小教101班數學思維方法題庫一、選擇題：1、以下說法正確的是：（）見課本P.97~98專注與靈感是創(chuàng)造性思維的主要標志。發(fā)散性思維與收斂性思維結合是創(chuàng)造性思維的基本圖式。積極的創(chuàng)造是創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。創(chuàng)見性與新穎性是創(chuàng)造性思維的重要特點。答案：B2、下列關于數學概念之間的關系的說法中錯誤的是（）A最小的質數與最小的正偶數這兩個概念是同一關系B平行四邊形與長方形這兩個概念是從屬關系C等腰梯形與直角梯形這兩個概念是矛盾關系D等腰三角形與直角三角形這兩個概念是交叉關系答案：C。（分值：3分）解釋：C選項的說法是錯誤的，等腰梯形與直角梯形的外延互相排斥，盡管它們都包含于梯形的概念之中，它們是對立關系而不是矛盾關系。A選項正確，最小的質數和最小的正偶數均為2，這兩個概念的外延相同，為同一關系；B選項正確，平行四邊形包含長方形，長方形屬于平行四邊形的一種，二者為從屬關系；D選項正確，等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形這兩個概念的重合，二者為交叉關系。3、分析法與綜合法的區(qū)別在于A.分析法、綜合法——已知到未知B.分析法——已知到未知、綜合法——未知到已知C.分析法、綜合法——未知到已知D.分析法——未知到已知、綜合法——已知到未知答案：D4、選擇題:在△ABC中,求cosA+cosB+cosC的最大值()A.3B.2C.1.5D.1參考答案:解題思路（直覺思維）：可以從三角形內角和與三角函數值的角度直覺的猜得，即A=B=C=60°時可取得最大值1.5。4x-4x≤15、f(x)={求與g(x)=log2X的交點數量（）x^2-4x+3x>1

