《高等數(shù)學(xué)》課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與討論題第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用（24學(xué)時(shí)）微分(導(dǎo)數(shù))與積分是本書中兩個(gè)最重要的基本概念，它們分別反映了從局部和整體兩個(gè)側(cè)面來研究非均勻變化的數(shù)學(xué)方法，兩者之間有著密切的聯(lián)系，也有著共同的思想方法，一元函數(shù)的積分學(xué)包含積分與不定積分兩部分，定積分實(shí)質(zhì)上是處理均勻量的乘法在處理非均勻分布的整體量方面的推廣。粗糙地講，定積分就是微分的無限積累；而不定積分則是微分(導(dǎo)數(shù))的逆運(yùn)算，它為定積分的計(jì)算工辟了途徑。同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)地去領(lǐng)會(huì)定積分概念中所包含的處理問題的思想方法和步驟，并在定積分應(yīng)用一節(jié)中通過實(shí)例和習(xí)題來消化和靈活運(yùn)用；應(yīng)熟練地使用換元法和分部積分法來計(jì)算不定積分，并能熟練地求解簡(jiǎn)的單微分方程。本章教學(xué)實(shí)施方案講課16學(xué)時(shí)1．定積分的定義及其性質(zhì)(3學(xué)時(shí))；2．微積分基本公式與基本定理3．換元法(2學(xué)時(shí))；4．分部積分法(2學(xué)時(shí))；5．定積分應(yīng)用(2學(xué)時(shí))；6．幾類簡(jiǎn)的單微分方程(3學(xué)時(shí))；7．反常積分(2學(xué)時(shí))。討論課2學(xué)時(shí)，(2學(xué)時(shí))；積分概念與基本定理(2學(xué)時(shí))；習(xí)題課6學(xué)時(shí)1．微積分基本公式與基本定理2.積分法及定積分的應(yīng)用（2學(xué)時(shí)）；2．反常積分與簡(jiǎn)的單微分方程(2學(xué)時(shí))。(2學(xué)時(shí))；第一節(jié)定積分的概念及其性質(zhì)一、教學(xué)內(nèi)容定積分問題舉例。定積分定義及其幾何意義，定積分的存在條件，定積分的

性質(zhì)，重點(diǎn)：定積分定義。二、教學(xué)要求1．通過問題舉例和定義,深入領(lǐng)會(huì)用定積分研究非均勻分布量的整體性態(tài)的思想方法和步驟。2．理解“有界是可積的必要條件”，“連續(xù)是可積的充分條件”。3．會(huì)4．正確理解定積分的使用定積分的性質(zhì)。性質(zhì)中關(guān)于可積性的證明不作要求。幾何意義，并能利用幾何意義與定積分性質(zhì)來對(duì)某些簡(jiǎn)單定積分的值進(jìn)行估計(jì)。5．正確理解積分中值定理及其幾何意義，了解中值定理在平均值方面的應(yīng)用。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.微積分2.微積分3.不定積分的四思考題基本公式；基本定理；概念與性質(zhì)。1.將區(qū)間[a,b]n等分，則xba,k1,2,n,取子區(qū)間[xk1,x]的左端點(diǎn)，nkkk則xk1ak1(ba)，相應(yīng)積分和式的極限為knk1banlimfa(ba)nnnk1若該極限存在，它是否等于f(x)在[a,b]上的定積分b()d？?jī)烧呦嗟刃鑖xxa什么條件？2.f(x)為連續(xù)的周期函數(shù)，且為奇函數(shù)，則aTf(x)dx0，其中a為任意實(shí)a數(shù)，T為的周期，用幾何意義說明這個(gè)結(jié)論是否成立？3.若在區(qū)間a,b上f(x)0且f(x)0，則fxxb()d0，問等號(hào)有可能成立嗎?a試舉例說明.第二節(jié)微積分基本公式與基本定理一、教學(xué)內(nèi)容及重點(diǎn)微積分基本公式，微積分基本定理，不定積分的概念與性質(zhì)，重點(diǎn)：Newton-Leibniz公式，微積分第一基本定理及其應(yīng)用。二、教學(xué)要求1．理解原函數(shù)與不定積分的概念2．