利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第1頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r、q

、z相對(duì)應(yīng)，其中P(r,q)為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q

、z的變化范圍為：0

r<，0

q

2

，<z<．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq三個(gè)數(shù)r、q

、z

叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)．第2頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日rr0一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分坐標(biāo)面rr0，q

q0，zz0的意義：xyzOq

q0zz0r0q0z0

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r、q

、z相對(duì)應(yīng)，其中P(r,q)為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q

、z的變化范圍為：0

r<，0

q

2

，<z<．三個(gè)數(shù)r、q

、z

叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)．第3頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)系中的體積元素：

dv

rdrdqdz．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq第4頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日x2y242解閉區(qū)域W可表示為：r2z4，0r2，0q2．于是zx2y2或zr24xyzO例1第5頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分這樣的三個(gè)數(shù)r、j

、q

叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)．設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r

、j

、q相對(duì)應(yīng)，其中r

為原點(diǎn)O

與點(diǎn)M

間的距離，j為有向線段與z

軸正向所夾的角，q

為從正z

軸來(lái)看自x

軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段的角．這里r

、j

、q

的變化范圍為

0

r<，0

j<，0q

2．xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj第6頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日坐標(biāo)面rr0，jj0，q

q0的意義：xyzOrqj

第7頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：球面坐標(biāo)系中的體積元素：

dvr2sinj

drdjdq

．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj第8頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例2

求半徑為a

的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．xyzOa2a第9頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例2

求半徑為a

的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．解該立體所占區(qū)域W可表示為：0r2acosj

，0ja

，0q2．于是所求立體的體積為xyzOa2arj．第10頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例3

求均勻半球體的重心．

解取半球體的對(duì)稱(chēng)軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a．a(chǎn)xyzOqjr顯然，重心在z

軸上，故`x

`y

0．第11頁(yè)，共12頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a，例4

求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一