/第二講不確定性下的期望效用理論確定性條件下的消費與投資盡管考慮了跨時問題,但未來投資收益是完全確定的。未來往往是未知的，現(xiàn)實中更多重要的經(jīng)濟(jì)決策是在不確定環(huán)境下做出的，很難直接運用第一章闡述的效用理論來研究不確定性環(huán)境中的個體選擇，必須建立起一整套基于不確定性的專門理論—-期望效用理論來那就不確定性下的個體最優(yōu)決策行為。我們從一個經(jīng)典的案例開始講起。案例圣·彼得堡悖論圣。彼得堡悖論(SｔPeteｒbｕrgParadox)關(guān)系到經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的一個重要問題:如何對一個含風(fēng)險的賭局進(jìn)行評估？200多年前，瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾.伯努利（DanｉｅlＢｅrnｏuｌli）對該悖論提出了開創(chuàng)性的解，從此創(chuàng)立了效用理論以及期望效用理論.該悖論是丹尼爾。伯努利的表兄尼古拉斯。伯努利于1713年提出來的。１7１3年9月９日，尼古拉斯。伯努利在寫給數(shù)學(xué)家Ｍ．deMoｎｔmort的信中提出了5個問題，其中第５個問題是這樣的：彼得擲一枚硬幣，如果第一次擲硬幣頭面朝上，彼得答應(yīng)給保爾一盾（荷蘭盾)；如果第一次擲的結(jié)果是背面朝上，則擲第二次;如果第二次擲硬幣頭面朝上,彼得付保爾２個盾；如果第二次擲的結(jié)果是背面朝上，則擲第三次……,到第n次，如結(jié)果是頭面朝上,彼得付保爾個盾。這個博局可以無限期地玩下去。保爾在該博局中所獲的價值的期望值是多少?尼古拉斯。伯努利之所以提出這個問題,是由于他發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)界對這個賭局的期望收益的計算與實際生活中發(fā)現(xiàn)的該博局的門票價之間存在著悖論。他發(fā)現(xiàn)，如果計算保爾的期望收入，則按這個估算,保爾在該博局中的所獲為無窮大,他應(yīng)該付無窮大來買這個機(jī)會。但是，在實際生活中,任何一個理智正常的人若出賣這個機(jī)會,其賣價不會超過2０盾，因為當(dāng)時瑞士類似的賭局的門票不超過20盾.如何解釋這個悖論？大數(shù)學(xué)家M．ｄeMoｎtmort（1678—17１9）對此并沒有回答,但將尼古拉斯.伯努利的信連同上述問題公開出版了。從而引起了數(shù)學(xué)界后來者的興趣。２.1偏好與效用2．1．1假設(shè)C為代表所有可能的結(jié)果所組成的集合.如果集合所有結(jié)果數(shù)目有限，則可以用來表示。假設(shè)狀態(tài)發(fā)生的概率分別為(任意一種狀態(tài)發(fā)生的概率為，滿足，且)，我們稱表示一個簡單博彩。（說明：博彩是描述風(fēng)險備選項的一個正式工具.簡單博彩有時候也寫成這種形式：,不同的書可能有不同的表示方法，但是內(nèi)涵是相同的。）舉例如下:p１=p２＝0。5Ｔ=0T=1θ１θ２投資１—100010５01200投資２-１０0０５０01600投資3-10０01０5０1６0０投資1相當(dāng)于博彩，當(dāng)未來只有兩種狀態(tài)時,簡單博彩還可以簡化為，表示以ｐ的概率獲得結(jié)果x，以1-p的概率獲得ｙ。請大家寫出投資２和投資3的博彩形式。相比絕對收益，人們更關(guān)注相對收益,即收益率.可以計算出以上三種投資的或有狀態(tài)收益率。θ1θ2投資1５％2０％投資2—50%6０％投資３5％６0%在簡單博彩中，可能出現(xiàn)的結(jié)果本身是確定的。一種更為復(fù)雜的博彩是復(fù)合博彩，其可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個博彩（即結(jié)果還是隨機(jī)的）。