高數(shù)二重積分的計(jì)算第1頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積的計(jì)算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則第2頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第3頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.計(jì)算其中D是直線(xiàn)y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則作草圖、選擇類(lèi)型、確定上下限------后積先定限、限內(nèi)化條線(xiàn)第4頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.計(jì)算其中D是拋物線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解1:及直線(xiàn)1第5頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.計(jì)算其中D是拋物線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解2:為計(jì)算簡(jiǎn)便,后對(duì)y積分,及直線(xiàn)則第6頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.計(jì)算其中D是直線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,先對(duì)x積分不行,第7頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四說(shuō)明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創(chuàng)造條件；積分域的劃分，塊數(shù)越少越好第8頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第9頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,第10頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積及射線(xiàn)

=常數(shù),分劃區(qū)域D為在極坐標(biāo)系下,用同心圓

=常數(shù)第11頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)應(yīng)有在內(nèi)取點(diǎn)即第12頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則1、極點(diǎn)在邊界外注意：積分域的邊界曲線(xiàn)用極坐標(biāo)表示如何確定上下限？第13頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、極點(diǎn)在邊界上(1)(2)第14頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、極點(diǎn)在邊界內(nèi)第15頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四何時(shí)選用極坐標(biāo)？積分域D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域被積函數(shù)形式：第16頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.第17頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注:利用例6可得到一個(gè)反常積分公式Rs1s2第18頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

由對(duì)稱(chēng)性可知o第19頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例8:其中D為由圓所圍成的及直線(xiàn)解：平面閉區(qū)域.第20頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例9.交換積分順序提示:積分域如圖第21頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算三重積分第九章第22頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、三重積分的概念

類(lèi)似二重積分解決問(wèn)題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為第23頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義.

設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):下列“乘積和式”極限記作第24頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)第25頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如圖，方法1.投影法第26頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四得第27頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面第28頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.

計(jì)算三重積分解:

第29頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解第30頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第31頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方法2.截面法記作第32頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”注：被積函數(shù)為一元函數(shù)時(shí)，多選用截面法第33頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3.計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“截面法”計(jì)算方便.第34頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié):直角坐標(biāo)系三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)二種方法(包含6種次序)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.第35頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4：設(shè)計(jì)算提示:利用對(duì)稱(chēng)性原式=奇函數(shù)靈活應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性：第36頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5：計(jì)算解：積分域關(guān)于y=x、y=z、x=z平面對(duì)稱(chēng)第37頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.

將用三次積分表示,其中由所提示:六個(gè)平面圍成,第38頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱(chēng)為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面第39頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.第40頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中為由例1.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.第41頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=第42頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解知交線(xiàn)為第43頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第44頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解所圍成的立體如圖，第45頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所圍成立體的投影區(qū)域如圖，第46頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第47頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱(chēng)為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面第48頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.第49頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面第50頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱(chēng)性,所求立體體積為yoz面對(duì)稱(chēng),并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

第51頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第52頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第53頁(yè)，共58頁(yè)，2023年，2月20日，星期四