A.1B.2C.3D.4答案是C6、一個多邊形的內角和為720°，這是一個（）邊形。（3分）A.四B.五C.六D.七答案：BC7、在指導學生運用觀察與實驗的方法學習數學時，應注重數學自身的結構，鼓勵學生的_________，增強學生對數學的興趣與信心，學會運用數學_________。A.大膽試錯和歸納類比，解決實際問題B.大膽試錯和歸納類比，解決經典例題C.個體體驗和個體理解，解決實際問題D.個體體驗和個體理解，解決經典例題8、請問算式7-43A.2—3B.2+3C.3—2D.4—解：A。思路：顯然根號下的式子無法直接計算，但觀察發(fā)現它可以分解成完全平方式。事實上，根號下只有完全平方式才能進行下一步計算。于是有：7—43=22—223+（3）2=(2-3)9、若三角形內切圓半徑為r，三邊長為a,b,c,則三角形的面積S=()。------3分A、r(a+b+c)B、3/2r(a+b+c)C、1/2r(a+b+c)D、r(a+b)答案：C解題思路：10、第二次數學危機出現的標志是（）A．無理數的出現B.無限問題的出現C.費馬猜想D.微積分的創(chuàng)立答案：D11、以下說法正確的是（）A描述性數學模型又稱為解釋性數學模型B“哥尼斯堡七橋問題”是一個確定性數學模型C描述性數學模型是從一般到特殊D公式V=eq\f(π,3)r3h是計算圓錐體積的解釋性數學模型答案：B12、已知a，b是兩個不相等的正數，求證：a+b2>ab。作為通常證明，我們可以從（A.形式化B.非形式化C.演繹化D.非演繹化答案：B非形式化答案解析：本題考察的是學生關于課本《數學思維方法》中第九章第二章節(jié)的知識，題目改編于297頁例2，排除C、D無關選項。書中詳細介紹了“形式化”的證明方法，而在開頭、和小結指出中小學更應側重的知識是非形式化數學方法指導。所以排除再排除A選項，得到正確答案B。評分標準：有且只有一個答案為B非形式化，其余答案均為錯誤。出題目標：雖然數學是形式化的，數學的方法也是一種形式化的方法。但是，中小學數學應當適合學生的特點教學目標的要求，不過分追求數學的形式化，通過這道題，考核學生對例題的數學思維理解，加深未來小學準教師對數學方法教授時形式化與非形式化區(qū)別。13、已知，平面上n條直線最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2個平面塊。請用類比推理的方法，猜想用n個平面分割空間所得的塊數的表達式。（）AN=（an2+bn+c）/3BN=（an3+bn2+cn+d）/2CN=（an3+bn2+cn）/3DN=（an3+bn2+cn+d）/314.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將△ABC如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則tan∠CBD的值是（）A． B． C． D．668CEABD第1題答案：C解析：由tan∠A=CB/CA=6/8=DE/DA=DE/5得出：DE=15/4cos∠A=CA/BA=8/10=DA/AE=5/AE得出：AE=25/4=BE，CE=AC-AE=8-25/4=7/4∴tan∠CBE=CE/CB=(7/4)÷6=7/2415、設是方程的兩個實根，則的最小值是A.B.8C.18D.不存在思路分析本例只有一個答案正確，設了3個陷阱，很容易上當。利用一元二次方程根與系數的關系易得：∴有的學生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。而原方程有兩個實根，∴或當時，的最小值是8；當時，的最小值是18。這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確。此題是形式化系統(tǒng)內的運算操作常犯的錯誤。只注重形式化規(guī)則而忽略它特定的討論范疇、真實狀況時就可能導致錯誤。16、下列不是思維的特征的是：（C）A.方向性B.概括性C.發(fā)展性D.間接性17、按照思維的應用，可以把數學思維分成四個方面，一下錯誤的是：A.哲學B.特殊方法論C.數學某分支D.初等數學18、對于全體實數x,使|x-2|+|x-4|+|x-7|+|x-9|+|x-9|+|x-15|+|x-21|≥m恒成立，m的最大值為（）。A．28B.30C.32D.36解題思路：可采用主次漸進的方法利用特殊值加以實驗，觀察結果，排除不合適的選擇值即可求解。