單元質(zhì)量評估（三）

第三章

(120分鐘150分)

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的）

1.（2016?臺州高二檢測）函數(shù)y=lgx的導(dǎo)數(shù)為（)

A,-B.-lnlO

XX

11

C.D.——

?xlnlQ?xlge

【解析】選C.因為(IOgaX)'——-,

xlna

所以（M）';金.

2.（2016?泉州高二檢測）已知f（x）=sinx+lnx,則f'（1）的值為（）

A.1-coslB.1+cosl

C.-1+coslD.-1-cosl

【解析】選B.f'(x)=cosx+-,fz(l)=cosl+l.

x

3.設(shè)f(x)=x?(2-x),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A-(°4)

C.(-8,0)D.(-8,0)U8+8)

【解析】選A.f(x)=2x2-x3,f'(x)=4x-3x2,

由f'(x)>0得0<x<之

3

4.已知物體的運動方程是s=lt3-4t2+12t(t表示時間，s表示位移)，則瞬時速度為

3

0的時刻是()

A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒

C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒

【解析】選D.s'=t-8t+12=0,解得t=2或t=6.

5.函數(shù)y=2x~2x2在［-1,2］上的最大值為()

A.-5B.0C.-lD.8

【解析】選D.y'=6x2-4x=2x(3x-2),列表:

2

X-1(-1,0)02

(斕3(1，2)

v'+—+

y-4/0/8

27

所以ymax=8.

6.(2016?臨沂高二檢測)曲線y=31nx+x+2在點P。處的切線方程為4x-y-l=0,則

點P。的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(1,-1)

C.(1,3)D.(1,0)

［解析］選C.5(x)金+1.設(shè)Po(x0,yo),

X

則且+1=4,解得Xo=1.

因為(x0,y0)在直線4x-y-1=0上，所以y0=3.

所以點P。的坐標(biāo)為(1,3).

7.若x=l是函數(shù)f(x)=(ax-2)?e'的一個極值點，則a的值為()

A.1B.2C.eD.5

【解析】選A.因為(x)=aex+(ax-2)ex,

所以f'(1)=ae+(a-2)e=0,

解得：a=1,

把a=1代入函數(shù)得：

f(x)=(x-2)?ex,

所以f'(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),

所以f'(1)=0,且x<1時，f'(x)<0,x>1時，

&(x)>0.

故a=1符合題意.

8.做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是27it且用料最省,則圓柱的底面半

徑為()

A.5B.6C.3D.2

【解析】選C.設(shè)圓柱的底面半徑為R,母線長為I,

則V=nR2/=27n,所以Ip—.

要使用料最省，只需使水桶的表面積最小，

而S表=ITR2+2nR仁nR2+—,

R

令sJ=2TTR-等0,

解得R=3,即當(dāng)R=3時，S表最小.

9.(2016?荷澤高二檢測)函數(shù)f(x)=x"6bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則實數(shù)b的

取值范圍是()

A.(0,1)B.(-8,1)

C.(0,+8)

【解析】選D.f'(x)=3x-6b,

因為f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，

所以f'(x)=0在x￡(0,1)有解.

-c：：,

所以。遲

10.(2016?合肥高二檢測)設(shè)a<b,函數(shù)y=(x-a)2(x-b)的圖象可能是()

【解析】選C.y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a),(3x-a-2b),由y'=0得x=a或

因為a<b,所以a6所以當(dāng)x=a叱y取極大值0;當(dāng)時,y取極

a33

小值且極小值為負(fù).

11.(2016,煙臺高二檢測)已知a<0,函數(shù)f(x)=ax，+上Inx,且f'(1)的最小值是

&

-12,則實數(shù)a的值為()

A.2B.-2C.4D.-4

【解析】選B.*(x)=3ax2+—,所以f'(l)=3a+—^-12,即a+-^-4,又a<0,有

蹌aa

4d.

a+-W-4.故a+-=-4,此時a=-2.

aa

12.(2016?全國卷I)若函數(shù)f(x)=xJsin2x+asinx在(-°°,+°°)上單調(diào)遞增，則

3

a的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[-1A'

3.

八「1111,

C.—D.一1,—

L3匕」aJ

【解析】選C.方法一：用特殊值法：

取a=-1,f(x)=x~sin2x-sinx,

3

2

千'(x)=1--cos2x-cosx,

3

但f'(0)=1-t-1=-±<0,不具備在(-oo,+oo)上單調(diào)遞增，排除A,B,D.