對于任何復(fù)合博彩,都可以計算出一個引致博彩。將復(fù)合博彩簡化為簡單博彩，稱此簡單博彩為引致博彩.舉例：,復(fù)合博彩的引致博彩為注:在有風(fēng)險條件下，理性人是如何決策，或本質(zhì)上是理性人如何對隨機(jī)變量進(jìn)行排序(比較)的。人們對資產(chǎn)本身沒有偏好，而是對資產(chǎn)產(chǎn)生的收益及其發(fā)生的概率分布感興趣。在不確定性條件下的決策理論，本質(zhì)上就是在收益的概率分布上做選擇.例1，一袋中有1００個球，編號從0到99，有四種搏彩，其貨幣結(jié)果分別以不同方式取決于從袋中取出球的偏號，具體見下表。請分別寫出四種搏彩.01－1０11-99Ａ50505０B０2５050Ｃ50５00D02500例2:某超市店慶搞活動,凡屬是購物者滿50元可獲得一次抽獎機(jī)會.抽獎程序如下：先由顧客隨機(jī)拋一枚硬幣,字朝上參加Ｌ1博彩,花朝上則退出游戲。L1是一個摸獎活動，分為一二三等獎,一等獎以萬分之一的概率獲得免單機(jī)會，二等獎以百分之一的概率獲得50元購物卡;三等獎獲得價值5元的小禮品一個.請你寫出該博彩和引致博彩。2。１．2不確定環(huán)境下個體的決策,本質(zhì)上是在對不同的隨機(jī)變量進(jìn)行排序.在對博彩偏好進(jìn)行理論分析之前，假定決策者遵循結(jié)果主義的假設(shè).即對任何風(fēng)險備選項，決策者關(guān)心的是定義在最終結(jié)果上的簡單博彩，而至于中間過程,即產(chǎn)生于簡單博彩還是符合博彩對決策者無關(guān)緊要。風(fēng)險備選項集合定義在結(jié)果集合C上的所有簡單博彩的集合，該集合為?。個體決策的目標(biāo)可以被歸結(jié)為一個偏好關(guān)系中,用來代表偏好關(guān)系，它是定義在風(fēng)險備選項集合?上的一種二元關(guān)系.如果?,被讀作弱偏好于,或至少與一樣好。如果?，,且不成立，被讀作強偏好于。如果?，且,則，被讀作與無差異。2.1.３偏好關(guān)系的性質(zhì)假設(shè)假設(shè)１、完備性假設(shè)2、傳遞性假設(shè)3、自返性假設(shè)4獨立性：對任何的?，和,獨立性假設(shè)表明，如果我們把兩個博彩的每個都分別于任意第三個博彩相混合，那么混合之后的博彩之間的偏好排序?qū)ⅹ毩⒂谖覀兯玫牡谌齻€博彩.獨立性假設(shè)是不確定條件個體選擇理論的核心，他提供了將不確定潛入個體決策模型的基本結(jié)構(gòu)。通過獨立性假設(shè),個體希望把復(fù)雜的概率決策行為,分為相同和不同的兩個部分,整個決策行為僅由不同的部分來決定。２。１．4阿萊斯悖論１95３年,阿萊斯(Allias）曾做過一組心理試驗，要求受驗者在如下兩組博彩組合種進(jìn)行選擇：第一組：A=(0，５00；１，100；)Ｂ=（0。1，５0０；０。8９，１０0;0.01,0)第二組:C=（0．1１,100;０.8９,0)Ｄ＝（0.１,500;0．90,０）其中,每一數(shù)對中的第一個數(shù)字表示博彩的收益，第二個為概率大小。單位：萬美元。作業(yè)：如果風(fēng)險備選項集合上的偏好關(guān)系滿足獨立性假設(shè)，請證明:對任何的和,。如果，，，和,則.對任何的和，如果，當(dāng)且僅當(dāng)，。（保序性)假設(shè)5連續(xù)性：對任何的，和，集合和為閉集。等價的阿基米德公理：對任何的，如果，則存在,使得，連續(xù)性假設(shè)將保證概率的微小變化不會改變原有的兩個抽獎商品之間的偏好順序。如:如果消費者對“快樂和安全的開車旅行”的偏好強于“待在家中”,那么,他對于一個“快樂與安全的開車旅行”與一個具有充分小、但不為0的正概率的“發(fā)生車禍導(dǎo)致死亡”的混合結(jié)果的偏好,仍然要強于“待在家中”。連續(xù)性假設(shè)保證了效用函數(shù)的連續(xù)性。