如取x=2,4,7,9,15,21,求不等式左邊的值，得當x=2時，不等式左邊=46當x=4時，不等式左邊=38當x=7時，不等式左邊=32當x=9時，不等式左邊=32當x=15時,不等式左邊=44當x=21時,不等式左邊=68上述不等式值最小為32，至此只要考慮是否有x的值，使不等式左邊小于3=2就可以了。重點要檢驗x=7,9附近的值，但可初定確定正確答案應是C。19.一個和尚敲2下鐘,用了兩秒,問用同樣的速度敲4下鐘需要多少秒?（）A.4秒B.5秒C.6秒D.8秒答案是C.6秒。 敲2下鐘，其間隔是（2-1）次，用時時長2秒；敲4下鐘，間隔為（4-1）次，用時時長（4-1）×2=6（秒）。20、根據思維的形態(tài)不同，可以將思維分為若干個表現形態(tài)，以下不屬于該分類形式的是（）A．動作思維B.具象思維C.形象思維D.抽象思維答案：B（根據思維的形態(tài)不同，可以將思維分為動作思維、形象思維和抽象思維。）21、請問數學實驗教學模式一般包括以下哪幾個主要環(huán)節(jié)且順序是什么？（1）創(chuàng)設情境（2）驗證與數學化（3）討論與交流（4）假設與猜想（5）活動與實驗（6）歸納與猜想A、（4）—（1）—（5）—（3）—（2）B、（1）—（5）—（3）—（6）—（2）C、（4）—（1）—（3）—（5）—（2）D、（1）—（3）—（5）—（6）—（2）答案為B，詳見書本P334-335。22、下列哪一種是含有參數的關系映射反演方法（D）（3分）A．換元法B．坐標法C．函數法D．待定系數法選擇題23、以下不屬于從數學化歸法利用數學工具的方式來劃分都是：（C）A.參數變換法B.分解與組合C.計算式法D.映射法24、若關于x的一元二次方程2a+2x-5=0的兩根中有且僅有一根在0與1之間（不含0和1），則a的取值范圍是（）(4分)A．a<3B．a>3C．a<-3D．a>-3解析:根據題意肯定有兩不同根,則4-4a*(-5)=4+20a>0,得a>-1/5有且僅有一根在0與1之間（不含0和1）設f（x）=ax2+2x-5，則f（0）*f（1）<0,即-5*（a-3）<0,得a>3最終取交集a>3,即選B25、（）數學中的非邏輯思維主要有___________、直覺思維、靈感思維、數學想象等。A.形象思維B.抽象思維C.數學判斷D.數學推理答案：A分數：答對得5分，答錯得0分26、中華名族真正接受西方數學是在什么時候？（第十一章第一節(jié)）（A）鴉片戰(zhàn)爭之后B.八國聯軍侵華之后C.抗日戰(zhàn)爭時期D.改革開放時期27、設X∈R,y＝2－cos2x＋eq\f(9,4sin2x)的最大值為（D）A、eq\f(17,4)B、2C、1D、無最大值28．在數學建模時，我們常會用到測試分析法，即當我們對研究對象機理不清楚時，就把研究對象視為黑箱系統(tǒng)，以此來分析并建立模型。在一個黑箱系統(tǒng)中，第一次輸入的為1，輸出為1，第二次輸入為2，輸出為5，第三次輸入為3，輸出為10，則我們可得出的假設模型是（）2A．an=2n-1B．an=nC.an=n+1D.an=2n+12答案：C29、拋硬幣，拋一次出現數字的幾率是1/2，那么拋第5次時，出現數字的幾率是多少？A1/3B1/2C1/4D1/530、已知，平面上n條直線最多把平面分割成F（n）=（n2+n+2）/2個平面塊。請用類比推理的方法，猜想用n個平面分割空間所得的塊數的表達式。（）AN=（an2+bn+c）/3BN=（an3+bn2+cn+d）/2CN=（an3+bn2+cn）/3DN=（an3+bn2+cn+d）/331、在中國古代數學中，劉徽的割圓術運用了（）的思想方法獲得了圓的面積。A化歸B變形C逐次漸進D數學建模答案：C32、綜合法可用如下框圖表示：（C）A：B：C：D：二、大題目1、簡答題：（8分，共四點，每答對一點2分）數學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應注重那幾個方面的問題？見課本P.103~104答案：第一，在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設法引導學生的數學興趣，并且積極提出問題來參與數學的教學活動。第二，在數學知識和方法的儲備方面，使學生根據自己的理解主動地掌握數學的知識和方法。第三，在數學思維方式方面，由于邏輯思維是數學知識和理論的主要表現形式，因此應當格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)。