33

方法二:f'(x)=1-4os2x+acosx20對xGR恒成立，故l-^&cos,-D+acosx，

33

0,

45

即acosx--cos2x+-^0恒成立，

33

令t=cosx,所以-f+at+?eo對t￡[-1,1]恒成立，構(gòu)造函數(shù)f⑴=-|t2+at+|,

開口向下的二次函數(shù)f(t)的最小值的可能值為端點值，

11

故只需1,解得-IWaWL

f⑴=--aQ,

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線

±)

13.(2016?中山高二檢測)曲線y=x(31nx+l)在點(1,1)處的切線方程

為?

【解析】v'=31nx+1+x,^=31nx+4,

X

所以y'|x=i=3ln1+4=4.

又f(1)=1X(3ln1+1)=1,

所以所求的切線方程為y-1=4(x-1),

即4x-y-3=0.

答案:4x_y_3-0

14.(2016?鄭州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=吧+2曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的

工+1X

切線方程為x+2y-3=o,則a=,b=.

【解析】f(X)=登"上.

(X+l)2Xs

由于直線x+2y-3=o的斜率為，,且過點(1,1).

故卜Q）=—1,*"（bb=1,=

2

解得a=1,b=1.

答案：11

15.函數(shù)y=x+2cosx73在區(qū)間Q,耳上的最大值是

時，y=E,而x=0時，y=2-v3,x=E時且二>2-{5>?\3,故函數(shù)

62262

y=x+2cosx-\：：3在區(qū)間Q,三上的最大值是:,

.2.6

答案:二

6

【補償訓(xùn)練】曲線丫=^:2以點為切點的切線的傾斜角為.

【解析】y'=x；當(dāng)x=l時,y'=1,從而切線的傾斜角為45°.

答案:45°

16.設(shè)f(x)=x3--x'-2x+5,當(dāng)x￡[-1,2]時,f(x)〈m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍

2

是■

【解析】f'(x)=3x-x-2=(x-1)(3x+2),

令V(x)=0,得x=1或x二一2￡

3

f(x)極小值二f(1)-1---2+5=-，

22

f(X)極大值二千(-|)

=上.心

2793

;5絲

27

1111

又f(-1)=-1--+2+5=1,

22

f⑵=8-2-4+5=7,

比較可得f(x)皿=千(2)=7.

因為千(x)<m對x￡［-1,2］恒成立.

所以m>7.

答案：(7,+oo)

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟)

17.(10分)(2016?南昌高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=6x3+3(a+2)x?+2ax.

(1)若f(x)的兩個極值點為xbx2,且x,x2=l,求實數(shù)a的值.

(2)是否存在實數(shù)a,使得f(x)是(-8,+8)上的單調(diào)函數(shù)?若存在，求出a的值;

若不存在，說明理由.

【解析】f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a.

⑴由已知有f'(Xi)=f'(X2)=O,從而XiX2±±二1,所以a=9.

is

(2)由于△=36(a+2)2—4X18X2a=36(a2+4)>0,

所以不存在實數(shù)a,使得f(x)是(-8,+8)上的單調(diào)函數(shù).

【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=^ax2+2x-lnx.

2

(1)當(dāng)a=0時，求f(x)的極值.

(2)若f(x)在區(qū)間”,2］上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)的定義域為(0,+8).

因為f(x)=-ax2+2x-lnx,

當(dāng)a=0時，f(x)=2x-Inx,貝口f'(x)=2~,

X

令它3=0得乂」，

2

所以當(dāng)x變化時，f'(x),f(X)的變化情況如表

1生+S)

X

(4)2

f'(x)—0+

f(x)極小值/

所以當(dāng)X,時，f(x)的極小值為1+ln2,無極大值.

2

(2)由已知，得

f(x)=-ax2+2x-1nx,且x>0,則

2

fz(x)二ax+2_La"+2x-l

XX

若a=0,由f'(x)>0得x>：,顯然不合題意；

若a手。，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間匕2〕上是增函數(shù)，

所以f'(X)20對x￡g,2,恒成立，即不等式ax?+2x-120對x￡二2.恒成立,

即a2上言與一紅口一力1恒成立，

X2Xkx7

故心［(卜1)-1

Le」max

J2

而當(dāng)x=g時，函數(shù)(；一1)'-1的最大值為3,所以實數(shù)a的取值范圍為a23.

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=X3+XT6.

⑴求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程.

⑵如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=」x+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線的方程.

