線圈以垂直于導線方向的速度向右平移,當B點與長直導線的距離為x時,求線圈ABC中的感應電動勢。

解

先求磁通：

將三角形沿豎直方向分為若干寬為dr的矩形積分。tan=a/bm=xbABCaIdrr,I=Iocost,x(t),xbABCaIdrr

4.應用實例

大型電磁鐵的兩極間安放一個環(huán)形真空室。電磁鐵用強大的交變電流來勵磁,使環(huán)形真空室處于交變的磁場中，從而在環(huán)形室內感應出很強的渦旋電場。用電子槍將電子注入環(huán)形室,它們在洛侖茲力的作用下沿圓形軌道運動，同時又被渦旋電場加速,，能量可達到幾百Mev。這種加速器常用在醫(yī)療、工業(yè)探傷中。(1)電子感應加速器1947年世界第一臺70MeV100MeV可將電子加速0.999986CI渦電流的熱效應根據(jù)電流的熱效應，可利用渦電流產(chǎn)生熱量，如冶煉特種鋼及電磁爐等。(2)渦電流渦電流的磁效應電磁阻尼電磁制動器危害：能量損失，設備發(fā)熱熱量片狀鐵芯粉末狀§12.3自感和互感

變化的電流變化磁場感生電動勢直接聯(lián)系1.自感現(xiàn)象自感系數(shù)

由于回路電流變化，引起自已回路的磁通量變化，而在回路中激起感應電動勢的現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。相應的電動勢叫做自感電動勢。

設回路有N匝線圈，通過線圈面積上的磁通量為m,則通過線圈的磁通鏈數(shù):式中比例系數(shù)L,叫做線圈的自感系數(shù),簡稱自感。NΦ

m=LI

自感系數(shù)的大小與線圈的大小、幾何形狀、匝數(shù)及周圍磁介質有關。

NΦ

mI(對非鐵磁質)根據(jù)法拉第電磁感應定律，自感電動勢為

如果線圈自感系數(shù)L為常量,則若電流I增加，L的方向與電流方向相反；若電流I減小，L的方向與電流方向相同。負號說明：L總是阻礙I的變化。L有使回路保持原有電流不變的性質，稱為“電磁慣性”。

在SI制中,自感L的單位為亨利,簡稱亨(H)。由上可得計算自感系數(shù)的方法：當線圈中通有單位電流時，穿過線圈的磁通鏈數(shù)。(1)當線圈中電流變化率為一個單位時，線圈中自感電動勢的大小。(2)(3)計算步驟設分布求

例12-9

一單層密繞、長為l、截面積為S的長直螺線管,單位長度上的匝數(shù)為n,管內充滿磁導率為的均勻磁介質。求該長直螺線管的自感系數(shù)。解

設在長直螺線管中通以電流I，則B=

nIm=BS=nIS

Sl=V最后得問題：如何用線繞方法制作純電阻？例12-10

求同軸電纜單位長度上的自感。解(a<r<b)mIabcIdrr2.互感現(xiàn)象互感系數(shù)

由于一個線圈中電流發(fā)生變化而在附近的另外一個線圈中產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象。這種感應電動勢叫做互感電動勢。變化變化線圈1中產(chǎn)生變化變化線圈2中產(chǎn)生實驗證明，M21=M12=M。比例系數(shù)M,叫做兩線圈的互感系數(shù),簡稱互感。令

在非鐵磁介質的情況下,互感系數(shù)M與電流無關，僅僅與兩線圈的形狀大小、相對位置及周圍的磁介質有關。在鐵磁質中,M將受線圈中電流的影響。當M不變時，互感電動勢為：由上可得計算互感系數(shù)的方法：Ψ21=N2

