第3節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞考綱展示.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義..理解全稱量詞與存在量詞的意義..能正確地對含有一個量詞的命題進行否定..二:儂*必備知識一知識梳理.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“且”“或”“非”.(2)命題pAq,pVq,的真假判斷.全稱量詞與存在量詞PqpAqpVq—'P真真真真假真假假真假真假真真假假假假(1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫作全稱量詞，用符號表示.⑵存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫作存在量詞,用符號ar表示.⑵全稱命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題.含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義,利用函數(shù)的最值解決.[對點訓(xùn)練4](1)已知命題“任意xeR,x2-5x+^a>0"的否定為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是;?⑵已知a￡R,命題p:任意x￡[1,2],x2-a^0,命題q:存在x()￡R,Xq+2axo+2_a=O.若命題P且q為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是?解析：(1)由命題“任意xeR,x2-5x+Ta>0”的否定為假命題,得“任意xeR,x2-5x+竺a>0”為真命題.故△<0,即(-5)-4X-a<0,解得a>-.所以aS&+8).2 2 6 6(2)若命題p是真命題,則有aWx?對xe[1,2]恒成立,所以aWl;若命題q是真命題,則關(guān)于x的方程x，2ax+2-a=0有實根，△=(2a)?-4(2-a)20,解得aW-2或a^l.因為命題p且q為真命題,所以p,q都是真命題.所以aW-2或a=l.答案：⑴(+8)⑵(-8,—2]U{l}6?二備選例題1?.[例1]己知命題p:存在noWR,使得f(x)=n()x詬+2幾。是幕函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞增；命題q：“存在x°￡R,詔+2>3x?！钡姆穸ㄊ恰叭我鈞￡R,x2+2<3x”.則下列命題為真命題的是()A.p且qB.—ip且qC.p且一>qD.—?p且一《q解析：當n=l時,f(x)=x：3為基函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞增,所以p為真命題，「p為假命題；“存在x°￡R，詔+2〉3x?！钡姆穸ㄊ恰叭我鈞￡R,x2+2W3x”,所以q為假命題，->q為真命題.所以P且q,—'P且q,-ip且「q均為假命題,P且「q為真命題.故選C.[例2]命題“任意xCR,存在n°￡N：使得no2x2”的否定形式是( )A.任意x￡R,存在no￡N：使得n0<x2B.任意x￡R,任意n￡N*,使得n<x2C.存在xoeR,存在n°￡N*,使得水盼D.存在x0￡R，任意n￡N*,使得n〈就解析：“任意”改為“存在”，“存在”改為“任意”，“n2x2”的否定為“n〈x2”，所以原命題的否定形式為“存在Xo《R,任意n￡N*,使得水田”.故選D.[例3](2021?安徽第三次模擬)已知函數(shù)f(x)=["十0'"一/'若命題”？x。Uogax,%>2,6R,f(Xo)〈l”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是()A.[|,2]B.(1,2]C.(1,V2]D.[V2,|]解析：由題意知a>0,且aWl,命題"?x￡R,f(x)Nl”為真命題.當xW2時,f(x)=—x+a,易知f(x)在(一,2]上單調(diào)遞減,其最小值為弓+a,則由4 2f(X)21恒成立得-3ael,即a若;當x>2時，f(x)=logax21恒成立,則a>l,此時函數(shù)f(x)=logaX為增函數(shù),故loga2^l=log8a,得l<aW2.綜上,|WaW2,即實數(shù)a的取值范圍是[|,2].故選A.[例4]已知f(x)=ln(x2+l),g(x)=( -m,若任意x￡[0,3],存在[1,2],使得f(x.)Ng(x“，則實數(shù)m的取值范圍是.?解析：當x.e[0,3]時，f區(qū))￡[0,In10],當X2W[1,2]時,g(x2)e[i-m,.因為任意x￡[0,3],存在x2G[1,2],使得f(x)2g(X。