4

【解析】⑴因為千'(x)=(x，xT6)'=3x?+1,

所以千(x)在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f'(2)=13.

所以切線的方程為y=13(x-2)+(-6),

即y=13x-32.

(2)因為切線與直線y=--+3垂直，

4

所以切線的斜率k=4.

設(shè)切點的坐標(biāo)為(xo,y0),

則f'(x0)=3j^+1=4,

所以X0=±1,

所以=L或卜。=T

(yo--14,(yQ--18.

即切點坐標(biāo)為(1,T4)或(-1,-18).

切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.

即y=4x-18或y=4x-14.

19.(12分)(2016?臨沂高二檢測)已知函數(shù)f(x)=lnx」ax,-2x.

2

(1)若函數(shù)f(x)在x=2處取得極值,求實數(shù)a的值.

(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

【解析】⑴產(chǎn)(x)=-之2(x>0),

X

因為x=2時，f(x)取得極值，

所以(2)=0,解之得a=3，經(jīng)檢驗符合題意.

4

⑵由題意知千'(x)，0在x>0時恒成立，

即ax2+2x-1W0在x>0時恒成立,

則aW[：''一(!_在x>0時恒成立，

x2\x/

即aW[(—1)—1(x>0),

/」mln

當(dāng)x=1時，(；—1)-1取得最小值T.

所以a的取值范圍是

20.(12分)某5A級景區(qū)為提高經(jīng)濟效益,現(xiàn)對某景點進(jìn)行改造升級,提高旅游增

加值,經(jīng)過市場調(diào)查,旅游增加值y萬元與投入x(x210)萬元之間滿足：

y=f(x)=ax2+—x-bln—,a,b為常數(shù)，當(dāng)x=10萬元時,y=19.2萬元；當(dāng)x=50萬元

501Q

時，y=74.4萬元.(參考數(shù)據(jù):ln2=0.7,ln3=l.1,ln5=l.6)

(1)求f(x)的解析式.

(2)求該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值.(利潤=旅游增加值-投入)

【解析】(1)由條件可得

/,101一

ax102+――X10-bin!=19.2,

J5Q

1.101

(aX5-02+-z0-X50—bln5=74.4,

角單得a=~―,b=1.

100

貝f(x)x-1n—(x210).

1UU5Q1U

(2)由T(x)=f(x)-x=--^—+—x-1n—(x210),

1UU5Qia

則「(x),+-F

5050X5gx

令T'(x)=0,則x=1(舍)或x=50,

當(dāng)x￡(10,50)時，「(x)>0,

因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；

當(dāng)x>50時，T'(x)<0,因此T(x)在(50,+°°)上是減函數(shù),

故x=50為T(x)的極大值點，也是最大值點，且最大值為24.4萬元.

即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為24.4萬元.

21.(12分)(2016?紹興高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.

⑴設(shè)a=l,求函數(shù)f(x)的極值.

(2)若a>-,且當(dāng)x￡［1,4a］時,f(x)2a3T2a恒成立,試確定a的取值范圍.

3

［解析］⑴當(dāng)a=1時，f(x)=x-3x-9x+1且f'(x)=3x-6x-9,由f'(x)=0得x=7

或x=3.

當(dāng)x<7時,f'(x)>0,當(dāng)一1<x<3時,f'(x)<0,

因此x=7是函數(shù)f(x)的極大值點，

極大值為f(-1)=6;

當(dāng)—1<x<3時f'(x)<0,當(dāng)x>3時f'(x)>0,

因此x=3是函數(shù)的極小值點，極小值為f(3)=26.

(2)因為f'(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a>|,

所以當(dāng)1Wx<3a時,f'(x)<0;

當(dāng)3a<xW4a時,f'(x)>0.

所以x￡［1,4a］時，千(x)的最小值為f(3a)=-26a3.

由f(x)2a3-12a在［1,4a］上恒成立得-26a'Na'T2a.

解得aW」或OWaW三.

33

又a>l所以l<aW±

333

即a的取值范圍為J」.

\33J

22.(12分)奇函數(shù)f(x)=ax'+bx2+cx的圖象過點A(r2、②，B(2<2,10<2).

⑴求f(x)的表達(dá)式.

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(3)若方程f(x)+m=O有三個不同的實數(shù)根,求m的取值范圍.

【解析】(1)因為f(x)=axM^+cx為奇函數(shù)，

所以千(-x)=-f(x)(x￡R).

所以b=0.

所以f(x)=ax3+cx.

