第十章擺列、組合和二項式定理名師檢測題時間：

120分鐘

分值：

150分第Ⅰ卷選擇題

共60分一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．用0到9這10個數(shù)字，能夠組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為A．324B．328C．360D．648剖析：若個位數(shù)是0，從其余9個數(shù)中拿出兩個數(shù)排在前兩位，有2種排法；若個位數(shù)不是0，先從92、4、6、8中取一個放在個位，在其余的3個數(shù)和1、3、5、7、9中拿出1個數(shù)排在首位，再從其余8個數(shù)包含0中拿出一個數(shù)排在十位，有4×8×8＝256種排法．所以知足條件的三位偶數(shù)共有A92＋4×8×8＝328個，應選B答案：B2．某校在高二年級開設選修課，此中數(shù)學選修課開三個班．選課結束后，有4名同學要求改修數(shù)學，但每班至多可再接收2名同學，那么不同樣的分配方案有A．72種B．54種C．36種D．18種剖析：依題意，就要求改修數(shù)學的4名同學實質到三個班的詳盡人數(shù)分類計數(shù)：第一類，此中一個班接收2名、另兩個班各接收1名，分配方案共有122種；第二類，此中一個班不接收、另兩C3·C4·A2＝36個班各接收2名，分配方案共有1236＋18＝54種，選C3·C4＝18種．所以，知足題意的不同樣的分配方案有B答案：B3．數(shù)列{an}共有6項，此中三項是1，兩項是2，一項為哪一項3，則知足上述條件的數(shù)列共有A．24種B．60種C．72種D．120種剖析：∵數(shù)列{a}共有6項，能夠找6個地址，先放3個1，相當于從6個地址中選出3個地址放1，n因為3個1同樣，所以沒有序次，共有3種方法；近似地，剩下的3個地址2個放2,1個放3，所以一共C6有C63C32C11＝60種，應選B答案：B4．為預防和控制甲型流感，某學校醫(yī)務室欲將22支同樣的溫度計散發(fā)到高三年級10個班級中，要求散發(fā)到每個班級的溫度計很多于2支，則不同樣的散發(fā)方式共有A．45種B．55種C．90種D．100種剖析：依題意，先把這22支同樣的溫度計給每班分配2支，則知足題意的散發(fā)方式的種數(shù)就取決于余下的2支溫度計的分配方法種數(shù)，余下的2支溫度計的分配方法有兩類：第一類，將余下的2支溫度計所有分給某一個班，有101種方法；第二類，將余下的2支溫度計所有分給某兩個班，有102種C＝10C＝45方法．所以，知足題意的散發(fā)方式共有10＋45＝55種，選B答案：B5．計劃在4個候選場館舉辦排球、籃球、足球3個項目的競賽，在同一個場館競賽的項目不高出2項的安排方案共有A．24種B．36種C．42種D．60種剖析：依題意知，知足題意的方案可分為兩類：第一類，這3個項目分別安排在某3個場館，相應的3＝24；第二類，這3個項目分別安排在某2個場館，相應的方案數(shù)為2124423知足題意的方案共有24＋36＝60種，選D答案：D6．從8個不同樣的數(shù)中選出5個數(shù)組成函數(shù)f＝1,2,3,4,5的值域，若是8個不同樣的數(shù)中的A、B兩個數(shù)不能夠是＝5對應的函數(shù)值，那么不同樣的選法種數(shù)為23148677C．C61A74D．沒法確立剖析：依題意，分步確立當取1、2、3、4、5時相應的函數(shù)值，第一步，從除、外的六個數(shù)中任AB選一個作為＝5時相應的函數(shù)值，有17個數(shù)中任選4個作為取1、2、3、C種方法；第二步，再從其余的64時相應的函數(shù)值，有4種方法．所以知足題意的不同樣的選法種數(shù)有14767答案：C7．某學校有教職工100人，此中教師80人，職員20人，現(xiàn)從中采用10人組成一個察看團出門學習察看，則這10人中恰好有8名教師的不同樣選法的種數(shù)是2882A．C80C20B．A80C20828280208020剖析：依題意得這10人中恰好有8名教師的不同樣選法的種數(shù)是C808C202，選D答案：D8．若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋n＋1＋n＋2均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“可連數(shù)”．比方：32是“可連數(shù)”，因32＋33＋34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23＋24＋25產(chǎn)生進位現(xiàn)象．那么，小于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為A．27B．36C．39D．48剖析：依據(jù)題意，要構造小于1000的“可連數(shù)”，個位上的數(shù)字的最大值只好為2，即個位數(shù)字只好在0,1,2中取．