，所以只需02；m,解得m2；.4 4答案：［g+8)4夕重要結(jié)論結(jié)構(gòu)對M中的任意一個x,有p(x)成立存在M中的一個Xo,使p(Xo)成立簡記?x￡M,p(x)?x0￡M,p(x(>)否定?XoM,—ip(x0)?xWM,—ip(x)(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對應(yīng)集合運算中的“并”“交”“補”，可借助集合運算處理含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.(2)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣:pVq一見真即真,p/\q一見假即假,p與「pf真假相反.(3)含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.⑷“pVq”的否定是“|麗Hq”；"p/W’的否定是"|小|卡口一基礎(chǔ)門測i.判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“義”)⑴命題“5>6或5>2”是真命題.( )⑵命題p且q為假命題,則命題p,q都是假命題.()(3)若命題p,Q至少有一個是真命題,則p或q是真命題.()(4)已知命題p:存在n°￡N,2no>1000,則一ip:存在外金凡？71。或1000.( )答案：⑴J⑵義(3)V⑷義2.命題"?x￡R,x2+x20”的否定是(B)A.?Xo《R,Xq+xo^OB.?x0^R,%o+xo<0C.?xER,x2+x^0D.?x￡R,x2+x<0解析：由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確..命題p:若sinx>siny,則x>y;命題q:x?+y222xy,下列命題為假命題的是(B)A.pVqB.pB.pAqC.q D.—ip解析：取尸警時,可知命題p是假命題；由(x-y)220恒成立,可知命題q是真3 6命題.故「P為真命題,PVq是真命題,pAq是假命題.故選B..下列四個命題：「1：對任意*￡兄都有2x>0;P2：存在x0￡R,使得瞪+xo+l<O;p：$:對任意xWR,都有sinx<2\Pi：存在XoWR,使得COSXo>Xo+Xo+l.其中的真命題是(D)A.pi,p2B.p2,p3C.p3,PiD.pi,p，!解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易知命題Pi是真命題；由x2+x+l=(x+i)2+^2,知命題P2是假命題；當時，sinx=l,2<2=，此時sinx>2;所以命題p?是假命題；當x=」時，cosx>cos,x2+x+l=(--)2+(--)+1=-,—所以cosx>x"+x+l,所2 62 2 2 424以命題P4是真命題.故選D..若"?xe[4 x+2”為真命題,則實數(shù)m的最大值為 .?43解析:由xe[-屋]，43所以IWtanx+2^2+V3.因為“?x￡[TymWtanx+2”為真命題，43則所以實數(shù)m的最大值為1.答案：1關(guān)鍵能力考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷[例1](1)已知命題P：存在實數(shù)x。,使sinx產(chǎn)”;命題q:任意實數(shù)x,都有x2+x+l>0.給出下列結(jié)論：①命題“P且q”是真命題;②命題“P且「q”是假命題;③命題“-^或4”是真命題;④命題“一^或「4”是假命題，其中正確的是( )A.①②③B.②③C.②④D.③④(2021?江西聯(lián)考)已知命題p:函數(shù)y=2-ax+1(a>0,且aWl)的圖像恒過點(1,2);命題q:若函數(shù)f(x-l)為偶函數(shù),則f(x)的圖像關(guān)于直線x=-l對稱.則下列命題是真命題的是()A.p且qB.p且一C.―'P且q D.―>p且一>q解析：(1)命題P為假命題，命題q為真命題，所以“P且q”是假命題,①錯；"P且「q"是假命題,②正確;命題「P或q是真命題,③正確;④錯誤.所以正確命題有②③.故選B.(2)函數(shù)y=2-ax+1(a>0,且aW1)的圖像可以由函數(shù)尸-翦的圖像先向左平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度得到,而函數(shù)y=-a"的圖像與函數(shù)尸a*的圖像關(guān)于x軸對稱,所以函數(shù)的圖像恒過點(0,-1),則尸2-a'”的圖像恒過點(-1,1),所以命題p為假命題，「P為真命題；因為函數(shù)f(x-1)為偶函數(shù),所以y=f(x-l)的圖像關(guān)于y軸對稱,將函數(shù)y=f(x-1)的圖像向左平移1個單位長度后,可得到函數(shù)y二f(x)的圖像，因此函數(shù)y二f(x)的圖像關(guān)于直線x=-l對稱,所以命題q為真命題，「q為假命題.所以P且q為假命題,P且「q為假命題，「P且q為真命題，-P且「q為假命題.故選C.g反思歸納判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的步驟(1)確定命題的形式.