因為圖象過點A(72,物,B(2\210-V2),

所以產(chǎn)號一任=第

〔16%；2a+272c=10V2,

即產(chǎn)-c=1,

18a+c=5.

所以號=lf

lc=-3.

所以f(x)=X3-3X.

(2)因為f(x)=x-3x,

所以f'(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

所以當(dāng)時,f'(x)<0；

當(dāng)x<7或x>1時，f'(x)>0,

所以千(x)的遞增區(qū)間是(-8,7)和(1,+8),遞減區(qū)間是(-1,1).

(3)因為f(-1)=2,f(1)=-2,為使方程千(x)+m=O,

即f(x)=-m有三個不等實數(shù)根，

則-2<-m<2,

即-2<m<2,

所以m的取值范圍是(-2,2).

考前過關(guān)訓(xùn)練（一）

常用邏輯用語

（30分鐘50分）

一、選擇題（每小題3分，共18分）

1.（2016?三明高二檢測）命題：“若x2〈l,則的逆否命題是（）

A.若x?21,貝!jx，l或xWT

B.若-則x2<l

C,若x>l或x<-l,則x2>l

D.若x，l或x^-1,則

【解析】選D.xll的否定為x2^l;-l<x<l的否定為x21或xWT,故原命題的

逆否命題為若x21或xWT,則x^l.

2.（2016?長沙高二檢測）命題p:Vx>0,e、>l,則p是（）

A.玉芯0,.xyiB.玉。>0,呼<1

C.Vx>0,ex^lD.VxWO,e'Wl

【解析】選A.p是mx0>0,MoWl.

3.命題p:x>2是X2>4的充要條件；命題q：若：則a>b,則（）

A.“pVq”為真B.“pAq”為真

C.p真q假D.p,q均為假

【解析】選A.命題p:x>2是x?>4的充要條件是假命題；命題q:“若且>?,則a>b”

c工C2

是真命題，所以“pVq”為真.

4.（2016?茂名高二檢測）“直線y=x+b與圓x2+/=l相交”是“0〈b〈l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選B.若“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”,貝寸圓心至汁直線的距離為d二旦<1,

v2

即也|<、2不能推出o<b<i；

反過來，若0<b<1,則圓心到直線的距離為d二史〈工<1,所以直線y=x+b與圓

Y12Y2

x2+y-1相交.

【補償訓(xùn)練】設(shè)向量a=(l,x),b=(2,l-x),則“x=T”是“aJLb”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.由a±b可得：x。—x)+2=0=x=2或x=T,所以"x=T"是"a-Lb"

的充分而不必要條件.

5.下列命題中的真命題是()

3

A.mx()￡R，使得sinx()cosxo=二

x(,

B.3xoe(-~,O),2>l

C.VxGR,x2>x-l

D.VxG(0,Ji),sinx>cosx

【解析】選C.由sinxocosxo=-,得sin2x=->l,故A錯誤；結(jié)合指數(shù)函數(shù)和三角函

505

數(shù)的圖象,可知B,D錯誤;

因為x2—x+1=(x-2)~+;>0恒成立，所以C正確.

6.(2016?安康高二檢測)“直線x-y-k=0與圓(x-12=2有兩個不同的交點”

的一個充分不必要條件可以是()

A.-Kk<3B.TWkW3

C.0<k<3D.k<-1或k>3

【解析】選C.“直線x-y-k=O與圓(x-l)2+y2=2有兩個不同交點”等價于匕掌及?吃,

v,2

也就是ke(-1,3).四個選項中只有(0,3)是(-1,3)的真子集，故充分不必要條件

可以是0<k<3.

【補償訓(xùn)練】已知命題p:在△ABC中，“C>B”是“sinOsinB”的充分不必要

條件;命題q：“a>b”是“ac2〉bc2”的充分不必要條件,則下列選項中正確的

是()

A.p真q假B.p假q真

C.“pVq”為假D.“pAq”為真

【解析】選C.在aABC中，設(shè)角C與角B所對應(yīng)的邊分別為c,b,由C>B,知c>b,

由正弦定理」=一一可得sinOsinB,當(dāng)sinOsinB時，易證C>B,故“C>B”是

sinCslnB

“sinOsinB”的充要條件,當(dāng)c=0時,由a>b得ac2=bc2,由ac5bc?易證a>b,故

“a〉b”是“ac2〉bc2”的必要不充分條件，即命題p是假命題，命題q也是假命題，

所以“pVq”為假.

