多屬性決策問題即：有限方案多目標決策問題TOC\o"1-5"\h\z主要參考文獻：68,112,152§10.1概述{MAMCMO一、決策矩陣（屬性矩陣、屬性值表）方案集X={,,x}1,2m方案x屬性向量Y=3，…,y}iii1in當目標函數(shù)為f時，y=f（x）jijji各方屬性值可列成表（或稱為決策矩陣）:y1y111??????yi1??xymm1y1jyijymjy1nyinymn例：學(xué)校擴建學(xué)校序號費用（萬兀）平均就讀距離km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例：表10.1研究生院試評估部分原始數(shù)據(jù)人均專著(本/人)七生師比y2科研經(jīng)費(萬元/年)y3逾期畢業(yè)率(%)七10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理(又稱規(guī)范化)主要有如下三種作用。首先，屬性值有多種類型。有些指標屬性值越大越好，如科研成果數(shù)、科研經(jīng)費等是效益型；有些指標值越小越好，稱作成本型。另有一些指標屬性值既非效益型又非成本型。例如研究生院生師比，一個指導(dǎo)教師指導(dǎo)4至6名研究生既可保證教師滿工作量，也能使導(dǎo)師有充分科研時間和對研究生指導(dǎo)時間，生師比值過高，學(xué)生培養(yǎng)質(zhì)量難以保證；比值過低；教師工作量不飽滿。這幾類屬性放在同一表中不便于直接從數(shù)值大小來判斷方案優(yōu)劣，因此需要對屬性表中數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，使表中任一屬性下性能越優(yōu)值在變換后屬性表中值越大。其次是非量綱化。多目標評估困難之一是指標間不可公度，即在屬性值表中每一列數(shù)具有不同單位(量綱)。即使對同一屬性，采用不同計量單位，表中數(shù)值也就不同。在用各種多目標評估方法進行評價時，需要排除量綱選用對評估結(jié)果影響，這就是非量綱化，亦即設(shè)法消去(而不是簡單刪去)量綱，僅用數(shù)值大小來反映屬性值優(yōu)劣。第三是歸一化。原屬性值表中不同指標屬性值數(shù)值大小差別很大，如總經(jīng)費即使以萬元為單位，其數(shù)量級往往在千(103)、萬(104)間，而生均在學(xué)期間發(fā)表論文、專著數(shù)量、生均獲獎成果數(shù)量級在個位(100)或小數(shù)(101)之間，為了直觀，更為了便于采用各種多目標評估方法進行比較，需要把屬性值表中數(shù)值歸一化，即把表中數(shù)均變換到［0,1］區(qū)間上。此外，還可在數(shù)據(jù)預(yù)處理時用非線性變換或其他辦法來解決或部分解決目標間不完全補償性。常用數(shù)據(jù)預(yù)處理方法有下列幾種。(1)線性變換效益型屬性：z=yIymax(10-1)變換后屬性值最差不為0,最佳為1成本型屬性z=1-y,,/ymax(10-2)變換后屬性值最佳不為1,最差為0或z^?=ymin/y^(10-2’)變換后屬性值最差不為0,最佳為1,且是非線性變換表10.2表10.1經(jīng)線性變換后屬性值z1(y1)z3(y3)z4(bz4(y4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000(2)標準0-1變換效益型：z=yj-ymin(10.3)ijymax—_Vmin成本型：z=ym二y(10.4)特點：每一屬性廠最佳佳值為1,最差值為0,而且變換后差值是線性.表10.3表10.1經(jīng)標準0-1變換后屬性值z1(y1)z3(今z4(b10.00001.00000.000020.03700.78800.7142