(2)判斷構(gòu)成該命題的兩個命題的真假.⑶根據(jù)“P或q”“P且q””|「卜’的真假性與命題P,q的真假性的關(guān)系作出而[對點訓(xùn)練1](1)已知命題p:函數(shù)y=2*川的圖像關(guān)于直線x=l對稱,q:函數(shù)y=x+工x在(0,+8)上單調(diào)遞增.由它們組成的新命題“pAq”“pVq”“「p”中，真命題有()A.0個B.1個C.2個D.3個⑵給出下列兩個命題，命題p:“x>3”是“x>5”的充分不必要條件，命題q:函數(shù)f(x)=log2(V^T-x)是奇函數(shù).則下列命題是真命題的是()A.pAq B.pV-iqC.pVq D.pA—'q解析：(1)因為尸2”為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=2,的圖像由函數(shù)y二2x的圖像向右平移1個單位長度得到,所以函數(shù)y二2g的圖像關(guān)于直線x=l對稱，命題P是真命題；函數(shù)y=x+^在(0,1)上單調(diào)遞減,所以命題q是假命題；X所以“pAq”是假命題，“pVq”是真命題，“「p”是假命題，真命題有1個.故選B.(2)“x>3”是“x>5”的必要不充分條件，所以命題p是假命題;f(x)的定義域為R,由f(x)=log2(V%24-1-X),得f(-x)=log2(V%2+1+x)=1°g2(^+i-x)=-log2(V%2+l-x)=-f(x).所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以命題q是真命題,所以pVq是真命題.故選C.考點二含有一個量詞的命題角度一含有一個量詞的命題的否定[例2]⑴若命題p:存在xoeR,瑞>1-賄，則命題p的否定為()A.任意x￡R,x3<l-x2B.任意x￡R,xWl-x?C.存在x()WR,%o<l-%oD.存在XoWR,Xq^I-Xq(2)命題”?n￡N*,f(n)WN*且f(n)Wn”的否定形式是( )?neN*,f(n)?N*且f(n)>n?nEN*,f(n)?N*或f(n)>n?n0^N\f(n0)?N*且f(n0)>n0?n0^N\f(n0)?N*或f(n0)>n0解析：(D命題p的否定為“任意xWR.(Wl-x?”,故選B.(2)“？n￡N*”變?yōu)椤?？no￡N*”，“f(n)￡N\&f(n)Wn”的否定是“f(n°)?N*或f(no)>no”.因此原命題的否定是匕n°￡N*,f(n°)?N,f(n°)>n?！?故選D.目反思歸納全稱命題、特稱命題進行否定的步驟(1)改寫量詞:找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.(2)否定結(jié)論:對原命題的結(jié)論進存蒜7[對點訓(xùn)練2](2021?四川成都診斷)命題"?x>0,x2+x+l>0"的否定為()?XoWO,%o+xo+lWO?xW0,x2+x+1^0?x0>0,Xq+xq+I^O?x>0,x2+x+1^0解析："?x>0,x2+x+l>0”的否定為“?x°>0,/+x°+l〈0”.故選C.角度二全稱(特稱)命題的真假判斷[例3]⑴下列命題中，真命題是()?x0^R,sin2—+cos2—=-3 33?xE(0, ,sinx>cosx?Xo￡R,Xq+x0=-2?x￡(0,+8),e'>x+l(2)命題p:存在實數(shù)Xo,使得對任意實數(shù)x,sin(x+x())=-sinx恒成立;q:?a〉O,f(x)=ln"為奇函數(shù).則下列命題是真命題的是()a-xA.pAqB.—>pV—>qC.pA-'qD.―>pAq解析：⑴？x￡R,si樗+cos『l,故A是假命題;O O當x￡(0,3時，sinxWcosx,故B是假命題;4?x￡R,x2+x^-i故C是假命題；4令f(x)=ex-x-l,則f'(x)=ex-l.當xG(0,+8)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),故f(x)>f(0)=0,即ex-x-l>0,也即e、>x+l,即D是真命題.故選D.(2)依題意，對于p,取Xo二冗，對任意實數(shù)x,都有sin(x+ji)=-sinx成立，因此p真，「P假；對于q,函數(shù)f(x)的定義域為(-a,a),且f(-x)+f(x)=ln—+ln竺三Ina+xa-x(—?—)=0,即f(-x)--f(x),函數(shù)f(x)=ln比為奇函數(shù)，因此q真，假.a+xa-x a-x所以pAq為真命題，-pV「q為假命題,pA「q為假命題，-pAq為假命題.故選A..反思歸納⑴判定全稱命題”?x￡M,p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;判定全稱命題為假命題,只需舉一反例.(2)要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個x=x。,使p(x。)成立即可.[對點訓(xùn)練3](2021