二、填空題(每小題4分，共12分)

7.在下列結(jié)論中，

①“pAq”為真是“pVq”為真的充分不必要條件；

②“pAq”為假是“pVq”為真的充分不必要條件；

③“pVq”為真是Jp”為假的必要不充分條件；

④“R”為真是“pAq”為假的必要不充分條件.

正確的是

【解析】①“p/\q”為真是同時為真，可得到“pVq”為真，反之不成立；②“p

Aq”為假說明至少一個為假，此時“pVq”可真可假;③中當(dāng)“R”為假時可得

到“pVq”為真，所以“pVq”為真是Jp”為假的必要不充分條件;④“R”為

真可得“p/\q”為假.

答案:①③

8.(2016?嘉峪關(guān)模擬)已知命題p:不等式|x-1|>m的解集是R,命題q:f&)=厘

才

在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù),若命題“P或q”為真，命題“p且q”為假,則實數(shù)m

的范圍是.

【解析】因為不等式|x-1|>m的解集是R,

所以m<0,即p:m<0.

若f(x)必在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，

則2-m>0,即m<2,即q:m<2.

若p或q為真命題，p且q為假命題，則p,q一^真一4民.

若p真,q假，嘿:與此時m無解,若p假,q真，

則｛魯:?解得0Wm<2.綜上：0Wm<2.

答案：0Wm<2

【補償訓(xùn)練】設(shè)P：方程x2+2mx+l=0有兩個不相等的正根；q:方程

x2+2(m-2)x-3m+10=0無實根.則使pVq為真,p/\q為假的實數(shù)m的取值范圍

是.

【解析】設(shè)方程x2+2mx+l=0的兩根分別為Xi,X2,由［△=4nV-4*0,得

lx1+肛=—2m>0,

m<-l,

所以p:m<_1;

22

由方程x+2(m-2)x-3m+10=0無實根，可得△2=4(m-2)-4(-3m+10)<0,知-2<m<3,

所以q:-2<m<3.

由pVq為真,p/\q為假，可知命題p,q一真一假，

(m<-1,

當(dāng)p真q假時，｛?此時mW-2;

(m>3m<-2

當(dāng)P假q真時,T.此時TWm<3,

所以m的取值范圍是mW-2或-1Wm<3.

答案：(-°°,-2]U[-1,3)

9.下列結(jié)論：

①若命題p:mX。WR,tanx()=2;命題q:Vx￡R,x'-x+l>0.則命題“pA(p)”是假

2

命題；

②已知直線Zi：ax+3y-l=0,/:x+by+l=0,則人J_，2的充要條件是2=-3;

2b

③“設(shè)a,b￡R,若ab22,則a2+b”4”的否命題為：“設(shè)a,b￡R,若ab<2,則l+b?

W4”.

其中正確結(jié)論的序號為.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上).

【解析】在①中，命題p是真命題，命題q也是真命題，故"pA(p)”是假命題是

正確的.在②中/」/2=a+3b=0,所以②不正確.在③中“設(shè)a,b￡R,若ab22,則

a2+b2>4w的否命題為：“設(shè)a,bGR,若ab<2,則a2+b2^4w,正確.

答案:①③

三、解答題(每小題10分,共20分)

10.(2016?湛江高二檢測)已知a,b,c,d均為實數(shù)，且2bd-c-a=0.

命題P：關(guān)于X的方程ax2+2bx+l=0有實根；

命題q：關(guān)于x的方程cx2+2dx+l=0有實根；

證明：“P或q”為真命題.

【證明】由ax2+2bx+1=0得△尸4b2-4a,

由cx2+2dx+1=0得△2=4cf-4c,

又因為2bd-c-a=0,所以a+c=2bd,

所以△1+△2-4[b2+d2-(a+c)]

=4(b2+d2-2bd)

=4(6”20,

即中至少有一個大于或等于0,

所以兩方程至少有一個有實根，即“p或q”為真命題.

11.(2016?臨汾高二檢測)已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù),命題q:

當(dāng)x￡卜,2]時，函數(shù)f(X)=x+(丫恒成立.如果“P或q”為真命題，“P且q”為假

命題,求c的取值范圍.

【解題指南】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出命題P為真命題時，C的取值范

圍；根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)恒成立問題的解答思路，可求出命題q

為真命題時,c的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，

可知p和q一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果，即可求出答案.

【解析】因為c>0,所以如果命題p:函數(shù)y=c、在R上為減函數(shù)，是真命題，那么

0<c<1.