第四，在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經有很多成熟的廣泛運用的方法，所以在數學教學中應當有意識地學習或運用它們，使之與數學的某些具體的問題相結合。 2．簡答題：求證：對任意自然數n均有2n+2>n2。答案：（分值：15分）當n=1時，命題顯然成立。(2分)設2k+2>k2成立，只要證明2k+1+2>(k+1)2即可。（2分）∵2k+1+2－(k+1)2=2(2k+2)－k2－2k－3,（3分）代入2k+2>k2，得到2k+1+2－(k+1)2>k2－2k－3=(k－1)2－4，（4分）只要證明(k－1)2－4≥0即可， （1分）（1分）再從n=2,3分別驗證，當n=2時，22+2>22，命題成立；當n=3時，23+2>32，命題成立；因此當n為任意自然數時均有2n+2>n2。（2分）（其他合理解法可酌情給分）3.簡答題（10分）對于任意自然數n>1，+Cn2+Cn3+…解：假設結論成立，可以得到>（分析法）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分根據二項式定理有QUOTE2nError!Digitexpected.==1+Cn1+Cn2+…+所以Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn=QUOTE2n-1Error!Digitexpected.=1+2+QUOTE22+…+QUOTE2n-1所以>===QUOTE2n-12Error!Digitexpected.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分即>QUOTE2n-12Error!Digitexpected.與（綜合法）即Cn1+Cn2+Cn（說出分析法、綜合法各1分）4.試用數學解題的一般程序論述下題:(共10分)已知長方體的長,寬和高,求它的對角線長度。參考答案與評分標準:（合理即可給分）弄清楚問題：(共4分)未知量是這個長方體的對角線長度-------------------------------------(1分)已知數據是此長方體的長、寬和高-------------------------------------(1分)引入適當的符號ｘ表示未知量，a、b、c分別表示長,寬和高-------------------------(1分)聯系a、b、c和ｘ的條件是ｘ是長為a，寬為b，高為c的長方體的對角線長度----------------------------------(1分)分析和制定解題步驟：(共2分)具有相似未知量的一道已經會解答的題：求一個直角三角形的一條邊。------------------(1分)為了能應用這道題的解法，應該引入某個輔助元素：引入一個直角三角形（圖中陰影強調）未知量是這個三角形的斜邊，可以用勾股定理把它計算出來。其中一條直角邊是給定的，就是c；另外一條直角邊又是另一個直角三角形（直角邊分別為a和b的三角形）的斜邊，設這斜邊為y。---------------(1分)完成解題計劃并檢驗：(共2分)引入另一個未知量y后，由勾股定理可得：xy2因為x是正數，所以x=√a2+解題后研究：任意寫出兩個方面即可(共2分)，以下四個僅供參考：題目中a，b，c是輪換對稱的，得到的對角線表達式對a，b，c來說也是輪換對稱的。假如a，b，c位置互換，表達式保持不變。這個題目和一道平面幾何題相似：求一個兩邊a，b都給定的長方形的對角線。假如原題中的高c不斷縮短，直至消失，那么得到的就是長方形對角線公式。如果長方形的三個量a，b，c都等比例增長，那么對角線也將以相同的比例增長。在別的題目中運用原題得到的結果。例如：給定長方體的長，寬和高，求長方體中心到一個頂點的距離。解答：所求距離就是剛計算過的對角線的一半。5、簡答題用數學歸納法證明（5分）答案：證明：（1）當時，左邊，右邊，等式成立．（1分）（2）假設當時，等式成立，即則當時，（4分）即當時，等式成立．根據（1）、（2）可知，對一切，等式成立．6、證明：圓周角是同弧所對的圓心角之半。（7分）P書7、把右圖中的花瓶剪2刀，再拼成一個正方形。并根據此說明觀察與實驗在具體數學學習和解題中的作用。（得不出剪法，可結合其他具體例子進行說明）（10分）參考答案：剪法見下圖?！唧w說明言之成理且符合題意即可，沒有固定的標準答案。評分細則：1、未寫，只寫一個“解”字或“答”字，記0分；2、有答題，但答案與題目完全不符，如抄歌詞、默古詩等，看書寫情況給予適當辛苦分，記1—3分；