設(shè)給定最優(yōu)屬性區(qū)間為[yo,y*]設(shè)給定最優(yōu)屬性區(qū)間為[yo,y*]jjy)/(yoijjzij11若yVy0ijj若y0WyWy*jijj(10.5)生師比y2z2151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000ij其中，yj表10.4’為無法容忍下限，y「'為無法容忍上限。表10.1之屬性2數(shù)據(jù)處理(4)向量規(guī)范化_z^=y/『y2ij其中，yj表10.4特點：規(guī)范化后！各方案同一屬性值平方和為1；無論成本型或效益型，從屬性值大小上無法分辨。常用于計算各方案與某種虛擬方案(如理想點或負理想點)歐氏距離場合。表中最右一列是屬性2經(jīng)式(10.5)變換后值再向量規(guī)范化結(jié)果.表10.5表10.1經(jīng)向量規(guī)范化后屬性值z1(y1)z3(y3)z4(y4)z2(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000原始數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理z=yi"yj(1.00-M)+M(10.7)其中，；=戶=：堰各方案屬性j均值，m為方案數(shù)，M取值可在0.5TOC\o"1-5"\h\z-0.75之間.'m1"式(10.7)可以有多種變形，例如：z'=01(y-y_)/。+0.75(10.7，)ijij其中b.為屬性j均方差，當高端均方差大于2.5°.時變換后值均為1.00.這種變換結(jié)果與專家打分結(jié)果比較吻合.7表10.6表10.1之屬性1用不同方法處理結(jié)果比較1人均專著(本/人)y!線性變換用10.7式(M=0.7)用10.7式10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000三、方案篩選優(yōu)選法(Dominance)淘汰劣解滿意值法(邏輯乘即與門Conjunctive)規(guī)定y0j=1,2,…,n(切除值)j當y.Ny0j=1且j=2且-\j=n均滿足時，方案x.被接受主要缺點：目標間不能補償，例研究生錄取時教委規(guī)定單科分數(shù)線.邏輯和法(Disjunctive或門)規(guī)定y*j=1,2，…,n若yNy*j=1或2或???n時方案尤被接受。往往jijji作為上法補充.這些方法用于初始方案過預(yù)選，不能用于方案排序ordering—次序，優(yōu)先序也不能用于方案分等Ranking一量化優(yōu)先程度.§10.2加權(quán)和法一、引言多目標決策特點：目標間矛盾性，各屬性值不可公度.這二難點不可公度雖可通過屬性矩陣規(guī)范化得到部分解決，但前述規(guī)范化過程不能反映目標重要性權(quán)：目標重要性度量，即衡量目標重要性手段.權(quán)三重含義：①決策人對目標重視程度；各目標屬性值差異程度；各目標屬性值可靠程度；權(quán)應(yīng)綜合反映三種因素作用.通過權(quán)，將多目標決策問題化為單目標求解.二、字典序法與一般加權(quán)和法字典序法W》w…時加權(quán)和法即某個目標特別重要，實質(zhì)上是單目標決策，最重要目標屬性值相同時，再比較第二重要屬性，如此繼續(xù).一般加權(quán)和法加權(quán)和法求解步驟很簡單：屬性表規(guī)范化，得zi=1,…，m;j=1,…，n.確定各指標權(quán)系數(shù)Wj=1,…，n.根據(jù)指標c"w「大小排出方案i（i=1,…，m）優(yōu)劣加權(quán)和法，’包括評分打點，由于其簡單、明了（直觀），是人們最經(jīng)常使用多目標評價方法。采用加權(quán)和法關(guān)鍵在于確定指標體系并設(shè)定各最低層指標權(quán)系數(shù)：有了指標體系就可以設(shè)法利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或?qū)＜掖蚍纸o出屬性值表；有了權(quán)系數(shù)，具體計算和排序就十分簡單了。正因為此，以往各種實際評估過程中總要把相當大精力和時間用在確定指標體系和設(shè)定權(quán)上。加權(quán)和法常常被人們不適當?shù)厥褂?，這是因為許多人并不清楚：使用加權(quán)和法意味著承認如下假設(shè)：指標體系為樹狀結(jié)構(gòu)，即每個下級指標只與一個上級指標相關(guān)聯(lián);每個屬性邊際價值是線性（優(yōu)劣與屬性值大小成比例），每兩個屬性都是相互價值獨立；屬性間完全可補償性：一個方案某屬性無論多差都可用其他屬性來補償。事實上，這些假設(shè)往往都不成立。首先，指標體系通常是網(wǎng)狀，即至少有一個下級指標同時與二個或二個以上上級指標相關(guān)聯(lián)，也就是說某個屬性可同時反映兩個上級目標達到程度。其次，屬性邊際價值線性常常是局部，甚至有最優(yōu)值為給定區(qū)間或點情況存在；屬性間價值獨立性條件也極難滿足，至少是極難驗證其滿足。至于屬性間可補償性通常只是部分、有條件。因此，使用加權(quán)和法要十分小心。不過，對網(wǎng)狀指標體系，可以用層次分析法中權(quán)重設(shè)定和網(wǎng)狀指標權(quán)重遞推法設(shè)定最低層權(quán)重（見下節(jié)）。當屬性邊際價值函數(shù)為非線性時可以用適當數(shù)學(xué)方法進行數(shù)據(jù)預(yù)處理；屬性間不完全補償性也可通過適當處理，例如用邏輯乘法預(yù)先刪除具有不可補償屬性方案等。只要認識到加權(quán)和法本身存在種種局限性并采取相應(yīng)補救措施，則加權(quán)和法仍不失為一種簡明而有效多目標評價方法。三、確定權(quán)常用方法最小平方誤差法見教材第174頁.與主觀慨率中方法類似.本征向量法w/ww/w乙…「w/ww11121n1w/ww/w.?w/ww21222n2

