專題18解直角三角形問題專題知識回顧一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

3.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5.

直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形二、銳角三角函數(shù)1.各種銳角三角函數(shù)的定義（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)特殊值的三角函數(shù)：αsinαcosαtanαcotα0°010不存在30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)1160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)90°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1．仰角：視線在水平線上方的角；2．俯角：視線在水平線下方的角。3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=專題典型題考法及解析專題典型題考法及解析【例題1】（2019?湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝60°，P點是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，則BP＝．【例題2】（2019?湖南長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30）nmile【例題3】（2019?江蘇連云港）如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里．在某時刻，哨所A與哨所B同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53°的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上．（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在D處成功攔截．（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1．（2019?渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，62．（2019?巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長的一組數(shù)據(jù)是（）A．，， B．32，42，52 C． D．0.3，0.4，0.53.（2019廣西省貴港市）將一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為A． B． C． D．4.（2019貴州省畢節(jié)市）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．55．（2019?南岸區(qū)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分線交AC于點D，并交BC于點E，若ED＝3，則AC的長為（）A．3 B．3 C．6 D．96．（2019?西藏）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，則半徑OB等于（）A．1 B． C．2 D．27.（2019?江蘇蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（）A． B． C． D．8.（2019?湖南長沙）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．10二、填空題9.（2019·貴州安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為．10.（2019貴州省畢節(jié)市）三角板是我們學(xué)習數(shù)學(xué)的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是．11.(2019海南)如圖,將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AE,直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AF,連接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,則EF＝________.12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,其中點A′與A是對應(yīng)點,點B′與B是對應(yīng)點,點B′落在邊AC上,連接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,則A′B的長為．13.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是____________．14.（2019?浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的B處，則此時這艘船與哨所的距離OB約為米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）15.（2019?海南省）如圖，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，則EF＝．16．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是．三、解答題17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，BH⊥AB于點B，點M是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H．（1）如圖①所示，若∠ABC＝30°，求證：DF＋BH＝BD；（2）如圖②所示，若∠ABC＝45°，如圖③所示，若∠ABC＝60°（點M與點D重合），猜想線段DF，BH，BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．圖① 圖② 圖③18.（2019?廣西池河）如圖，在河對岸有一棵大樹A，在河岸B點測得A在北偏東60°方向上，向東前進120m到達C點，測得A在北偏東30°方向上，求河的寬度（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732．19.（2019?湖南懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測得對岸A處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度．20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65°方向，另測得BC＝414m，AB＝300m，求出點D到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）21.（2019?湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求證：BD⊥BC．22.（2019廣東深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工隊站在點D處看向B，測得仰角45°，再由D走到E處測量，DE∥AC，DE=500米，測得仰角為53°，求隧道BC長.（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）.23.（2019湖北十堰）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD＝3m，壩高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的長．24.（2019湖南郴州）如圖所示，巡邏船在A處測得燈塔C在北偏東45°方向上，距離A處30km．在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求救信號，巡邏船接到指示后立即前往施救．已知B處在A處的北偏東60°方向上，這時巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到0.01km．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，專題18解直角三角形問題專題知識回顧專題知識回顧一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

3.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5.

