等腰三角形1.兩直線被第三條直線所截,如果________相等,那么這兩條直線平行;2.兩條平行線被第三條直線所截,________相等;3.____________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SAS）4.____________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（ASA）5._____對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;（SSS）

你能證明下面的推論嗎？推論兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（AAS）耐心填一填，一錘定音！基本事實(shí):同位角同位角兩邊及其夾角兩角及其夾邊三邊用心想一想，馬到功成

推論兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（AAS）已知：如圖,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F（等量代換）∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）FEDCBA議一議,做一做(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?盡可能回憶出來.(2)你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?如圖，先自己折紙觀察探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再小組交流，互相彌補(bǔ)不足.→→DCBADCBAD(C)BA定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(等邊對等角)已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：取BC的中點(diǎn)D,連接AD.在△ABD和△ACD中∵AB=AC,BD=CD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）CBAD證法一:等腰三角形的性質(zhì)一題多解等腰三角形的性質(zhì)已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：作△ABC頂角∠A的角平分線AD.在△ABD和△ACD中∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴△ABD≌△ACD(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）CBAD一題多解證法二:定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(等邊對等角)等腰三角形的性質(zhì)已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：在△ABC和△ACB中∵AB=AC,∠A=∠A,AC=AB,∴△ABC≌△ACB(SAS)∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）CBA一題多解證法三:點(diǎn)撥：此題還有多種證法，不論怎樣證，依據(jù)都是全等的基本性質(zhì)。定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(等邊對等角)想一想CBAD

在上面的圖形中,線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?

推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.(三線合一)1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等；2.等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合；

等腰三角形的性質(zhì)2.如圖,在△ABD中,C是BD上的一點(diǎn)，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度數(shù).大膽嘗試，練一練！解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．1.通過折紙活動獲得三個(gè)定理，均給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據(jù)。2.體會了證明一個(gè)命題的嚴(yán)格的要求，體會了證明的必要性。課堂小結(jié),暢談收獲：等腰三角形(2)三角形的證明想一想,做一做在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?作圖觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)：等腰三角形兩底角的平分線相等；兩腰上的高、中線也分別相等．我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺不可靠．這就需要以公理和已證明的定理為基礎(chǔ)去證明它，讓人們堅(jiān)定不移地去承認(rèn)它，相信它．下面我們就來證明上面提到的線段中的一種：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.用心想一想，馬到功成21EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．例1.證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.用心想一想，馬到功成43EDCBA求證：BD=CE．一題多解證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．1.證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA證明：∵AB=AC，BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ADB＝∠AEC，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個(gè)三角形的全等．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個(gè)三角形的全等．證明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中線，AB＝AC，∴AE=AD，在△ABD和△ACE中，AE=AD，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE．

剛才，我們只是發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中比較特殊的線段(角平分線、中線、高)相等，還有其他的結(jié)論嗎?你能從上述證明的過程中得到什么啟示?把腰二等分的線段相等，把底角二等分的線段相等．如果是三等分、四等分……結(jié)果如何呢?想一想,做一做議一議1．在等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE嗎?如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結(jié)論?小結(jié)

（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE.

簡述為：（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.1.求證：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.已知：如圖，在△ABC中，AB=BC=AC。求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對等角).同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）.又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A=∠B=∠C＝60°.大膽嘗試，練一練！CBA隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形,求證:AE=CDABCDE證明:∵△ABC和△BDE都是等邊三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴△ABE≌△CBD∴AE=CD課時(shí)小結(jié)

1.等腰三角形中還有那些相等的線段？2.等邊三角形有哪些性質(zhì)？3.本節(jié)課你學(xué)到的探索問題的方法是什么？等腰三角形(3)三角形的證明想一想問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？問題2.我們是如何證明上述定理的？問題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等？

前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個(gè)底角相等，反過來，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?議一議已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC．證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．則∠ADB=∠ADC．∵在△ABD與△ACD中，∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．CBA分析：只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了.作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個(gè)全等的三角形．定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.(等角對等邊.)等腰三角形的判定定理：在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對等邊）.幾何的三種語言ACB練習(xí)1如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個(gè)等腰三角形？找出其中的一個(gè)等腰三角形給予證明．ABCD隨堂練習(xí)證明：答案不唯一，可找一個(gè)等腰△ABC．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。練習(xí)2：已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．隨堂練習(xí)解：∵AD∥BC，（已知）∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠C，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠B=∠C，∴AB=AC．（等角對等邊）想一想小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理過程嗎?CBA再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法.假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°“∠A+∠B=180°”與“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有兩個(gè)直角．上面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?在上面的證法中，都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．我們把它叫做反證法．

隋堂練習(xí)11.用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角已知：△ABC．求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個(gè)角是直角．證明：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，設(shè)∠A=∠B=90°，則∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角．活動與探究1.如圖，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB=12，AC=18，求△AMN的周長.

分析：要求△AMN的周長，則需求出AM+MN+AN，而這三條邊都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我們聯(lián)想到△AMN的周長需轉(zhuǎn)化成與AB、AC有關(guān)系的形式．而已知中的角平分線和平行線告訴我們圖形中有等腰三角形出現(xiàn)，因此，找到問題的突破口．NMCBAD例1.證明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數(shù),且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于1/5.用反證法來證:證明:假設(shè)這五個(gè)數(shù)全部小于1/5,那么這五個(gè)數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個(gè)數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假設(shè)不成立,原命題成立,即這五個(gè)數(shù)中至少有下個(gè)大于或等于1/5.2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)?36°90°108°活動與探究（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．（4）舉例談?wù)動梅醋C法說理的基本思路課堂小結(jié)等腰三角形(4)三角形的證明

(1)一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成為等邊三角形?(2)你認(rèn)為有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流．想一想

分析：有一個(gè)角是60°，在等腰三角形中有兩種情況：(1)這個(gè)角是底角；(2)這個(gè)角是頂角．定理：有一個(gè)角是60°.的等腰三角形是等邊

三角形．等邊三角形的判定定理：求證：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(等角對等邊)．

又∵∠A=∠C，∴BC=AB(等角對等邊)．∴AB=BC=CA，

即△ABC是等邊三角形．

隨堂練習(xí)CBA性質(zhì)判定的條件等腰三角形(含等邊三角形)等邊對等角等角對等邊“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是60°三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)和判定：

用含30°角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?說說你的理由．

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系?你能證明你的結(jié)論嗎?做一做D(1)CBA(2)BCAD

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．CBAD證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD．

∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)．∴BC=BD=AB．等腰三角形的底角為15°腰長為2a，求腰上的高．

[例題]已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；求：CD的長.CBAD解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．