Aw=w/Ww/W…w/wAw=nw即(A-nI)w=0如A估計不夠準確，則A中元素小攝動意味本征值攝動，從而Aw=人w由此可求得w.四、層次分析法AHP由決策人利用P177之表10.2構(gòu)造矩陣A;用本征向量法求人w矩陣A一致性檢驗：一致性指標(ConsistenceIndex)CI=*max一"n-1n3456789n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.49*03.1164.075.456.627.798.9910.1611.34max--------一致性比率(ConsistanceRate)CR=CI/RICR〉0.1(即人大于同階矩陣相應(yīng)入)時不能通過一致性檢驗,應(yīng)該重max0新估計矩陣A.CRW0.1通過一致性檢驗，求得w有效.方案排序.各方案在各目標下屬性值已知時，可以根據(jù)指標c=習(xí)i出方案i(i=1,…，m)優(yōu)劣..各方案在各目標下屬性值難以量化時，可以通過在各目標下優(yōu)劣兩兩比較(仍利用表10.2)求得每個目標下各方案權(quán)，再計算各方案總權(quán)重，根據(jù)總權(quán)重大小排出方案優(yōu)劣(參見教材之182頁例10.5).五、最低層目標權(quán)重設(shè)定網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)(見教材§10.5.2,第181-182頁)有了最第層目標權(quán)重we設(shè)：最第層目標規(guī)范化了屬性值為％,則c.=妙.+1弓可用作評價方案優(yōu)劣依據(jù)，c..越大方案i越優(yōu)."’尸1'"樹狀結(jié)構(gòu)：'當最低層目標過多，不便直接設(shè)定時，可以分組自上而下地逐步設(shè)定?！?0.3TOPSIS法步驟一.用向量規(guī)法求得規(guī)范決策矩陣Z二步驟二.構(gòu)成加權(quán)規(guī)范陣Xw?步驟三.確定理想和負理想解「maxx效益型屬性理想解x;=."〔minx‘.成本型屬性,minx廠效益型屬性負理想解x0=maxxj.?maxx成本型屬性步驟四.計算各方案到理想解與負理想解距離x-x*)2?jj到理想解距離d,=廣(x..-x*)2到負理想解距離do='件(x..-xo)2步驟五.計算各方案與理想解接近程度c、』、0+d;)第六步.按c:由大到小排列方案優(yōu)劣次序§10.4基于相對位置方案排對法