3、例舉非題目例子展開答題，表述較完整合理，視情況記3—6分；

4、以題目例子展開答題且表述完整合理或結合其他例子表述且有說服力，視情況記6—9分，剪法正確可加1—2分；

5、完全依照題目答題，剪法正確且說明完整合理，有信服力，記10分。8、論述題以五年級應用題“人民小學食堂運來400千克大米，已經吃了五分之二，還剩多少千克？”為例分析數學解題的一般程序。答：（一）弄清楚問題：問題為求剩余的大米千克數。（二）分析和制定解題步驟：本題可采用綜合法來解題：大米總量為400千克大米總量為400千克↘已經吃了的大米數量已經吃了的大米數量已經吃了五分之二剩余的大米數量↘已經吃了五分之二剩余的大米數量↗大米總量為400千克↗大米總量為400千克-（三）完成解題計劃并檢驗400×2/5=160(千克)400—160=240（千克）（四）解題后的研究：題中的隱含條件是已經吃了的大米數量，引出混合式：400－400×2/5=240(千克)評分標準：1、只解出該應用題，得3分；2、解出應用題，并能簡略寫出四個一般程序得6分3、解出應用題，寫出四個一般程序，并能做出合理分析得10分。9、教學設計請你設計一個“三角形面積公式”的教學片斷并加以解釋說明，要求從數學思想方法的角度進行分析設計。——10分參考答案：師：我們已經學過長方形、正方形、平行四邊形的面積計算方法，那么如何求三角形的面積呢？這就是我們本節(jié)課所要解決的數學問題。師：大家還記得平行四邊形的面積公式我們是如何求得的？生1：用剪拼的方法把平行四邊形變成一個長方形。師：在剪拼的過程中，什么變了，什么沒有變？生2：圖的形狀變了，但是面積的大小沒有變。師：那么，我們能不能用同樣的方法來求三角形的面積呢？每個同學用你們事先準備好的材料想辦法求出三角形的面積，如果你覺得有困難，可以和同桌商量?！ㄟ^動手操作，有的同學用剪拼的方法把三角形轉化成長方形來求它的面積；有的同學用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形后來求出三角形的面積。教師讓學生介紹各種不同的方法。師：你認為三角形的面積該如何計算？根據剛才的展示，學生分別講述“底×高÷2“的理由。……——6分說明：三角形的面積學生不會求，但通過拼湊的方法把三角形轉化為平行四邊形的一半，而平行四邊形面積學生是會求的，再通過三角形和轉化成的平行四邊形一半的關系比較得到求三角形面積的一般方法。整個過程滲透的是化歸思想中的分割法。這里的化歸對象是三角形；化歸目標是平行四邊形；化歸途徑是分割，拼湊?！?分10、簡答題：簡述數學創(chuàng)造性思維在培養(yǎng)時應注意的方面。答案：1.在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設法引起學生的數學興趣，并且積極提出問題來參與數學的教學活動；2.在數學知識和方法的儲備方面，使學生根據自己的理解主動地掌握數學的知識和方法；3.在數學思維方式方面，由于邏輯思維是數學知識和理論的主要表現形式，因此應當格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)；4.在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經有很多成熟的廣泛運用的方法，所以在數學教學中應當有意識的學習或運用它們，使之與數學某些具體的問題相結合。評分標準：該題總分8分，每條2分。11、簡答題簡述描述性數學模型和解釋性數學模型的區(qū)別（從定義來講），并分別簡單舉一個例子。（12分）答案：描述性數學模型是從特殊到一般，（2分）即用數學語言描述具體的客觀事物及狀態(tài)的量化關系，得到一個具體的抽象的數學結構。（2分）例如，哥尼斯堡七橋問題、布豐的投針實驗、y=kx(k是非零常數)是具有正比例關系的事物的描述性數學模型等（2分）解釋性數學模型是從一般到特殊，（2分）即對抽象的公理化系統(tǒng)給出直觀解釋或直觀形式下的一種邏輯證明。（2分）例如，龐加萊給出的非歐幾何的數學模型，即龐加萊模型。（2分）12、簡答題：從數學方法論的角度分析數學的形式化特征，不難發(fā)現形式化是數學方法的表現形式，這種表現形式含有哪三層意義？答案：一、數學的形式都是有特定的符號來表現的二、數學的形式化符號語言是數學思維的表現形式三、數學教育應當重視形式化答案解析：本題考察的是學生關于課本《數學思維方法》中第九章第二章節(jié)的知識，題目考察范圍為292頁數學的形式化方法的意義，排除C、D無關選項。書中詳細介紹了“形式化”的證明方法，而在開頭、和小結指出中小學更應側重的知識是非形式化數學方法指導。所以排除再排除A選項，得到正確答案B。評分標準：1.分別完整答出三點意義，給以滿分；2分別答出三句的關鍵詞句“特定符號……表現”、“符號語言……表現形式”、“數學教育”扣除1-2分；3.答出知識點不完整，按所答知識點與相應所屬意義聯系性，酌情給分，不超過5分；4.學生答案與正確答案完全無關，給予0分。出題目標：考察學生對數學的形式化方法的意義的理解，結合書上的文本重點知識，加強學生理論知識13、求證lg5×lg25+lg5×lg4+lg2×lg25+lg2×lg4=2解：（lg2+lg5）（lg25+lg4）=2又由于lg2+lg5=lg10=1，lg25+lg4=lg100=2，于是問題得到解決。14、解答題利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a不等于0）的根的判別問題進行類比，求解方程x2-4xy+5y2+2x-8y+5=0的實數解x和y。解題思路：若按y整理原方程，則有5y2-4（x+2）y+（x2+2x+5）=0（3）類比ax2+bx+c=0（a不等于0），則y有實數解的充要條件是△≥0（3）整理化解后得（x-3）2≤0（2）將x=3帶入原方程可得y=2（2）15、簡答題（10分）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖（1），根據勾股定理，則a2+b2=c2,若△ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關系，并證明你的結論。答案及評分標準：解：若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2＞c2；………………2分若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2+b2＞c2；.……2分證明：當△ABC是銳角三角形時，過點A作AD⊥CB，垂足為D，……………………1分設CD為x，則有DB=a-x根據勾股定理得b2-x2=c2-（a-x）2即b2-x2=c2-a2+2ax-x2∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2；………………2分證明：當△ABC是鈍角三角形時，過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，……1分設CD為x，則有DB2=a2-x2根據勾股定理得（b+x）2+a2-x2=c2即b2+2ab+x2+a2-x2=c2∴a2+b2+2ab=c2∵b＞0，x＞0∴2bx＞0∴a2+b2＜c2.………………2分注釋：此道題目，考生若能完整寫出正確答案即可得4分，證明過程各占3分；若有其他證明方法，只要合理，即可酌情給分。16、論述題：12個球一個天平，現知道只有一個和其它的重量不同，問怎樣稱才能用三次就找到那個球。（注意此題并未說明那個球的重量是輕是重）