十位數(shù)字只幸虧0,1,2,3中??；百位數(shù)字只幸虧1,2,3中?。敗翱蛇B數(shù)”為一位數(shù)時：有C31＝3個；當“可連數(shù)”為兩位數(shù)時：個位上的數(shù)字有0,1,2三種取法，十位上的數(shù)字有1,2,3三種取法，即有3131CC＝9個；當“可連數(shù)”為三位數(shù)時：有111C3C4C3＝36個；故共有：3＋9＋36＝48個，應選D答案：D9．2＋4202222022被3除的余數(shù)是＝a0＋a1＋a2＋＋a2022，則a0＋a2＋a4＋＋a2022A．0B．1C．2D．不能夠確立剖析：在已知等式中分別取＝1與＝－10122022202201220222022，得a＋a＋a＋＋a＝6，a－a＋a－＋a＝2202220222022202220222022兩式相加得2a0＋a2＋＋a2022＝6＋2，即a0＋a2＋＋a2022＝錯誤!×6＋2＝錯誤!×6＋22022整除；注意到錯誤!×6能被3202221004100410041004110032，所以選C2＝2×2＝2×3＋1＝2×3＋C·3＋＋C·3＋1，被3除的余數(shù)是答案：C10．若是122＋＋n－1n－1nn＝1＋Cn＋CnmCn＋Cn，那么錯誤!等于fmmmmA．2C．1D．3n剖析：∵fm＝1＋m，∴錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝2，應選A答案：A11．C41＋C422＋C433＋C4442的睜開式的所有項的系數(shù)和為A．64B．224C．225D．256剖析：在已知代數(shù)式中?。?得其睜開式的所有項的系數(shù)和等于C41＋C42＋C43＋C442＝152＝225，選C答案：C12．設5－錯誤!n的睜開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則睜開式中3的系數(shù)為A．－150B．150C．－500D．500剖析：依題意得，＝4n＝2n2，＝2n，于是有2n2－2n＝240，2n＋152n－16＝0,2n＝16＝24，＝4，二項MNn式5－錯誤!n即5－錯誤!4T＝的睜開式的通項＋1r，令4－錯誤!＝3，得r＝2，所以5－錯誤!n的睜開式中3的系數(shù)等于24－22C4·5·－1＝150，選B答案：B第Ⅱ卷非選擇題共90分二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上．13．北京大學今年推行校長實名介紹制，某中學獲取介紹4名學生的資格，校長要從7名優(yōu)秀學生中介紹4名，7名學生中有2人有體育專長，還有2人有藝術專長，其余3人有其余專長，那么最少含有1名有體育專長和1名有藝術專長的學生的介紹方案有________種用數(shù)字作答．剖析：依題意，介紹方案分四類：①1名體育專長生，1名藝術專長生，有112＝12種方案；②2C2C2C3名體育專長生，1名藝術專長生，有211＝6種方案；③1名體育專長生，2名藝術專長生，有121223223＝6種方案；④2名體育專長生，2名藝術專長生，有22＝1種方案．于是，知足題意的介紹方案共有C2C212＋6＋6＋1＝25種方案．答案：2514．若是把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字同樣的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個．剖析：依題意，此題中的“好數(shù)”必然是由三個1與其余一個數(shù)或一個1與其余三個同樣的數(shù)組成，111故共有C3C3＋C3＝12個．答案：1215．在＋錯誤!20的睜開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有________項．剖析：注意到二項式＋錯誤!20的睜開式的通項是r＋1＝C20r·20－r·錯誤!r＝C20r·3錯誤!·20－r·＝T0,4,8,12,16,20時，相應的項的系數(shù)是有理數(shù)．所以＋錯誤!20的睜開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項共有6項．答案：616．已知數(shù)列{a}的通項公式為a＝2n－101Cn＝________nn1n2nn＋1n剖析：∵an＝2n－101n0011nn0011＋＋＋1，∴a1Cn＋a2Cn＋＋an＋1Cn＝Cn2＋1＋Cn2＋1＋＋Cn2＋1＝Cn2＋Cn2nn01nnnnnCn2＋Cn＋Cn＋＋Cn＝2＋1＋2＝3＋2答案：2n＋3n三、解答題本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．本小題滿分10分7個人到7個地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少種旅游方案剖析：此題可用消除法，7個人分別去7個地方共有7種可能．