演示文稿斯托克斯公式目前一頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)（優(yōu)選）斯托克斯公式目前二頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)一、斯托克斯公式有向曲面的正向邊界曲線：的正向與的側(cè)符合右手法則，如圖.

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則目前三頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)設(shè)Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則或定理10.8斯托克斯公式目前四頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)

將斯托克斯公式分為三式首先證明第一式.證明思路:第二類曲面積分第一類曲面積分二重積分第二類曲線積分第二類曲面積分目前五頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)證方向?yàn)樯蟼?cè)與平行z

軸的直線只交于一點(diǎn),

目前六頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前七頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)注目前八頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)同理可證其余二式:三式相加可得目前九頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)(2)曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過作輔助線面把分成與z軸只交在每一部分上應(yīng)用斯托克由于沿輔助曲線方向相所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.于一點(diǎn)的幾部分,然后相加,斯公式,反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,目前十頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)注

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.1o斯托克斯公式的實(shí)質(zhì):2o斯托克斯公式便于記憶的形式:或coscoscosdS目前十一頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)3o斯托克斯公式是格林公式的推廣斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向閉區(qū)域時(shí)xyzO=L目前十二頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)xyzO=LD目前十三頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)這正是格林公式.4°何時(shí)采用斯托克斯公式？的積分曲線的參數(shù)方程不易寫出，或用直接法計(jì)算較繁時(shí)，可考慮用斯托克斯公式.目前十四頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)

在斯托克斯公式中，是以為邊界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)即可).5o如何選?。?/p>

通常，取為平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.目前十五頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)利用斯托克斯公式計(jì)算例1其中為平面x+y+z=1

被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)邊界,

它的正方向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.記三角形域?yàn)?取上側(cè),解目前十六頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)利用輪換對稱性目前十七頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分例2解目前十八頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前十九頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前二十頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)為柱面與平面y=z

的交線從z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解(方法1)

則其法線方向余弦例3設(shè)為平面z=y

上被所圍橢圓域且取下側(cè),目前二十一頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)(方法2)將：參數(shù)化：目前二十二頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前二十三頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)二、環(huán)量與旋度定義向量場稱為注改變?chǔ)５沫h(huán)行方向時(shí),環(huán)量要變號(hào).1.環(huán)量目前二十四頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)為定義當(dāng)函數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),稱向量2.旋度由哈密爾頓算符的定義目前二十五頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)注3o

利用旋度,可將斯托克斯公式寫為4o

斯托克斯公式的物理解釋:等于向量1o2o目前二十六頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)設(shè)某剛體繞定軸l轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M

的線速度為5o旋度的力學(xué)意義目前二十七頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)線速度場中任一點(diǎn)處的旋度等于剛體旋轉(zhuǎn)角速度的2倍，這就是“旋度”一詞的由來.除去一個(gè)常數(shù)因子2外，恰好等于物體旋轉(zhuǎn)的角速度.目前二十八頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn).M根據(jù)斯托克斯公式和積分中值定理目前二十九頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn).M目前三十頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)稱環(huán)量對面積的變化率向量場的旋度是一個(gè)向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是該點(diǎn)處最大方向旋量的值.目前三十一頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定理10.9

設(shè)空間閉區(qū)域G是一個(gè)一維單連通域,

要條件是即★G內(nèi)的任一閉曲線總可張一片完全含于G內(nèi)的曲面目前三十二頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)注當(dāng)成立時(shí)或用定積分表示為目前三十三頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前三十四頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)例4與路徑無關(guān),并求函數(shù)解

令驗(yàn)證曲線積分積分與路徑無關(guān),因此選擇特殊路徑目前三十五頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前三十六頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)例5求電場強(qiáng)度的旋度.解

(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個(gè)電場無旋.目前三十七頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)保守場：而與從A

到B

的路徑無關(guān).目前三十八頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式目前三十九頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前四十頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)4.向量即目前四十一頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)本章小結(jié)

梯度:散度:旋度:則1.場論中的三個(gè)重要概念目前四十二頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)場論中的三個(gè)重要定理（1）格林公式（2）斯托克斯公式（3）高斯公式目前四十三頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖目前四十四頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)目前四十五頁\總數(shù)五十頁\編于二點(diǎn)備用題

例1-1

相交的圓弧連接而成的閉曲線.解Γ在球