-.z一階線(xiàn)形微分方程解的存在唯一性定理的證明摘要:從分析方法入手,來(lái)證明滿(mǎn)足初值條件下一階線(xiàn)形微分方程解的存在唯一性定理的證明.引言:我們學(xué)習(xí)了能用初等解法的一階方程的假設(shè)干類(lèi)型,但同時(shí)知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解,而實(shí)際問(wèn)題中所需要的往往是要求滿(mǎn)足*種初始條件的解,因此對(duì)初值問(wèn)題的研究被提到重要地位,自然要問(wèn):初值問(wèn)題的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我們令f(*,y)=p(*)y+q(*)這里f(*,y)是在矩形域R:上的連續(xù)函數(shù).函數(shù)f(*,y)稱(chēng)為在R上關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茲條件,如果存在常數(shù)L>0使不等式對(duì)于所有的都成立,L稱(chēng)為利普希茲常數(shù)下面我們給出一階線(xiàn)形微分方程(1)解的存在唯一性定理:如果f(*,y)=p(*)y+q(*)在R上連續(xù)且關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茲條件,則方程(1)存在唯一的解,定義于區(qū)間上,連續(xù)且滿(mǎn)足初始條件:這里我們采用皮卡的逐步逼近法來(lái)證明這個(gè)定理,為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),只就區(qū)間來(lái)討論,對(duì)于的討論完全一樣.現(xiàn)在簡(jiǎn)單表達(dá)一下運(yùn)用逐步逼近法證明定理的主要思想,首先證明求微分方程的初值問(wèn)題的解等價(jià)于求積分方程的連續(xù)解這里我們用f(*,y)=p(*)y+q(*)來(lái)替代,因此也就等價(jià)于求積分方程的連續(xù)解,然后去證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)代入上面的積分方程右端的y就得到函數(shù)顯然也是連續(xù)解,如果則就是積分方程的解.否則,我們又把代入積分方程右端的y得到如果,則就是積分方程的解,否則我們繼續(xù)這個(gè)步驟.一般地做函數(shù)(2)這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列,……如果則就是積分方程的解,如果始終不發(fā)生這種情況,我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個(gè)極限函數(shù)即存在因此對(duì)(2)取極限就得到==即這就是說(shuō)是積分方程的解,這種一步一步地求出方程的解的方法就成為逐步逼近法,由(2)所確定的函數(shù)稱(chēng)為問(wèn)題(1)的n次近似解,在定理的假設(shè)條件下以上步驟是可以實(shí)現(xiàn)的下面我們分四個(gè)命題來(lái)證明這個(gè)定理.命題1,設(shè)是一階線(xiàn)形微分方程(1)的定義于區(qū)間上的,且滿(mǎn)足初始條件的解,則是積分方程()的定義于上的連續(xù)解,反之亦然.因?yàn)槭且浑A線(xiàn)形微分方程(1)的解故有兩邊從到*取定積分得到把代上式,即有因此,是積分方程定義于上的連續(xù)解反之如果是積分方程的連續(xù)解,則有(3)微分之,得到又把代入(3)得到因此是方程(1)的定義于上且滿(mǎn)足初始條件的解.命題1證畢.現(xiàn)在取,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下:(n=1,2,…)(4)命題2函數(shù)序列在上是一致收斂的證明:我們考慮級(jí)數(shù)(5)它的局部和為=因此,要證明序列在上一致收斂,只需證明級(jí)數(shù)(5)在上一致收斂.為此,我們進(jìn)展如下估計(jì).由(4)有(6)及利用利普希茲條件及(6)得到=設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,不等式成立,則有利普希茲條件,當(dāng)時(shí),有于是,由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)k,有如下的估計(jì)(7)從而可知,當(dāng)時(shí)(8)(8)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),由維爾斯特拉斯判別法級(jí)數(shù)(5)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂,命題2證畢.命題3是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解.證明:由利普希茲條件以及在上一致收斂于,即知序列在上一致收斂于.因而對(duì)于(4)兩邊取極限,得到=即這就是說(shuō)是積分方程(2)的定義于上的連續(xù)解.命題3證畢.命題4設(shè)是積分方程(2)的定義于上的一個(gè)連續(xù)解,則,證明:我們首先證明也是序列的一致收斂極限函數(shù).為此,從(n=1,2,…)我們可以進(jìn)展如下估計(jì)現(xiàn)設(shè),則有故有數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)于所有的正整數(shù)n,有下面的估計(jì)式