如果命題q:當(dāng)xG2],函數(shù)千(x)=xj>g恒成立是真命題，

又因為函數(shù)f(x)=x+222,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-時，即x=1時，函數(shù)f(x)=2,

所以當(dāng)x￡t,2],函數(shù)f(x)e[2,所以,<2,即c>-.

12JL2Jcc2

又因為p或q為真命題，p且q為假命題，所以p或q—^個為真命題一個為假命題.

如果p為真命題q為假命題，那么0<c<1且cWL所以O(shè)〈cWl;

2Z

如果p為假命題q為真命題，那么cWO或c21且c>:所以c21.

綜上所述，c的取值范圍為。代忘」或021.

2

考前過關(guān)訓(xùn)練（二）

圓錐曲線與方程

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題4分，共24分）

1.（2015糊南高考）若雙曲線:-卷=1的一條漸近線經(jīng)過點（3,-4）,則此雙曲線的

離心率為（）

A.—B.-C.-D.-

3433

【解析】選D.因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3,-4）,所以3b=4a,所以

9（c2-a2）=16a2,所以e=-=-.

d3

【補償訓(xùn)練】（2016?長沙高二檢測）已知橢圓C:￡+31（a>b>0）的左右焦點分別

t>z

為為F2,過F2的直線與圓x?+y2=b2相切于點A,并與橢圓C交于不同的兩點P,Q,

如圖，若PF-PQ,則橢圓的離心率為（）

A.—B.—C.—D.—

3333

【解題指南】連接0A,PF“則0A_LPQ,又PR_LPQ,所以A為線段PF2的中點，于是

PF尸2b.結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b,由此能求出橢圓的離心率.

【解析】選C.連接0A,PF“

則0A±PQ,又PFJPQ,可得0A〃PF”

所以A為線段PF2的中點，

于是PFF2b.

結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b,

在直角三角形PFF2中，

利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,

將c2=a2-b2代入，

整理可得b\a,

于是e二展三匹、

aaa3

2.(2016?南昌高二檢測)過雙曲線的右頂點作x軸的垂線與C的一條

a*?

漸近線相交于A,若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,0兩點(0為坐標(biāo)

原點)，則雙曲線C的方程為()

A.￡-￡=1B.X1

4127V

C.^-d=lD.±±=l

yyiz4

【解題指南】設(shè)右焦點為F,|0F|=|AF|=4.

【解析】選A.設(shè)右焦點為F.由題意得|0F|=|AF|=4,即a2+b2=16,

可設(shè)A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,

故a=2,b2=12,所以雙曲線的方程為工-丘1.

412

3.(2016?廣州高二檢測)以(-6,0),(6,0)為焦點，且經(jīng)過點(-5,2)的雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程是()

A.s-r=iB.匕工=1

162U162U

cX-f=lD.匚立1

2U16ZQ16

【解析】選C.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是提-最=1(a>0,b>0),因為雙曲線以

(-6,0),(6,0)為焦點，且經(jīng)過點(-5,2),

(c=x'a2+b2=6,

所以￡5)222

(干_一近=L

解之得a2=20,b2=16,

因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-丘1.

ZU16

22

4.(2016?西安高二檢測)已知FbF2為雙曲線C:x-y=2的左、右焦點，點P在C

上，|PFj=2|PF21，則COSNF】PF2=()

1n3「3「4

AA.—B.—C.—D.—

4545

【解析】選C.依題意：a=b="2所以C=2.

因為IPF』=2IPF21,則設(shè)|PF2|=m,則|PF,I=2m,

又|PFj-|PF2|=242=m.

所以|PF』二紜2,IPF2I=2<2.

又|FE|=4,

所以cos/FPF普絲嬖零空

ZX4v2XZv34

5.(2016?桂林高二檢測)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線/與拋物線在第

一象限的交點為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B,點A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為C,

若贏=&BA?前=48,則拋物線的方程為()

A.y2=4xB.：/=8x

C.y2=16xD.y2=4V'2x

【解析】選A.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為D,依題意，F(xiàn)為線段AB的中點，

故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,

|AB|二2|AF|二2|AC|=4p,

所以ZABC=30°,

BA?BC=4p?2V3P?cos30°=48,解得p=2,

所以拋物線的方程為yMx.