優(yōu)點:需要信息少，不必事先給出決策矩陣只需給出各目標下方案間優(yōu)先序（0-1矩陣或指向圖）第一步:確定各方案兩兩間總體優(yōu)先關(guān)系設(shè)定各目標權(quán)w.j=1,2,???n且令￡w.=1對每一目標｝進行方案成對比較，給出優(yōu)先關(guān)系矩陣或指向圖xx)j

xx)j

x?x)j

記作w(xx)x第jxx)j

xx)j

x?x)j

記作w(xx):與x^第j個屬性值無差異或不可比記作（把xxk各目標權(quán)相加記作w(x?x]記作w(xx]把x?x記作w(x?x]記作w(xx]計算方案優(yōu)劣指示值w(x。x)+bw(xnx)A(x,x)=i匕i匕bikw(x兀x)+bw(xnx)k判定方案總體優(yōu)劣則xxikk判定方案總體優(yōu)劣則xxikxkx?xik〉A(chǔ)V1/A其它選定閥值A(chǔ)N〉A(chǔ)V1/A其它第二步計算排隊指標值比x優(yōu)方案個數(shù)記為，iqi比x差方案個數(shù)記為p排隊指標值：V=p-q第三步按Vi大小排定方案‘優(yōu)劣次序缺點：因無決策矩陣，不能反映優(yōu)先程度例：y1y2x11001x2—11.01設(shè)w=0.4w2=0.6A=1.2。=0A3^X）=1.5〉A(chǔ)所以xx,這與加權(quán)和法結(jié)果大相徑庭b2121..?凡是屬性值均能定量來表示，不宜用此法§10.5ELECTRE法國人：B.Roy提出一、級別高于關(guān)系（OutrankingRelation）定義給定決策人偏好次序和屬性矩陣｛y｝當人們有理由相信x’優(yōu)于x”，ij稱x’級別高于x”，記作x’Sx”Notes:決策人愿望承擔x’x”所產(chǎn)生風險；理由：同基于相對位置方案排隊法定義：（P193定義10.2）TOC\o"1-5"\h\z給定方案集X,x’，x”EX，當且僅當X中存在u,u，…,u;v,v，…,12j12v;jN1,kN1,使x’Sx”（或者x’Su,uSu，…，uSx”）且x”Sx’k112j（或者x”SV,vSV，…，vSx’）則稱x”與x’級別無差異，記作x’§x”。112k二、級別高于關(guān)系性質(zhì)：弱傳遞性：x’SX0且y（X0）Ny（x”）x’Sx”或y（x’）My（x「）且xSx”x’Sx”自反性XSX*XSXS是對稱允許不可比性三、級別高于關(guān)系構(gòu)造——以決策矩陣為基礎(chǔ)（不作規(guī)范化）第一步：設(shè)定各屬性權(quán)w第二步：進行和諧性檢驗（ConcordanceTest）構(gòu)造指示集（屬性序號分類）

不失一般性，假設(shè)各屬性值愈大愈優(yōu).J+(X點)={jI1WjWn,y(x)>y(尤)}ikjijkJ=(X點)={jI1WjWn,y(X)=y(X)}ikjijkik計算和諧性指數(shù)=(Zw+Zw-ZJ+j/ZJ=j_w1w3.選定J5<aSC1，若I.Nik計算和諧性指數(shù)=(Zw+Zw-ZJ+j/ZJ=j_w1w3.選定J5<aSC1，若I.N1,I*Naa愈大2.)/IikIik級別高于關(guān)系要求越高第三步進行非不和諧性檢驗(non-discordancetest)對各屬性間補償加以限制規(guī)定djT,…,n若對任一jy(x)-y(x)Nd則不承認xSXjkjijik第四步確定級別高于關(guān)系若IN1,INa且對所有jy(X)-y(X)Wdikikjkjij則XSXik四、級別高于關(guān)系使用通過方案成對比較確定級別高于關(guān)系后，找出最小優(yōu)勢子集。定義i,X1UX若對每個x'EX存在X*EX使X*Sx’則稱X為最小優(yōu)勢子集。'111ii,各方案間不存在級別高于關(guān)系最小優(yōu)勢子集稱為核若X1足夠小，決策人直接