第3章矩陣的初等變換與線性方程組§3.1矩陣的初等變換§3.2初等矩陣§3.3矩陣的秩§3.4線性方程組的解§3.1矩陣的初等變換上頁下頁返回首頁結(jié)束矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔芒佗冖佗诜匠探M的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

顯然交換B的第1行與第2行即得B1

增廣矩陣的比較例如下頁①2②①2②顯然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

例如增廣矩陣的比較下頁線性方程組與其增廣矩陣相互對應(yīng)對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對方程組的增廣矩陣的變換

把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上就得到矩陣的三種初等變換方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系在解線性方程組的過程中我們可以把一個方程變?yōu)榱硪粋€同解的方程這種變換過程稱為同解變換

同解變換有交換兩個方程的位置把某個方程乘以一個非零數(shù)某個方程的非零倍加到另一個方程上

下頁下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換

(i)對調(diào)兩行(列)

(ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去

矩陣的初等變換這三種變換都是可逆的且其逆變換是同一類型的初等變換例如變換ri+krj的逆變換為ri+(k)rj(或記作rikrj)

rirj(cicj)對調(diào)i

j兩行(列)

rik(cik)表示第i行(列)乘非零數(shù)k

ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上

初等變換的符號下頁~~~~~r3r4112140

111000

026112140

222005

5360

3343112142111223

1123

6979r42r3矩陣初等變換舉例

r1r2r2r3r32r1r43r1112140

11100

0

0

2600

013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行階梯形矩陣

行最簡形矩陣101040

11030

0

0

1300

00

000

00

00

0

0

13下頁可以證明對于任何矩陣A總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣

下頁~~~~~r3r4112140

111000

026112140

222005

5360

3343112142111223

1123

6979r42r3矩陣初等變換舉例

r1r2r2r3r32r1r43r1112140

11100

0

0

2600

013r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3101040

11030

0

0

1300

00

000

00

00

0

0

13矩陣初等變換舉例

對行最簡形矩陣再施以初等列變換可變成一種形狀更簡單的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形其特點是左上角是一個單位矩陣其余元素全為0

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形~c比如上述行最簡形矩陣經(jīng)初等列變換得下頁~rr~~c矩陣初等變換舉例

所有行等價的矩陣組成的一個集合集合中矩陣所對應(yīng)的線性方程組都是同解的其中行最簡形矩陣所對應(yīng)的線性方程組是最簡單的而且是最容易求解的

行最簡形矩陣與線性方程組的解

結(jié)束~rr~§3.2初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運算這有著廣泛的應(yīng)用

上頁下頁結(jié)束返回首頁由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

初等矩陣

E(i(k))表示用非零數(shù)k乘單位矩陣E的第i行(列)得到初等矩陣

E(ij(k))表示把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行上或把單位矩陣E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩陣

E(i

j)表示對調(diào)單位矩陣E的第i

j兩行(列)得到的初等矩陣

例如下頁定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個mn矩陣對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

例如設(shè)則有下頁~r1r2例如設(shè)則有定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個mn矩陣對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

下頁~c12c3定理2(矩陣可逆的充要條件)方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1P2

Pl

使AP1P2

Pl

推論2

mn矩陣A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q

使PAQB

定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個mn矩陣對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣對A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

推論1方陣A可逆的充分必要條件是A~E

r下頁>>>>>>設(shè)A為n階可逆矩陣

B為ns矩陣則存在初等矩陣P1

P2

Pl使

P1P2

Pl(A

B)(E

A1B)上式的意義

(i)取BE時上式成為P1P2

Pl(A

E)(E

A1)(ii)當(dāng)A為可逆矩陣時方程AXB的解為XA1B求AXB的解可以對(A

B)進行初等行變換使之成為(E

A1B)此時即得XA1B矩陣A可逆AP1P2

Pl其中P1P2

Pl都是初等矩陣求逆矩陣的初等行變換法下頁若矩陣A可逆則矩陣(A

E)經(jīng)初等行變換可化為(E

A1)

例1設(shè)求A1

解021100302010230001(A

E)

11

1111302010230001~r1r2r1r311

1111031323052223~r23r1r32r111

1111010423052223~r22r2r311

111101042300218812~r35r211

11110104230019

4

6~r2(1)r3(2)因為下頁若矩陣A可逆則矩陣(A

E)經(jīng)初等行變換可化為(E

A1)

例1設(shè)求A1

11

11110104230019

4

6~r021100302010230001(A

E)

~r1r2r1r31006340104230019

4

6所以

解因為下頁若矩陣A可逆則矩陣(A

B)經(jīng)初等行變換可化為(E

A1B)

例3求解矩陣方程AXAX其中

把所給方程變形為(AE)XA

解

因為~r所以討論

如何求解矩陣方程XAB?其中A可逆

結(jié)束>>>>>>提示§3.3矩陣的秩我們已經(jīng)知道給定一個mn矩陣A它的標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定這個數(shù)也就是A的行階梯形中非零行的行數(shù)這個數(shù)便是矩陣A的秩