給分原則（若此題20分）：此題考查的是學生邏輯推理的嚴密性和逐次漸進法的使用，需要學生細心面對及考慮問題具有全面性。①只答出對球編號給2分；②在①的基礎上，懂得分步稱量，即使不是用三步稱出來的，也給一半分。③漏掉其中一兩個步驟，則給15分④其他酌情給分。

【解答】12個時可以找出那個是重還是輕，13個時只能找出是哪個球，輕重不知。

把球編為①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13個時編號為⒀）

第一次稱：先把①②③④與⑤⑥⑦⑧放天平兩邊，

㈠如相等，說明特別球在剩下4個球中。

把①⑨與⑩⑾作第二次稱量，

⒈如相等，說明⑿特別，把①與⑿作第三次稱量即可判斷是⑿是重還是輕

⒉如①⑨＜⑩⑾說明要么是⑩⑾中有一個重的，要么⑨是輕的。

把⑩與⑾作第三次稱量，如相等說明⑨輕，不等可找出誰是重球。

⒊如①⑨＞⑩⑾說明要么是⑩⑾中有一個輕的，要么⑨是重的。

把⑩與⑾作第三次稱量，如相等說明⑨重，不等可找出誰是輕球。

㈡如左邊＜右邊，說明左邊有輕的或右邊有重的

把①②⑤與③④⑥做第二次稱量

⒈如相等，說明⑦⑧中有一個重，把①與⑦作第三次稱量即可判斷是⑦與⑧中誰是重球⒉如①②⑤＜③④⑥說明要么是①②中有一個輕的，要么⑥是重的。把①與②作第三次稱量，如相等說明⑥重，不等可找出誰是輕球。

⒊如①②⑤＞③④⑥說明要么是⑤是重的，要么③④中有一個是輕的。把③與④作第三次稱量，如相等說明⑤重，不等可找出誰是輕球。

㈢如左邊＞右邊，參照㈡相反進行。17、解答題：分別用恒等變形以及同解變形解方程18、簡答題：運用具體例子說明遞推法的逐次漸近的作用。解答：舉例：在數列{an}中a1=1,an+1=eq\f(1,an+1),求an………(舉例5分)a1=1a2=eq\f(1,2)a3=eq\f(1,3)...an=eq\f(1,n)將a1代入an+1=eq\f(1,an+1)中，得到an+1=eq\f(1,1+eq\f(1,n))=eq\f(1,1+n)用遞推法解數學問題時，先嘗試找到解題方法的某種規(guī)律或法則，然后利用這種規(guī)律和法則逐漸推到下去，直到得到正確答案?！?(作用3分)19.