21=MI1Ψ12=N112=MI2（1）（2）（3）計算：得設I1

I1的磁場分布穿過回路2的例12-11

一無限長直導線與一矩形線框在同一平面內，如圖所示。當矩形線框中通以電流I2=Iocost(式中Io和為常量)時，求長直導線中的感應電動勢。解假定長直導線中通以電流I1,則drrcbaI2問題：兩線圈怎樣放置，M=0？drrcbaI2b=cM=0例12-12

一長直磁棒上繞有自感分別為L1和L2的兩個線圈，如圖所示。在理想耦合的情況下，求它們之間的互感系數(shù)。

解

設自感L1長l1、N1匝，L2長l2、N2匝，并在

L1

中通以電流I1?？紤]到理想耦合的情況，有1234I1同理，若在

L2

中通以電流I2，則有前已求出：得

必須指出,只有在理想耦合的情況下,才有的關系;一般情形時,,而0≤k≤1,k稱為耦合系數(shù),視兩線圈的相對位置而定。1234I2

1.將2、3端相連接，這個線圈的自感是多少？

設線圈中通以電流I，則穿過線圈面積的磁通鏈為

2.將2、4端相連接，這個線圈的自感是多少？12341234問題§12.4磁場能量1.通電線圈中的磁能

當開關K→1后,回路方程為電源發(fā)出的總功電源反抗自感的功電阻上的焦耳熱12

電源反抗自感作功過程，也是線圈中磁場的建立的過程。可見，電源克服自感電動勢所作的功，就轉化為線圈L中的磁能:2.磁場能量

設螺線管單位長度上n匝，體積為V，其中充滿磁導率為μ的均勻磁介質,L=μn2V,B=μnI=

μH

因為長直螺線管內磁場是均勻的,所以磁場能量的分布也是均勻的。于是磁場能量密度為上式雖然是從載流長直螺線管為例導出的,但可以證明該式適用于一切磁場(鐵磁質除外)。非均勻磁場：例12-13

一根長直同軸電纜由兩個同軸薄圓筒構成,其半徑分別為R1和R2,流有大小相等、方向相反的軸向電流I,兩筒間為真空。試計算電纜單位長度的自感系數(shù)和所儲存的磁能。解(R1<r<R2)由IIR2R11drr得單位長度的自感系數(shù)例12-14

設有自感分別為L1和L2的兩個相鄰線圈，分別通以電流I1、I2。求(1)兩線圈的儲能；(2)證明M21=M12。解(1)兩線圈中的儲能是電流從0達到穩(wěn)態(tài)的過程中，由電源克服自感和互感電動勢作功而得。先給線圈1通電：0I1線圈1的電源克服自感電動勢作功：再給線圈2通電：0I2線圈2的電源克服自感電動勢作功：線圈1的電源克服互感電動勢作功：在上述兩過程中，電源作功轉化為磁場能的總值為(2)證明M21=M12如果先讓線圈2通以電流I2，然后保持I2不變，再給線圈1通電流I1，則同樣的方法可以得到系統(tǒng)儲存的總能量為顯然，兩種情況下最終的狀態(tài)完全相同，因而儲能相同，即

前面講到，變化的磁場激發(fā)電場(渦旋電場)。那么，變化的電場是否也會激發(fā)磁場？麥克斯韋在研究了安培環(huán)路定律應用于交流電路中出現(xiàn)的矛盾以后，又提出了一重要假設——位移電流?！?2.5位移電流

在穩(wěn)恒電流條件下,安培環(huán)路定律為式中,I內是穿過以閉合回路l為邊界的任意曲面S的傳導電流的代數(shù)和。1.問題的提出I(圓面S1)0(曲面S2)kIlE以電容器充電為例矛盾！出現(xiàn)矛盾的原因：非穩(wěn)恒電路中傳導電流不連續(xù)，即(I流入S1，不流出S2)傳導電流不連續(xù)的后果：電荷在極板上堆積，從而在極板間出現(xiàn)變化電場

