相似對角化矩陣及其求法當前1頁，總共39頁。

等價關(guān)系：二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)。當前2頁，總共39頁。性質(zhì)：直接由定義容易推出當前3頁，總共39頁。２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算．

相似變換是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進行這一變換的相似變換矩陣．當前4頁，總共39頁。證明:當前5頁，總共39頁。此結(jié)論只是當前6頁，總共39頁。推論若階方陣A與對角陣當前7頁，總共39頁。證明三、利用相似變換將方陣對角化當前8頁，總共39頁。當前9頁，總共39頁。命題得證.當前10頁，總共39頁。

如果階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似（充分條件

)．推論1不能對角化的矩陣一定具有多重特征值。說明

如果的特征方程有重根，此時不一定有個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，但如果能找到個線性無關(guān)的特征向量，還是能對角化．當前11頁，總共39頁。設(shè)是n階矩陣A的互異特征值，即稱是特征值的代數(shù)重數(shù)；所對應的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)稱為的幾何重數(shù)。結(jié)論：幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)。推論2

n階矩陣A可對角化的充要條件是當前12頁，總共39頁。當前13頁，總共39頁。例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解當前14頁，總共39頁。解之得基礎(chǔ)解系當前15頁，總共39頁。求得基礎(chǔ)解系當前16頁，總共39頁。解之得基礎(chǔ)解系故A不能化為對角矩陣.幾何重數(shù)

<代數(shù)重數(shù),當前17頁，總共39頁。A能否對角化？若能對角化，例2解當前18頁，總共39頁。解之得基礎(chǔ)解系當前19頁，總共39頁。所以

可對角化.當前20頁，總共39頁。注意即矩陣P

的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應．可見

P未必唯一。當前21頁，總共39頁。例3三階方陣A的三個特征值且對應的特征向量分別是解：當前22頁，總共39頁。當前23頁，總共39頁。利用對角矩陣計算矩陣多項式k個當前24頁，總共39頁。

利用上述結(jié)論可以很方便地計算矩陣A

的多項式

.當前25頁，總共39頁。當前26頁，總共39頁。解

(1)

可對角化的充分條件是

有

個互異的特征值．下面求出

的所有特征值．當前27頁，總共39頁。當前28頁，總共39頁。當前29頁，總共39頁?！?.3Jordan標準形介紹定理：任意n方陣A都存在n階可逆矩陣P，使得-----Jordan矩陣。其中稱為Jordan塊矩陣。為A的特征值,可以是多重的。當前30頁，總共39頁。例如稱為Jordan塊.稱為子Jordan陣。當前31頁，總共39頁。Jordon標準形相似變換矩陣P的求法以三階矩陣為例來分析說明：設(shè)A相似于由當前32頁，總共39頁。分別取解得這里僅

X1是A對應于的特征向量。例3求可逆陣P和Jordan陣，使得解：令當前33頁，總共39頁。A有特征值（二重）.即對于求解：即先?。ㄌ卣飨蛄浚?。再取當前34頁，總共39頁。于是注意：P，J不唯一。亦可取則（非特征向量）。當前35頁，總共39頁。方陣A的Jordan標準形的結(jié)構(gòu)有以下特點：1.J中子Jordan陣的個數(shù)等于A互異特征值的個數(shù)；2.每個子Jordan陣的階數(shù)等于對應特征值的代數(shù)重數(shù)；3.每個子Jordan陣中Jordan塊的個數(shù)等于對應特征值的