牢記Newton-Leibniz公式并會(huì)運(yùn)用，了解它們反映的物理意義，理解它將定積分計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù)問題。3．正確理解變上限積分與微積分第一基本定理的涵義及其分析證明，并能熟練地應(yīng)用第一基本定理求變限積分的導(dǎo)數(shù)。4．了解微積分第二基本定理，會(huì)計(jì)算分段連續(xù)函數(shù)的定積分。5．熟記P186的基本積分表，并能利用此表和不定積分的性質(zhì)計(jì)算簡(jiǎn)單的不定積分。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.兩類換元法;2.分部積分法。四思考題1.若f(x)在區(qū)間[a,b]上除c點(diǎn)外處處連續(xù)，c為f(x)的一個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則Newton-Leibniz公式能否成立？應(yīng)怎樣修改？2.求下列積分的導(dǎo)數(shù)：dtddxx1t3td(xt)dtx2①dt②1dt③xdx1tdx01t320并研究一般情況d(x)f(t)dt，(x)f(t)dt,dd(x)f(x,t)dt求導(dǎo)的方(x)dxaddxx(x)法，其中f連續(xù)，,可導(dǎo).3.分段函數(shù)的定積分與不定積分怎樣計(jì)算？第三節(jié)兩種基本積分法一、教學(xué)內(nèi)容換元法與分部積分法。二、教學(xué)要求1．能熟練地利用兩種換元法求不定積分。2．能熟練地利用分部積分法求不定積分。3．會(huì)正確利用定積分的換元法與分部積分法直接計(jì)算定積分。4．了解初等函數(shù)的積分問題，并知道查用積分表。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容建立積分表達(dá)式的微元法。四思考題cosd，其計(jì)算過程有什么不同？并考慮下列積分計(jì)算1.計(jì)算cosd與23xxxx過程與那一個(gè)類似.①sin2xcos2xdx②sin4xcos3xdx③sin2xcos2xdx④sincosd（其中m、n至少有一個(gè)mxnxx是奇數(shù)）dxdxx(1x)(1x)2.計(jì)算積分，進(jìn)一步用類似方法計(jì)算，并2討論更一般x(1x)2的有理函數(shù)積分的方法.3.第二換元法常用的有哪幾種代換，分別適用于那種積分？4.利用分部積分法計(jì)算積分①xsinxdx②xarcsinxdx③xexdx④xlnxdx比較它們計(jì)算方法上的區(qū)別，并小結(jié)分部積分法適用哪種類型的積分.第四節(jié)定積分的應(yīng)用一教學(xué)內(nèi)容建立積分表達(dá)式的微元法，定積分在幾何中的應(yīng)用舉例，定積分在物理中的應(yīng)用舉例。二、教學(xué)要求1．深入領(lǐng)會(huì)微元法；2．通過幾何與物理實(shí)例能靈活地運(yùn)用微元法解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)定積分的實(shí)際問題，包括正確確定積分微元，確定積分上下限。3．不提倡記憶幾何或物理應(yīng)用中的積分公式，要求用微元法的思想和步驟去做應(yīng)用題。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容無窮區(qū)間上的積分及無界函數(shù)的積分的概念。第五節(jié)反常積分一、教學(xué)內(nèi)容二、教學(xué)要求無窮區(qū)間上的積分，無界函數(shù)的積分，兩類反常積分的審斂準(zhǔn)則，函數(shù)。1．理解2．了解3．能運(yùn)用定兩類反常積分收斂與發(fā)散的概念。兩反常積分審斂法則。義和審斂法判定一些簡(jiǎn)單反常積分的斂散性，并用定義計(jì)算簡(jiǎn)單收斂反常積分的值。4．了解函數(shù)。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容微分方程的基本概念，可分離變量的方程，一階齊次方程，一階線性方程，可降階的高階方程。四思考題1.按定積分的定義與存在定理，積分區(qū)間[a,b]必須有限，f(x)在[a,b]上必須有界.否則積分不存在.而我們現(xiàn)在又討論無限區(qū)間和無界函數(shù)的積分.這兩者是否矛盾？2.積分f(x)dx能否用下面極限來定義：f(x)dxlimf(x)dxaaa

