第二十四章圓24.2圓的基本性質(zhì)第2課時(shí)垂徑分弦學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握垂徑定理及其推論，并能應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明問(wèn)題；2.認(rèn)識(shí)垂徑定理及其推論在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，會(huì)用添加輔助線的方法解決實(shí)際問(wèn)題．情景引入趙州橋的主橋拱是圓弧形，全長(zhǎng)50.82米，橋?qū)捈s10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑是多少嗎？探究新知【數(shù)學(xué)探究】探究垂徑定理，本動(dòng)畫資源通過(guò)改變圓的直徑或拖動(dòng)在圓上一點(diǎn)改變弦的位置及長(zhǎng)度，通過(guò)翻折探究垂徑定理。探究新知1.如下圖：AB是⊙O的一條弦，作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.我們可以得到：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.這就是垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.探究新知2.如下圖：AB是⊙O的一條弦,且AM=BM，過(guò)點(diǎn)M作直徑CD.我們可以得到：CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.這就是垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.合作探究探究垂徑定理的推導(dǎo).如下圖：AB是⊙O的一條弦，作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.由此推導(dǎo)出垂徑定理.合作探究證明：連接OA,OB,則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,弧AC和弧BC重合,弧AD和弧BD重合.∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.新知運(yùn)用1.如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是().A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．4cm解：∵直徑AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.連接OD，∵P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2cm，∴AB＝4cm.故選D.新知運(yùn)用2.如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，∴OP的長(zhǎng)度范圍是3cm≤OP≤5cm．隨堂檢測(cè)1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的弧AB)，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是弧AB上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解：∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設(shè)半徑為R，在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.隨堂檢測(cè)2.如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是弧AB、弧AC的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)是().A．100°B．110°C．120°D．130°解：已知M、N分別是弧AB、弧AC的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.隨堂檢測(cè)3.如圖，⊙O的直徑CD過(guò)弦AB的中點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長(zhǎng)為().A．9B．8C．6D．4解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直徑CD過(guò)弦AB的中點(diǎn)E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝＝4，∴AB＝2BE＝8.故選B.課堂小結(jié)【知識(shí)點(diǎn)解析】垂徑定理，本資源主要總結(jié)垂徑定理