三角形中位線定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理..掌握中點(diǎn)四邊形的形成規(guī)律.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的中位線.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線..定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點(diǎn)進(jìn)階(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的1周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的大，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的二.4(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.要點(diǎn)二、順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形【典型例題】類(lèi)型一、三角形的中位線例1、如圖，已知P、R分別是長(zhǎng)方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是PA、PR的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，點(diǎn)R不動(dòng)，那么下列結(jié)論成立的是()A.線段A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大C.線段EF的長(zhǎng)不變B.線段EF的長(zhǎng)逐漸變小D.無(wú)法確定舉一反三：【變式】在^ABC中，中線BE、CF交于點(diǎn)O,M、N分別是BO、CO中點(diǎn)，則四邊形MNEF是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由.

例2、如圖，^ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，BF平分NABC,交DE于點(diǎn)F,若BC=6,則DF的長(zhǎng)是（ ）A.2 B.3 C.5 D.42例3、如圖所示，在4ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為NBAC的平分線，BDLAD于D,AB=12,AC=18,舉一反三：【變式】如圖，BE,CF是4ABC的角平分線，ANLBE于N,AM，CF于M,求證：MN〃BC.分別與BA、CD的

HE分別與BA、CD的

HE作輔助線）

直線0E交BA的延舉一反三：【變式】如圖，AB〃CD,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn)，若AB=5,CD=3,則EF的長(zhǎng)是A.4B.3C.2D.1例4、（1）如圖1,在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,則NBME二NCNE,求證：AB=CD.（提示取BD的中點(diǎn)H,連接FH,（2）如圖2,在^ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AB=DC=5,N0EC=60°,求OE的長(zhǎng)度.類(lèi)型二、中點(diǎn)四邊形例5、如圖，點(diǎn)O是^ABC外一點(diǎn)，連接OB、OC,線段AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、F、G,連接DE、EF、FG、GD.(1)判斷四邊形DEFG的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若M為EF的中點(diǎn)，OM=2,NOBC和NOCB互余，求線段DG的長(zhǎng).【鞏固練習(xí)】一.選擇題TOC\o"1-5"\h\z.已知448（3的各邊長(zhǎng)度分別為3cm,4cm,5cm,則連結(jié)各邊中點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為（ ）A.2cmB.7cm C.5cm D.6cm.如圖，點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，若ADEF的周長(zhǎng)為10,則^ABC的周長(zhǎng)為（）A.5 B.10 C.20 D.40A.在AABC中，AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，連接DF、FE,則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是（ ）A.5B.7C.9 D.11.如圖，AABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O,連接OA,點(diǎn)G、F分別為OC、OB的中點(diǎn)，BC=8,AO=6,則四邊形DEFG的周長(zhǎng)為（ ）AA.12B.14C.16D.18.如圖所示，在AABC中，AB=AC,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn)，D,E為BC上的點(diǎn)，連接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm，則圖中陰影部分的面積為（ ）A.1cm2 B.1.5cm2 C.2cm2 D.3cm2.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn).已知兩底的差是6,兩腰的和是12,則4EFG的周長(zhǎng)是（）的和是12,則4EFG的周長(zhǎng)是（）C.10D.12二.填空題7.順次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是7.順次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是8.8.如圖，E、F分別是口ABCD的兩邊AB、CD的中點(diǎn)，AF交DE于P,BF交CE于Q,則PQ與AB的關(guān)系9.9.如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為7和9,則四邊形EFGH.如圖，四邊形ABCD中，NA=90°,AB=3'/3,AD=3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為

.如圖，^ABC的周長(zhǎng)為26,點(diǎn)D,E都在邊BC上，NABC的平分線垂直于AE,垂足為Q,NACB的平分線垂直于AD,垂足為P,若BC=10,則PQ的長(zhǎng).A.如圖，在4ABC中，NABC和NACB的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF〃BC交AB于E,交AC于F,過(guò)點(diǎn)O作ODLAC于D.下列三個(gè)結(jié)論：①NBOC=90°+1NA；2②設(shè)OD=m,AE+AF=n，則|S匕AEFmn；③EF不能成為^ABC的中位線.其中正確的結(jié)論是.三.解答題.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,M、N、P、Q分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).求證：MN和PQ互相平分.S .VC.已知：在^ABC中，BC>AC,動(dòng)點(diǎn)D繞^ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC,連接DC.過(guò)AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H,連接HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論NAMF=NBNE(不需證明)；(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，NAMF與NBNE有何數(shù)量關(guān)系？