A71若甲、乙、丙、丁4人同時都去各自不能夠去的地方旅游，而其余的人能夠去余下的地方旅游的不同樣3＝6種．3選法有A2若甲、乙、丙、丁中有3人同時去各自不能夠去的地方旅游，有C43種，而4人中剩下1人旅游的地方13種，所以共有313＝72種．是C3種，都選完后，再考慮無條件3人的旅游方法是A3C4C3A33若甲、乙、丙、丁4人中有2人同時去各自不能夠去的地方旅游，有2種，余下的5個人分別去5個C4不同樣地方的方案有A5種，但是此中又包含了有條件的四人中的兩人不如設甲、乙兩人同時去各自不能夠去5的地方共A33種，和這兩人中有一人去了自己不能夠去的地方共13253132A3A3種，所以共有C4A5－A3－2A3A3＝468種．4若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能夠去的地方旅游，有1種方案，而余下的六個人的旅C4游方案仍與3想法一致，共有16324315213種．C4[A6－A3－C3A4－A3－C3A5－A3－2A3·A3]＝1704所以知足以上狀況的不同樣旅游方案，共有7A7－6＋72＋468＋1704＝2790種．18．本小題滿分12分設5錯誤!－錯誤!n的睜開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，M－N＝9921判斷該睜開式中有無2項如有，求出它的系數(shù)；若沒有，說明原因；求此睜開式中有理項的項數(shù)．剖析：令＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，得4n－2n＝992，即2n－322n＋31＝＝32，n＝51由題意，錯誤!＋錯誤!＝2，r＝2項存在，它的系數(shù)為－2502由通項可知，一定錯誤!＋錯誤!＝錯誤!為整數(shù)．分別把r＝0,1,2,3,4,5代入，只有r＝3成立，故只有一項有理項．19．本小題滿分12分把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序擺列組成一個數(shù)列．143251是這個數(shù)列的第幾項2求這個數(shù)列的第96項是多少求這個數(shù)列的各項和．剖析：1先考慮大于43251的數(shù)有三類：以43個，以435開頭的有5開頭的有A4個，以45開頭的有A3A22個，則不大于43251的五位數(shù)有：5432個，A5－A4＋A3＋A2＝88即43251是此數(shù)列的第88項．2此數(shù)列共有120項，即96項今后還有120－96＝24項，即比96項所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有24個，而以5開頭的五位數(shù)恰好有496A4＝24個，所以小于以5開頭的五位數(shù)中最大的一個就是該數(shù)列的第項，即為453213因為1,2,3,4,544各在萬位時都有A個五位數(shù)，所以萬位上數(shù)字的和為1＋2＋3＋4＋5×A×10000；44同理，它們在千位、百位、十位、個位上也都有44A4個五位數(shù)，所以其和為1＋2＋3＋4＋5×A4×1＋10＋100＋1000，綜上，這個數(shù)列的和為：1＋2＋3＋4＋5×A44×1＋10＋100＋1000＋10000＝3999960－120．本小題滿分12分1求證：Cn＝nCn－1；等比數(shù)列{an}中，an＞0，化簡：12nn＝gg－＋－1Cngn＋11－Cn2＋Cng3Aaaaa剖析：1證明：∵左式＝·錯誤!＝錯誤!n·錯誤!1nCn－1＝右式，1∴Cn＝nCn－1由已知：an＝a1qn－1，123nn1n1n1n1n112nn1－2C23n－1Cn]＝g1[1－C＋C－＋－1C]－g[C＋3C－＋－1·nnnnnnnn01＋nC2n－1·nCn－111n－1n－1n－n－1n0n1n2－＋－1n－1nn－1＝0－ngq[C－1－C－1＋C－1·C－1]＝－ngq1－1n－1＝021．本小題滿分12分已知錯誤n*的睜開式中第五項的系數(shù)與第三項系數(shù)的比是10∶1!n∈N求睜開式各項系數(shù)的和；求睜開式中含錯誤!的項；求睜開式中系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．剖析：1∵錯誤!n睜開式中的通項為，2由題意得錯誤!＝錯誤!，∴n－5n－24＝0，令＝1，則錯誤!8的各項系數(shù)和為1睜開式通項為，令錯誤!＝錯誤!，得r＝1，∴睜開式中含錯誤!的項為3睜開式的第r項，第r＋1項，第r＋2項的系數(shù)絕對值分別為r－1r－1rrr＋1r＋1C·2，C2，C·2888若第r＋1項的系數(shù)絕對值最大，則有錯誤!解得5≤r≤6即系數(shù)絕對值最大的項為第六項或第七項．T6＝－1792錯誤!，T7＝1792·錯誤!故睜開式中系數(shù)最大的項為1792·錯誤!，系數(shù)最小的項為－1792錯誤!22．本小題滿分12分設f0·0n1錯誤!·1－n－12·f是定義在R上的函數(shù)，且＝Cn錯誤!·1－＋Cn·＋Cngff錯誤!·2·1－n－2