上頁下頁結(jié)束返回首頁矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D

且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0那么D稱為矩陣A的最高階非零子式數(shù)r稱為矩陣A的秩記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0則R(A)s若A中所有t階子式全為0則R(A)t

(2)若A為mn矩陣則0R(A)min{m

n}

(3)R(AT)R(A)

幾個簡單結(jié)論(4)對于n階矩陣A當(dāng)|A|0時

R(A)n

當(dāng)|A|0時

R(A)n

可逆矩陣又稱為滿秩矩陣不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱為降秩矩陣

下頁提示

例1求矩陣A和B的秩其中在A中容易看出一個2階子式A的3階子式只有一個|A|經(jīng)計算可知|A|0因此R(A)2

解

以三個非零行的首非零元為對角元的3階子式是一個上三角行列式它顯然不等于0因此R(B)3

B是一個有3個非零行的行階梯形矩陣其所有4階子式全為零對于行階梯形矩陣它的秩就等于非零行的行數(shù)

下頁定理1

若A~B

則R(A)R(B)根據(jù)這一定理為求矩陣的秩只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

下頁因為

解

例2求矩陣A的秩并求A的一個最高階非零子式

其中

所以R(A)3

為求A的最高階非零子式考慮由A的1、2、4列構(gòu)成的矩陣因為A0的子式所以這個子式是A的最高階非零子式

>>>>>>下頁注

以B為增廣矩陣的線性方程組Axb是無解的這是因為行階梯形矩陣的第3行表示矛盾方程01

例3求矩陣A及B(A

b)的秩其中對B作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣設(shè)B的行階梯形矩陣為B0(A0

b0)

則A0就是A的行階梯形矩陣

故從B0(A0

b0)中可同時看出R(A)及R(B)

解

因為所以R(A)2

R(B)3

>>>下頁

例4設(shè)已知R(A)2求與的值

解

因R(A)2故下頁(6)R(AB)R(A)R(B)

(5)max{R(A)

R(B)}R(A

B)R(A)R(B)

特別地當(dāng)Bb為列向量時有R(A)R(A

b)R(A)1(4)若P、Q可逆則R(PAQ)R(A)

>>>這是因為(AB

B)~(A

B)于是下頁R(AB

B)R(A

B)R(AB)R(A)R(B)矩陣秩的性質(zhì)(1)0R(Amn)min{m

n}

(2)R(AT)R(A)

(3)若A~B則R(A)R(B)矩陣秩的性質(zhì)(8)若Amn

BnlO則R(A)R(B)n

(7)R(AB)min{R(A)

R(B)}

(6)R(AB)R(A)R(B)

(5)max{R(A)

R(B)}R(A

B)R(A)R(B)

特別地當(dāng)Bb為列向量時有R(A)R(A

b)R(A)1(4)若P、Q可逆則R(PAQ)R(A)

>>>下頁(1)0R(Amn)min{m

n}

(2)R(AT)R(A)

(3)若A~B則R(A)R(B)提示

而R(EA)R(AE)所以R(AE)R(AE)n

例5設(shè)A為n階矩陣證明R(AE)R(AE)n

證明因為(AE)(EA)2E由性質(zhì)(6)有R(AE)R(EA)R(2E)nR(AB)R(A)R(B)

結(jié)束§3.4線性方程組的解我們知道

n未知數(shù)m個方程的線性方程組可以寫成Axb

其中A(aij)

x(x1

x2

xn)T

b(b1

b2

bm)T矩陣B(A

b)稱為線性方程組的增廣矩陣

線性方程組如果有解就稱它是相容的如果無解就稱它不相容

上頁下頁結(jié)束返回首頁定理1

n元線性方程組Axb(1)無解的充分必要條件是R(A)R(A

b)

(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

說明

Axb無解R(A)R(A

b)的等價敘述

①Axb無解R(A)R(A

b)

R(A)R(A

b)Axb無解

②R(A)R(A

b)Axb有解

R(A)R(A

b)Axb無解

要證明定理只需證明

R(A)R(A

b)Axb無解

R(A)R(A

b)nAxb有唯一解

R(A)R(A

b)nAxb有無限多解

>>>>>>>>>下頁定理2線性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(A

b)

定理3

n元齊次線性方程組Ax0有非零解的充分必要條件是R(A)n

定理1

n元線性方程組Axb(1)無解的充分必要條件是R(A)R(A

b)

(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

當(dāng)方程組Axb有無限多個解時其解的形式為線性方程組的通解這是方程組的含有參數(shù)的解稱為方程組的通解

令xr1c1

xncnr可得其中xr1

xn是自由未知數(shù)

下頁>>>

求解線性方程組Axb的步驟

(1)對于非齊次線性方程組把它的增廣矩陣B化成行階梯形從B的行階梯形可同時看出R(A)和R(B)

若R(A)R(B)

則方程組無解

(2)若R(A)R(B)

則進一步把B化成行最簡形而對于齊次線性方程組則把系數(shù)矩陣A化成行最簡形

(3)設(shè)R(A)R(B)r

把行最簡形中r個非零行的首非零元所對應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)其余