6.已知橢圓況91(a>b>0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為點B,F為其右焦點.若

AF_LBF,設(shè)NABF=a,且a￡則該橢圓離心率e的取值范圍為()

A.[^,V3-1]13欄,1)

「卜2v31n卜百、6'

12rZ1133j

【解析】選A.已知橢圓匕+E=l(a>b>0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F為其右

a2b2

焦點，設(shè)左焦點為N

連接AF,AN,BN,BF,

所以：四邊形AFBN為長方形.

根據(jù)橢圓的定義得|AF|+1AN|=2a,

ZABF=a,則ZANF=a.

所以:2a=2ccosa+2csina

1

利用e=-------------:

2asma-'cosa、知n(a+打

所以次&+與

則產(chǎn)森sg1jW岳1,

即橢圓離心率e的取值范圍為俘，巡一1

>e

二、填空題(每小題4分，共12分)

7.(2016?濟南高二檢測)已知雙曲線￡-^=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點為A,

拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c,且

IFA|=c,則雙曲線的漸近線方程為.

【解題指南】本題考查了雙曲線的知識，利用雙曲線與拋物線準(zhǔn)線的交點為突破

口求出a,b之間的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.

【解析】由題意知Lv'c2-a妥b,

拋物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個交點坐標(biāo)為—4),

即(c,-b),代入雙曲線方程為彳-襄1，得：2,

a，a，

所以以叵_『1,所以漸近線方程為y=±x.

a\a2

答案:y=±x

【補償訓(xùn)練】若曲線言+盤】的焦距與k無關(guān)，則它的焦點坐標(biāo)是——.

【解析】因為k+5>k-2,

又曲線高+福產(chǎn)的焦距與卜無關(guān)，

所以k+5>0,k-2<0,曲線是焦點在y軸上的雙曲線，且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,

故焦點坐標(biāo)為(0,±<7).

答案：(0,土鐘)

8.(2016?青島高二檢測)已知橢圓直+匕過點P(l,1)作直線I與橢圓交于A,B

42

兩點,且點P是線段AB的中點，則直線I的斜率為.

倍+J=L①

【解析】設(shè)A(Xi,yj,B(X2,y2),則々一

4十六L②

①一②得M+k)的一又2){￥2+￥2J仔工-口一。

42

又點P(1,1)是AB的中點,

所以XI+X2=2,y[+y2=2,

所以經(jīng)口咨』，

42

從而空三+%一曠2=0,

又Xi^x2,所以直線/的斜率

X2-X22

答案:-1

2

9.（2016?重慶高二檢測）設(shè)雙曲線C的中心為點0,若有且只有一對相交于點。

所成的角為60°的直線AB和A2B2,使IABRA2B2I,其中A”Bi和A2,成分別是這

對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.

【解題指南】根據(jù)雙曲線的對稱性找到漸近線與直線AB和A2B2的斜率之間的關(guān)

系即可.

【解析】由題意知，直線AB和A2B2關(guān)于x軸對稱，又所成的角為60°，所以直線

方程為y=±=x或y=±'③G又因為有且只有一對相交于點0所成的角為60°的

直線AB和A2B2,使IABUIA2B2I,所以漸近線斜率滿足3Ww、③解得2<eW2.

3a3

答案：（容，2，

三、解答題（每小題12分，共24分）

10.（2016?衡水高二檢測）已知A,B.C均在橢圓M:f+y2=l（a>l）上，直線AB,AC

a*

2

分別過橢圓的左右焦點FbF2,當(dāng)AC?時,有9al?涼2=*1?

（1）求橢圓M的方程.

⑵設(shè)P是橢圓M上的任一點,EF為圓Nd+e-2尸=1的任一條直徑，求日?屈的

最大值.

【解析】⑴因為無?日2=°，所以有而產(chǎn)下2，

所以△AFE為直角三角形，

所以IAF】|COSNFAF2=|AF/,

因為9AFL-AF2=AFf,

所以9AFi?AF2=9|AF1llAF2|cosZF1AF2

T-2.

2

=9|AF2I-AFi=lAFj,

所以1扇11=3|加21，

又|AF/+|A^|=2a,

所以IAFiI=—,IAF21=-,

12c2

在Rt4AFE中,

有I丘

即售戶(滬4(af,°

解得a?=2,橢圓M的方程為三+y2=1.

⑵而?PF=(r^-NF)?(r^-NP)

二(—NF-NP)?(NF-NP)=(-NP)2-加2=電2一1,從而將求pE?PF的最大值轉(zhuǎn)化

為求而2的最大值，P是橢圓M上的任一點，設(shè)P(xo,y。)，則有g(shù)+y：=1,即

X薩2-2喝，

22

又N(0,2),所以加2=x§+(y0-2)=-(y0+2)+10,

而y°￡[T,1],所以當(dāng)y0=-1時，NP2取最大值9,

故PE?即的最大值為8.