直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形二、銳角三角函數(shù)1.各種銳角三角函數(shù)的定義（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)正切：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)2.特殊值的三角函數(shù)：αsinαcosαtanαcotα0°010不存在30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)1160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)90°10不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1．仰角：視線在水平線上方的角；2．俯角：視線在水平線下方的角。3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=專題典型題考法及解析專題典型題考法及解析【例題1】（2019?湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，∠1＝60°，P點是直線l上一點，當△APB為直角三角形時，則BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．∵AO＝OB＝2，∴當BP＝2時，∠APB＝90°，當∠PAB＝90°時，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA?tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，當∠PBA＝90°時，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB?tan∠1＝2，故答案為：2或2或2．【例題2】（2019?湖南長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．過點C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．【例題3】（2019?江蘇連云港）如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里．在某時刻，哨所A與哨所B同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53°的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上．（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在D處成功攔截．（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）當緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在D處成功攔截．【解析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函數(shù)定義得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB?sin37°＝25×＝15（海里）．答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）過點C作CM⊥AB于點M，易知，D.C.M在一條直線上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，根據(jù)走私船行駛CD所用的時間等于緝私艇行駛AD所用的時間列出方程，解方程即可．過點C作CM⊥AB于點M，由題意易知，D.C.M在一條直線上．在Rt△AMC中，CM＝AC?sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC?cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM?tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，則有＝，解得x＝6．經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解．答：當緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在D處成功攔截．專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1．（2019?渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此選項正確；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此選項錯誤；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此選項錯誤；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此選項錯誤．2．（2019?巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長的一組數(shù)據(jù)是（）A．，， B．32，42，52 C． D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看能否組成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理逐個判斷即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本選項符合題意。3.（2019廣西省貴港市）將一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為A． B． C． D．【答案】．【解析】過作于，則，依據(jù)勾股定理得出的長，進而得到重疊部分的面積．如圖，過作于，則，，，，中，，重疊部分的面積為，故選：．4.（2019貴州省畢節(jié)市）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．5【答案】B．【解析】勾股定理．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面積＝BC2＝3．故選：B．5．（2019?南岸區(qū)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分線交AC于點D，并交BC于點E，若ED＝3，則AC的長為（）A．3 B．3 C．6 D．9【答案】D．【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可．∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DC＝DB，DE⊥BC，∵∠C＝30°，∴BD＝DC＝2DE＝3，∴∠DBC＝∠C＝30°，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝BD＝3，∴AC＝DC+AD＝9．6．（2019?西藏）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于D，點E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，則半徑OB等于（）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【解析】直接利用垂徑定理進而結(jié)合圓周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，進而得出答案．∵半徑OC⊥弦AB于點D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，則半徑OB等于：＝．7.（2019?江蘇蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】考察角的三角函數(shù)值，中等偏易題目過作交于，在中，8.（2019?湖南長沙）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B．【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．二、填空題9.（2019·貴州安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為．【答案】．【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值為。10.（2019貴州省畢節(jié)市）三角板是我們學(xué)習數(shù)學(xué)的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長度是．【答案】15﹣5．【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理．過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．故答案是：15﹣5．11.(2019海南)如圖,將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AE,直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AF,連接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,則EF＝________.【答案】【解析】∵+＝∠B,∴∠EAF＝∠BAC+∠B＝90°,∴△AEF是直角三角形,且AE＝AB＝3,AF＝AC＝2,∴EF＝＝12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,其中點A′與A是對應(yīng)點,點B′與B是對應(yīng)點,點B′落在邊AC上,連接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,則A′B的長為．【答案】：【解析】∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝13.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是____________．【答案】【解析】如圖，過A作AD⊥BC于D，則∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AD＝AB＝，由勾股定理得：BD＝＝3，同理CD＝3，∴BC＝6，∴△ABC的周長為BC+AB+AC＝6+2+2＝6+4．14.（2019?浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的B處，則此時這艘船與哨所的距離OB約為米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【答案】456【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角的問題．此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．通過解直角△OAC求得OC的長度，然后通過解直角△OBC求得OB的長度即可．如圖，設(shè)線段AB交y軸于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，則AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA?cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．15.（2019?海南?。┤鐖D，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，則EF＝．【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的長．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝16．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】8．【解析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD＝90°，得到長CD到H使DH＝CD，由線段中點的定義得到AD＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到結(jié)論．∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案為：8．三、解答題17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，BH⊥AB于點B，點M是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H．（1）如圖①所示，若∠ABC＝30°，求證：DF＋BH＝BD；（2）如圖②所示，若∠ABC＝45°，如圖③所示，若∠ABC＝60°（點M與點D重合），猜想線段DF，BH，BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．圖① 圖② 圖③【答案】見解析?！窘馕觥織l件中有等腰三角形ABC，故考慮用等腰三角形的性質(zhì)；條件中有30°角，且有AD⊥BC，故可以找到與BD有關(guān)的的數(shù)量關(guān)系，即AD＝BD；條件中有中點，故考慮構(gòu)造全等三角形.結(jié)合以上信息，再結(jié)合問題中的DF,BH兩條線段，因此連接CF，問題可解.對于圖②和圖③，可仿照（1）的思路求解.（1）證明：連接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，∴∠BAC=∠ACB=75°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15°∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°，∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°.在△BHM和△CFM中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM，∴BH=CF,∴BH=AF，∴AD=DF+AF=DF+BH.在Rt△ADB中，∠ABC=30°，∴AD=BD,∴DF＋BH＝BD.（2）圖②猜想結(jié)論：DF＋BH＝BD；圖③猜想結(jié)論：DF＋BH＝BD18.（2019?廣西池河）如圖，在河對岸有一棵大樹A，在河岸B點測得A在北偏東60°方向上，向東前進120m到達C點，測得A在北偏東30°方向上，求河的寬度（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732．【答案】見解析。【解析】過點A作AD⊥直線BC，垂足為點D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通過解直角三角形可求出BD，CD的長，結(jié)合BC＝BD﹣CD＝120，即可求出AD的長．過點A作AD⊥直線BC，垂足為點D，如圖所示．在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD?tan60°＝AD；在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD?tan30°＝AD．∴BC＝BD﹣CD＝AD＝120，∴AD＝103.9．∴河的寬度為103.9米．19.（2019?湖南懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測得對岸A處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度．【答案】這條河的寬度為30米．【解析】如圖，作AD⊥于BC于D．由題意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC?sin60°＝60×＝30（米）．答：這條河的寬度為30米．20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65°方向，另測得BC＝414m，AB＝300m，求出點D到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】點D到AB的距離是214m．【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．如圖，過點D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴BE＝300﹣，又BF＝DE＝x，∴CF＝414﹣x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝CF，即：300﹣＝414﹣x，解得：x＝21421.（2019?湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形