為什么？3.積分f(x)dx定義為兩個(gè)極限的和f(x)dxlimcf(x)dxlimbf(x)dxabac若這兩個(gè)極限有一個(gè)不存在，則該積分發(fā)散；若這兩個(gè)極限都不存在，積分f(x)dx是否可能收斂？為什么？第六節(jié)幾類簡(jiǎn)單的微分方程一、教學(xué)內(nèi)容及重點(diǎn)微分方程的基本概念，可分離變量的方程，一階齊次方程，一階線性方程，可降階的高階方程，應(yīng)用舉例。二、教學(xué)要求1．正確理解常微分方程的有關(guān)基本概念，包括：常微分方程的階數(shù)，解、初始條件，通解與特解。2．正確識(shí)別微分方程的各種類型并熟練地運(yùn)用各種類型的解法去求通解和特解。3．能把一些較為簡(jiǎn)單的方程通過變量替換化成已知類型的方程，從而求得其解。4．能對(duì)一些較為簡(jiǎn)單的實(shí)際問題建立微分方程并求解。三、預(yù)習(xí)內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)，Caychy收斂原理，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則。四思考題dy1.驗(yàn)證lnyx2c與ycex2都是微分方程2xy的通解.這兩個(gè)通解中哪dx一個(gè)更好一些，為什么？2.微分方程的通解是否是它所有解的表達(dá)式？dy3.Bernoulli方程P(x)yQ(x)y中，為什么要求0,1？dxdP為什么不能直接帶入原方4.yf(y,y)型方程中作變量代換yP，ydx程求解？第五次討論題1.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，（A）f(x)是奇函數(shù)F(x)必是偶函數(shù)；（B）f(x)是偶函數(shù)F(x)必是奇函數(shù)；（C）f(x)是周期函數(shù)F(x)必是周期函數(shù)；（D）f(x)是單調(diào)增函數(shù)F(x)必是單調(diào)增函數(shù)2.設(shè)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則.F(x)f(x)，C為任意常數(shù)，說明下列等式是否成立，為什么？①()()②f(x)dxCbf(x)dxfxdxxfxdxCax③④xF(x)dxF(x)f(t)dtbf(u)dubaaa⑤dxf(t)dtdf(x)dx⑥F(x)dxF(x)dxadxexC,x0,x2xC,x0.以上結(jié)論是否x04．若f(x)，則f(x)dx1x10exx2正確？為什么？5．設(shè)函數(shù)圖形為：yf(x)在區(qū)間[1,3]上的F(x)xf(t)dt在[1,3]上的則函數(shù)圖形為（）0（A）（B）（C）(D)6．f(x)在[a,b]上可積與f(x)在[a,b]上存在原函數(shù)是否是一回事？考察下列兩個(gè)例子，說明這個(gè)問題。1x0,證明F(x)處處可導(dǎo)。若令F(x)f(x),試問x0x2sin①設(shè)F(x)x20f(x)在區(qū)間[1,1]上可積②若f(x)sgnx,則f(x)在[1,1]上是否可積？原函數(shù)是否存在？7.下列嗎？方法正確嗎？如果不正確，試給出正確方法。1x3,x1,x,x1,23若f(x)則F(x)為f(x)的原函數(shù)，故14xx1.3x4,x1.8(2)(0).2f(x)dxFF30limf(x)x0()，試問1fxtdt(x)是否可8．設(shè)f(x)連續(xù)，A(常數(shù))，()xx0導(dǎo)？(x)是否連續(xù)？dd1t4dt，dx2dx9．計(jì)算1t4dt，01t4dt，xdxdxx20xdx(xt)f(t)dt(其中f(x)連續(xù))，xsin(xt)2dt并小結(jié)變上限積分的求導(dǎo)dx0ddxa法。10．設(shè)f(x)在[a,b]上可積，且f(x)0①若f(x)0，則bf(x)dx0是否成立？a②若bf(x)dx0，則f(x)