一次函數(shù)壓軸題之矩形1．如圖，在平面真角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（﹣，0），點B的坐標(biāo)是（0，1）．點B和點C關(guān)于原點對稱．點P是直線AB位于y軸右側(cè)部分圖象上一點，連接CP，已知S△BPC＝S△ABC，（1）求直線AC的解析式；（2）如圖2，△AOC沿著直線AC平移得△A′O′C′，平移后的點A′與點C重合點F為直線AC上的一動點，當(dāng)PF+FC′的值最小時，請求出PF+FC′的最小值及此時點F的坐標(biāo)；（3）如圖3，將△PBC沿直線PA翻折得△PBG，點N為平面內(nèi)任意一動點，在直線PA上是否存在點M，使得以點M、N、P、G為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求線段AB的長；（2）求直線CE的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣6x+8＝0的兩個根，且OC＞BC．（1）求直線BD的解析式；（2）求△OFH的面積；（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A，B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C，D，AB與CD相交于點E，線段OA，OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的兩根（OA＞OC），BE＝5，tan∠ABO＝．（1）求點A，C的坐標(biāo)；（2）若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點E，求k的值；（3）若點P在坐標(biāo)軸上，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使以點C，E，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請寫出滿足條件的點Q的個數(shù)，并直接寫出位于x軸下方的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

1．【解答】解：（1）點B和點C關(guān)于原點對稱，則點C（0，﹣1），將點A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n得：，解得：，故直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1；（2）過點C′作直線l∥x軸，過點P作PF′⊥l，垂足為點F′，交AC于點F，tan∠ABO＝＝，故∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，∵∠OAB＝30°＝∠FC′F′，∴FFFC′，則PF+FC′＝PF+FF′＝PF′，即此時，PF+FC′最小，最小值為PF′，S△BPC＝S△ABC，則|xP|＝|xA|，故點P（，），AC＝CC′＝2，則點C′（，﹣2），則點F′（，﹣2），點F（，﹣），PF+FC′最小值PF′＝；（3）存在，理由：①當(dāng)GM⊥PM時，如圖∠ABC＝60°＝∠ABG，∴∠GBH＝60°，GB＝BC＝2，則GH＝GBsin∠GBH＝2×sin60，故點G（﹣，2）；M、N、P、G為頂點的四邊形是矩形，點M位置如下圖所示，設(shè)點M（m，m+1），將點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)：y＝sx+t得：，解得：，故直線AB的表達(dá)式為：y＝x+1…①，∵GM⊥AB，則設(shè)直線GM的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點G的坐標(biāo)代入上式得：2＝﹣（﹣）+b，解得：b＝﹣1，故：直線GM的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，故點M（﹣，）；②當(dāng)GM⊥GP時，同理可得：點M（﹣，﹣）；綜上，點M（﹣，）或（﹣，﹣）．2．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，設(shè)OC＝x，則AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，則C的坐標(biāo)是（﹣3，0）．設(shè)AB的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得解得：則直線AB的解析式是y＝x+6，設(shè)CD的解析式是y＝﹣x+m，則4+m＝0，則m＝﹣4．則直線CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①當(dāng)AB為矩形的邊時，如圖所示矩形AM1P1B，易知BC的直線方程為y＝2x+6，設(shè)M1（m，2m+6），P1（x，y），因為A（﹣8，0），B（0，6），則AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根據(jù)AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根據(jù)平移規(guī)律可以解得P1（3，2）②當(dāng)AB為矩形的對角線時，此時有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根據(jù)平移規(guī)律可以解得P2（﹣4，8）綜上可得，滿足條件的P點的坐標(biāo)為P1（3，2）或P2（﹣4，8）．3．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0可得x＝2或x＝4，∵BC、OC的長是方程x2﹣6x+8＝0的兩個根，且OC＞BC，∴BC＝2，OC＝4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴OD＝OC＝4，DE＝BC＝2，∴D（4，0），設(shè)直線BD解析式為y＝kx+b，把B、D坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），設(shè)直線OE解析式為y＝mx，把E點坐標(biāo)代入可求得m＝，∴直線OE解析式為y＝x，令﹣x+＝x，解得x＝，∴H點到y(tǒng)軸的距離為，又由（1）可得F（0，），∴OF＝，∴S△OFH＝××＝；（3）∵以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形，∴△DFM為直角三角形，①當(dāng)∠MFD＝90°時，則M只能在x軸上，連接FN交MD于點G，如圖1，由（2）可知OF＝，OD＝4，則有△MOF∽△FOD，∴＝，即＝，解得OM＝，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），設(shè)N點坐標(biāo)為（x，y），則＝，＝0，解得x＝，y＝﹣，此時N點坐標(biāo)為（，﹣）；②當(dāng)∠MDF＝90°時，則M只能在y軸上，連接DN交MF于點G，如圖2，則有△FOD∽△DOM，∴＝，即＝，解得OM＝6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG＝MF＝，則OG＝OM﹣MG＝6﹣＝，∴G（0，﹣），設(shè)N點坐標(biāo)為（x，y），則＝0，＝﹣，解得x＝﹣4，y＝﹣，此時N（﹣4，﹣）；③當(dāng)∠FMD＝90°時，則可知M點為O點，如圖3，∵四邊形MFND為矩形，∴NF＝OD＝4，ND＝OF＝，可求得N（4，）；綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．4．【解答】解：（1）∵x2﹣18x+72＝0∴x1＝6，x2＝12．∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO＝，∴＝，∴，∴OB＝16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝20．∵BE＝5，∴AE＝15．如圖1，作EM⊥x軸于點M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，∴，∴EM＝12，AM＝9，∴OM＝12﹣9＝3，∴E（3，12），∴12＝，∴k＝36；（3）滿足條件的點Q的個數(shù)是6，如圖2所示，x軸的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3）；如圖①，∵E（3，12），C（﹣6，0），∴CG＝9，EG＝12，∴EG2＝CG