一個郵遞員投送信件的街道如圖14-1，圖上數字表示各段街道的千米數．他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局．問走什么樣的路線最合理，全程要走多少千米？分析：最合理的路線就是選擇最短路線．圖中有很多路線，到底走哪一條路線最短呢？自然是能不重復走遍所有街道，最后回到郵局．因此這個問題就變成能否一筆畫出這個圖形，最后回到起點的“一筆畫”問題．所謂一筆畫，就是從圖形上的某點出發(fā)，筆不離開紙，而且每條線都只畫一次不準重復。我們把一個圖形中與偶數條線相連接的點叫做偶點，把與奇數條線相連接的點叫做奇點．圖141中A、B、G、I都是偶點，其余的點均為奇點。根據一筆畫原理，可以判定出圖141不是一筆畫圖形，因為這個圖形奇點的個數超過兩個。顯然這個圖形不能一筆畫出，但我們可以將這個圖形轉化成一筆畫圖形。此題要求郵遞員從郵局出發(fā)，最后回到郵局。按一筆畫的原理，只有圖形中的點全部是偶點時，才能從起點出發(fā)，最后又回到起點。圖141中共有10個奇點，顯然郵遞員要不重復走遍所有的街道是不可能的。為使郵遞員從郵局出發(fā)，最后仍回到郵局，必須使10個奇點都變?yōu)榕键c，這就需要在每兩個奇點之間添加一條線，使全部的奇點變?yōu)榕键c。在實際問題中，就是郵遞員在哪些街道上要重復走，由于各段街道的路程不同，究竟郵遞員在哪些街道重復走，能使投郵路線最合理。當然必是重復走的路程最短，總路程才能最短。要達到這一點，連線時必須做到以下兩點：（1）連線不能出現重迭；（2）在每一個首尾相接的封閉圖上，連線的長度總和不能超過總封閉圖的長的一半。按照上面兩點，這個題最佳連線如圖142所示虛線．解：根據圖142，將10個奇點全變?yōu)榕键c，且相應的投遞路線為：B（郵局）→N→A→I→H→J→F→G→H→J→K→E→F→E→D→L→K→L→M→N→M→C→D→C→B．這條路線最合理（走法不唯一），全程長為：（1+0.5+2+1+0.5）×4+2×6+1×2=34（千米）評分標準:1.解答思路清晰,有條理，答案正確，給滿分;2.只有答案，沒有分析過程，或者分析過程不完整，思路混亂，酌情給分。20、簡答題：數學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應注重哪幾個方面的問題？答案：數學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)應注重四個方面的問題：在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設法引起學生的興趣，并且積極提出問題來參與數學的教學活動。在數學知識和方法的儲備方面，使學生根據自己的理解主動地掌握數學的知識和方法。在數學思維方式方面，由于邏輯思維是數學知識和理論的主要表現形式，因此應當格外注重非邏輯思維的培養(yǎng)。在具體創(chuàng)新思維的方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經有很多成熟的廣泛運用的方法，所以在數學教學中應當有意識地學習或運用它們，使之與數學某些具體的問題相結合。21、已知集合A=為實數，B=已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若為實數，（），則=B.C.1D.2解：(1+)/3=2/4=設b>0，數列}滿足a1=b,求數列的通項公式；證明：對于一切正整數n，2ab+122、論述題：結合具體小學數學實驗案例說明數學實驗中的數學思維方法。（15分）舉例：（5分）上小學數學《分類》課程時，將一個玩具包，一個文具包、一個服裝鞋帽包和一大堆物品放在講桌上，讓學生把這些物品分成上面的三類，放在包里。學生爭著上臺分類，有的是先把玩具找出來，再找文具，最后找服裝鞋帽；有的是順著一個一個地分……學生在整理房間的模擬活動中體會到了分類的含義和方法，能按給定的標準進行分類和整理，學會了怎樣整理房間。（舉例非常合理且與數學實驗有關，語言簡潔給5分，舉例較合理給3分，不合理且與數學實驗無關不給分，其他可酌情給分）（2）數學實驗與數學思維的關系：（5分）從數學實驗方法的層面分析，數學實驗主要用于：（1）發(fā)現和總結數學規(guī)律；（2）驗證和檢驗數學問題；（3）應用和解決數學建模問題。在這一過程中，前兩項主要是掌握數學的思想、方法和規(guī)律，最后一項是和數學建模問題結合到了一起。