。S2S1kIlE+q-q尋找傳導電流與極板間變化電場之間的關系解決問題思路：傳導電流強度：兩極板間：即：二者方向如何？充電放電充電時：與同向則與同向，與同向則與反向，放電時：結論位移電流密度：位移電流強度：即:電場中某點的位移電流密度等于該點電位移矢量對時間的變化率；通過電場中某面積的位移電流強度等于通過該面積的電位移通量對時間的變化率。

把變化的電場看作是一種電流，這就是麥克斯韋位移電流的概念。kIlE+q-q

2.位移電流的概念

全電流=全電流總是連續(xù)的。

因此,安培環(huán)路定律的一般形式為傳導電流位移電流kIlES2S1ID=I

(曲面S2)I(圓面S1)傳導電流+位移電流不矛盾！上式可寫為又稱為全電流安培環(huán)路定理。

麥克斯韋指出：位移電流(變化的電場)與傳導電流一樣，也要在周圍的空間激發(fā)磁場。3.位移電流的磁場若空間磁場僅由位移電流產(chǎn)生，則根據(jù)全電流安培環(huán)路定理感應電場的環(huán)流上述兩方程非常類似。例12-15

給電容為C的平行板電容器充電，電流i=0.2e-t

(SI),t=0時電容器極板上無電荷，求：

(1)極板間的電壓；(2)兩板間的位移電流強度。(忽略邊緣效應)解(1)由所以

(2)由全電流的連續(xù)性，得例12-16

如圖所示,一電量為q的點電荷,以勻角速度作半徑R的圓周運動。設t=0時，q所在點的坐標為(R,0),求圓心o處的位移電流密度。解

xyRoqt例12-17

一圓形極板的平行板電容器,極板半徑R=0.1m,板間為真空。給電容器充電的過程中,板間電場對時間的變化率dE/dt=1.0×1013V/m.s,求:(1)兩板間的位移電流強度；(2)離中心r(r<R)處的磁感應強度。解(1)位移電流密度的大小為R兩板間的位移電流強度：=2.78A

由于E，所以位移流密度與E的方向相同，即從正極流向負極。B.2r=μoJd.r2(2)電流呈柱形分布，磁場方向如圖中的圓周切線。由安培環(huán)路定律得Rr麥克斯韋在總結前人成就的基礎上,再結合他極富創(chuàng)見的渦旋電場和位移電流的假說,建立起系統(tǒng)完整的電磁場理論,理論的核心就是麥克斯韋方程組。在一般情況下，

§12.6麥克斯韋方程組靜電場渦旋電場空間任一點的電場：電場電荷變化磁場=qo(自由電荷代數(shù)和)(渦旋電場的電場線是閉合曲線)電場的環(huán)流:電場的高斯定理:0其中在一般情況下，空間任一點的磁場：則磁場的高斯定理：(磁場線是閉合曲線)傳導電流(運動電荷)位移電流(變化電場)磁場磁場的環(huán)流：(傳導電流的代數(shù)和)(位移電流的代數(shù)和)其中于是就得麥克斯韋方程組：(積分形式)對各向同性介質：定義：利用矢量場的高斯定理和斯托克斯定理，可推導出麥克斯韋方程組的微分形式原則上，根據(jù)麥克斯韋微分方程組，從已知的邊界條件和初始條件，就能求解任一時刻空間任一點的電磁量。麥克斯韋方程組的意義：(1)概括、總結了一切宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律。(2)預見了電磁波的存在。變化的磁場變化的電場

變化的電場和磁場相互激發(fā)交替產(chǎn)生，由近及遠，以有限的速度在空間傳播，從而形成電磁波。i(3)預言了光的電磁本性。1.電磁波的產(chǎn)生和傳播(1)波源：LC振蕩電路ε12LCKUI得—簡諧振蕩(無論充電、放電)其中—振蕩角頻率

1868年麥克斯韋從電磁場方程推導出的結果預言了電磁波的存在，20年后赫茲用實驗證實了這個預言