【補償訓(xùn)練】設(shè)拋物線yJ2px(p〉0),RtZkA0B內(nèi)接于拋物線,0為坐標(biāo)原點,AOJ_

BO,A0所在的直線方程為y=2x,|AB|=5413,求拋物線的方程.

[解題指南]根據(jù)AO±BO,直線A0的斜率為2,可知直線B0的斜率為-1,進(jìn)而得

2

出直線B0的方程.把這兩條直線方程代入拋物線方程，分別求出A,B的坐標(biāo).根

據(jù)兩點間的距離為5、“3求得p.

【解析】因為AO_LBO,直線AO的斜率為2,

所以直線B0的斜率為」，即直線BD的方程為y=」x,

22

2(P)

把直線y二」x代入拋物線方程解得B坐標(biāo)為(8p,-4p).

2

因為|AB|=5413,

所以(9-+p2+64p2+16p2=25X13,所以p2=4,

因為p>0,所以p=2.故拋物線方程為y2=4x.

11.(2016哪州高二檢測)已知經(jīng)過點A(-4,0)的動直線/與拋物線G:x2=2py(p>0)

相交于B,C.

(1)當(dāng)直線I的斜率是工時,AC=1AB,求拋物線G的方程.

24

⑵設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)B(x“yJ,C(X2,y2),由已知得，當(dāng)kf時,Z方程為y』(x+4),即

22

x=2y-4.由產(chǎn)n/Py，得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根與系數(shù)的關(guān)系得

(x=2y-4,

(7屆=4,,1

\8+p又因為AC二—AB,所以y2~~yi或yi—4y2.

(yi-i-y2=-144

2

由p>0得:yi=4,y2=1,p=2,即拋物線G的方程為x=4y.

⑵由題意知/的斜率存在.設(shè)/：y=k(x+4),BC中點坐標(biāo)為(x0,y0),

由儼，=4y,得x?—4kx—16k=0.①

ly=k(x+4),

所以y=k(x+4)=2k2+4k.

200

所以BC的垂直平分線的方程為

y-2k2-4k=--(x-2k),

k

所以BC的垂直平分線在y軸上的截距為b=2k?+4k+2=2(k+1)2,

對于方程①由△=16k2+64k>0得k>0或k<-4.

所以b￡(2,+8).

所以b的取值范圍為(2,+8).

考前過關(guān)訓(xùn)練（三）

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（30分鐘50分）

一、選擇題（每小題3分，共18分）

1.（2016?臨沂高二檢測）曲線y=-x'+3x2在點（1,2）處的切線方程是（）

A.y=3xTB.y=-3x+5

C.y=3x+5D.y=2x

【解析】選A.y'=-3x?+6x,曲線在點（1,2）處的切線斜率k=-3Xp+6Xl=3,又切

線過點（1,2）,則切線方程為y-2=3（x-l）,整理得：y=3x-l.

【補償訓(xùn)練】若曲線y=x的一條切線I與直線x+4y-8=0垂直,則I的方程

為（）

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

【解析】選A.與直線x+4y-8=0垂直的直線/為4x-y+m=0,即y=x’在某一點的導(dǎo)

數(shù)為4.而y'=4x\所以y=x"在（1,1）處導(dǎo)數(shù)為4,此點處的切線方程為4x-y-3=0.

2.設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f（x）的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖

象可能為（）

【解析】選D.原函數(shù)的單調(diào)性是：當(dāng)x<0時，增；當(dāng)x>0叱單調(diào)性變化依次為增、

減、增.故當(dāng)x<0時，*(x)>0;當(dāng)x當(dāng)時，f'(x)的符號變化依次為

3.如圖所示是函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的大致圖象,則Xf+Xg等于()

w

C.—D.—

3

【解析】選C.由圖象知f(x)=O的根為0,1,2,

所以d=0.

所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).

所以x?+bx+c=0的兩根為1和2.

所以b=-3,c=2.

所以千(x)-3-3x?+2x,則&(x)=3x-6x+2.

因為XI,X2是方程f'(x)=0的兩根,

2

所"以Xi+x2—2,X1X2—

所以X針潟=(x,+x2)-2XIX2=2-2X^=-.

1z33

4.(2016?聊城高三模擬)f(x)