由此可以認為，（4）數學實驗方法既是一個認識、熟悉和理解數學內在思維方式的過程，（5）又是一個與數學建模相同的運用數學思維的過程。（答出橫線處的5個要點，給5分，每個要點1分）（3）例子與理論知識的聯系：（5分）就像前面的例子，學生在分類實驗中通過動手實驗對于分類這一知識點有了更直觀的認識，學生更好的接受了這一知識點，掌握了這一數學規(guī)律，同時在這一過程中也養(yǎng)成了驗證與檢驗數學問題的數學思維，有效的促進了學生數學問題解決能力的養(yǎng)成，更好的培養(yǎng)了學生的數學情感。（例子與理論知識有緊密聯系給5分，否則可酌情扣分。）23、簡答題：用RMI方法試證三角形ABC的三條高線共點（要求寫出解題思路）（12分）解：解題思路：利用坐標法將幾何問題映射為代數問題。（2分）以BC為x軸，以BC邊上的高AD為y軸建立坐標系。（1分）不失一般性，A、B、C三點的坐標分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），依解析幾何知識得到三角形ABC三條邊所在直線的斜率分別為：kBC=0，kCA=—a/c，kBA=—a/b。（1分）三條高所在直線的方程分別是：AD：x=0（1分）BE：cx—ay—bc=0（1分）CF：bx—ay—bc=0（1分）解方程組，顯然三個方程有公共解：x=0，y=—bc/a。（2分）由代數結論可獲得幾何解釋，即三角形ABC三條高共點。（2分）24、論述題：化歸法的核心思想是什么？并舉出小學解決數學問題中的一個問題加以簡單說明？答：化歸法的核心思想是指對問題的轉換，一個問題的處理或者一個具體數學問題的解決都可以有不同的方法，恰到好處地運用化歸的原理把問題給予適當的處理，就是掌握了化歸法的核心思想。比如說：小學數學問題中，求圓的面積公式？直接解決是很困難的，在教學中老師可以引導學生，把求圓的面積公式轉化為學生已熟悉或已解決的長方形的面積公式，沿著這樣的一個思維方向，就會把一個具體問題轉為了一個可以解決或容易解決的數學形式。（評分標準：核心思想的大致意思對，且舉得例子符合該思想，并加以恰當的分析，就可以滿分了。）25、已知函數f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab,當x∈(-3,2)時,f(x)＞0,當x∈(－∞,-3)∪(2,＋∞)時,,f(x)＜0.(15分)(1)求f(x)在[0,1]上的值域(7分)(2)若ax^2+bx+c≤0的解集為R,求實數c的取值范圍.(8分)解析：由題設可知：-3，2為函數f(x)=ax^2+(b-8)x-a-ab的兩個零點，即x=-3，x=2是一元二次方程：ax^2+(b-8)x-a-ab=0的兩根，所以-3+2=-(b-8)/a，-3*2=(-a-ab)/a，解得：a=-3，b=5。-----------------------------------------------------(3分)函數f(x)=-3x^2-3x+18。(1)，f(x)=-3x^2-3x+18=-3(x+1/2)^2+75/4，函數f(x)在(-無窮，-1/2)上單調遞增，在(-1/2，+無窮)單調遞減，且f(0)=18，f(1)=12。所以f(x)在[0,1]上的值域為：[12，18]；-------------------------------(4分)(2)，由-3x^2+5x+c<=0，得：c<=3x^2-5x=3(x-5/6)^2-25/12-----------------------------------(5分)不等式的解集為R，則：c<=-25/12。故實數c的取值范圍為：c<=-25/12。-------------------------------(3分)26、論述題：一項工程，由甲隊單獨做12天可以完成，甲隊做了3天另有任務撤了，余下的工程由乙隊做15天完成，乙隊單獨完成這項工程需要多少天？針對此題，學生給出以下兩種解法：解法一：1÷[(1-1/12×3）÷15]=20(天）解法二：15÷(1-1/12×3）=20(天）請針對以上解法分別說出他們的解題思路。標準答案：思路一：（針對解法一）從工程問題（1分）來考慮，根據“工作量=工作效率×工作時間”（2分），把工程看做“1”（1分），先求出乙隊的工作效率[(1-1/12×3）÷15]（2分），進而就可以求出乙隊單獨完成的時間（1分）。思路二：（針對解法二）從分數應用題的角度（2分）來考慮，乙隊工作效率不變（1分），工作時間與工作量成正比（1分），因為乙隊15天完成了全工程的(1-1/12×3