定理（中值性)如果風(fēng)險備選項集合上的偏好滿足獨立性假設(shè)和阿基米德公理,若,且，則存在唯一的，使得。證明：如果,取＝1；如果,取=０.當(dāng)時，（存在性）反證法。如果不存在,滿足。那么必然有任意的，必然有或者，取集合Ｍ＝{｝，Ｎ=｛}，顯然0，１,，由于任意的，有根據(jù)傳遞性可知：，因此,不妨設(shè)M=，N=，因此有，根據(jù)阿基米德公理，存在,滿足矛盾。唯一性，也是反證法，自己證明。２.1．５效用函數(shù)在金融學(xué)的理論研究中，效用函數(shù)是描述偏好關(guān)系的方便工具。效用函數(shù)H(L）賦予風(fēng)險備選集合中的每個博彩一個數(shù)值,將博彩按照個人偏好的順序排列。如果對于任意的有成立，則函數(shù)關(guān)系是一個代表了偏好關(guān)系的效用函數(shù)。定理3。7如果在風(fēng)險備選項集合上只有有限個或者可數(shù)個博彩，則建立在風(fēng)險備選項集合上的理性偏好關(guān)系一定可以用效用函數(shù)來表示。2.2期望效用理論當(dāng)風(fēng)險備選項的結(jié)果集Ｃ中包含的有限結(jié)果數(shù)目很大,運用效用函數(shù)來表示偏好關(guān)系就變得異常復(fù)雜和極為不便.為此需要引入一類性質(zhì)更好、處理起來更方便的效用函數(shù)——期望效用函數(shù)，為表示建立在上的理性偏好關(guān)系。２。2．1期望效用函數(shù)及其特征對于風(fēng)險備選項的可能結(jié)果集合Ｃ＝{｝,如果可以賦予一組數(shù)值{},使得對于任意的簡單博彩，都有Ｕ（L)=,則稱效用函數(shù)U：具有期望效用形式。具有期望效用形式的效用函數(shù)被稱為馮·諾依曼-摩根斯坦期望效用函數(shù)。定理效用函數(shù)U：具有期望效用形式，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意K個博彩,以及概率()，滿足證明：如果成立，那么記為以1的概率產(chǎn)生結(jié)果的退化博彩，將任意的表示為，則，因此效用函數(shù)U：具有期望效用形式。如果效用函數(shù)U:具有期望效用形式，則對任意Ｋ個博彩,以及概率（），，有，得證。注:這個定理告訴我們期望效用函數(shù)存在，當(dāng)且僅當(dāng)復(fù)合博彩的效用等于簡單博彩效用的復(fù)合.定理假定U：是代表風(fēng)險備選項集合上偏好關(guān)系的馮·諾依曼－摩根斯坦期望效用函數(shù),其仿射變換也是代表偏好關(guān)系的另一個馮·諾依曼—摩根斯坦期望效用函數(shù).2．2.3期望效用函數(shù)存在定理期望效用函數(shù)存在定理:如果風(fēng)險備選項集合上的理性偏好關(guān)系滿足獨立性假設(shè)和阿基米德公理，則偏好關(guān)系具有期望效用函數(shù)。注:這個定理證明需要用到比較高深的拓?fù)鋵W(xué)和泛函的數(shù)學(xué)理論，我們對證明過程不做任何要求,如果有興趣，可以查閱以下文獻(xiàn)：但是當(dāng)我們再加上一個約束條件的時候,這個定理就是我們能證明。加上一個條件就是：假設(shè)存在一個最優(yōu)的博彩b和一個最差的、最不想要的博彩w。證明：如果風(fēng)險備選項集合上,存在一個最優(yōu)的博彩ｂ和一個最差的、最不想要的博彩ｗ.那么對于所有的,均有。如果,則意味著所有博彩是無差異的。對所有的博彩，其效用都為常數(shù).當(dāng)時,對于任意的，均有，必然存在唯一的，滿足，定義，可以證明當(dāng)且僅當(dāng)，(自證）.因此是效用函數(shù).再證明此效用函數(shù)具有期望效用函數(shù)形式。對于任意K個博彩，以及概率（），，根據(jù)效用函數(shù)定義,得證.關(guān)于期望效用函數(shù)的幾點說明：首先需要界定確定性條件下的貨幣效用.是對效用求數(shù)學(xué)期望。期望效用函數(shù)