章末培優(yōu)專練

發(fā)展核心素養(yǎng),有助于學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.通過(guò)對(duì)平行四邊形的學(xué)習(xí),能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,同時(shí)核心素養(yǎng)中的直觀想象和邏輯推理也體現(xiàn)在其中.如第1題,在探究線段之間的數(shù)量關(guān)系時(shí),注重對(duì)比訓(xùn)練,正方形中的解題思路在菱形中仍然適用,關(guān)注邏輯推理;第2題,研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的恒等關(guān)系,在直觀想象中蘊(yùn)含著抽象、推理,表明核心素養(yǎng)不是相互獨(dú)立的,而是相互“滲透”的.

1.[與正方形有關(guān)的探究性問(wèn)題]如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于點(diǎn)F,連接PC.(1)求證:PC=PE.(2)求∠CPF的度數(shù).(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.答案1.(1)證明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,AB=CB,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP,∴PA=PC.∵PA=PE,∴PC=PE.(2)解:由(1)知△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,∴∠CPF=∠EDF=90°.(3)解:AP=CE.理由如下:在菱形ABCD中,AB=CB,∠ABP=∠CBP=60°,∠BAD=∠BCD.在△ABP和△CBP中,AB=CB,∠ABP=∠CBP,PB=PB,∴△ABP≌△CBP,∴AP=CP,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP.∵AP=EP,∴CP=EP,∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP.∵∠CFP=∠EFD,∴180°-∠CFP-∠DCP=180°-∠EFD-∠AEP,∴∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,∴△EPC是等邊三角形,∴CP=CE,∴AP=CE.2.[正方形與圖形旋轉(zhuǎn)]已知正方形ABCD中,E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD交BC于點(diǎn)F,連接DF,G為DF的中點(diǎn),連接EG,CG.(1)如圖1,求證:EG=CG.(2)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2,取DF的中點(diǎn)G,連接EG,CG,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖3,取DF的中點(diǎn)G,連接EG,CG,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論?(均不要求證明)答案

(2)解:(1)中的結(jié)論仍然成立.證明如下:連接AG,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M,與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.在△DAG與△DCG中,AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG,∴AG=CG.在△DMG與△FNG中,∠DGM=∠FGN,DG=FG,∠DMG=∠FNG,∴△DMG≌△FNG,∴MG=NG.易知四邊形AENM為矩形,∴AM=EN.在Rt△AMG與Rt△ENG中,AM=EN,MG=NG,∴Rt△AMG≌Rt△ENG,∴AG=EG.∴EG=CG.(3)解:(1)中的結(jié)論仍然成立.其他的結(jié)論還有EG⊥CG.(答案不唯一)1.[2021河北中考]如圖1,?ABCD中,AD>AB,∠ABC為銳角.要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N,M,使四邊形ANCM為平行四邊形,現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案,則正確的方案(

)

A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是答案1.A

對(duì)于甲方案,連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AC經(jīng)過(guò)BD的中點(diǎn)O,且AO=CO,又BO=DO,BN=NO,OM=MD,所以NO=OM,所以四邊形ANCM是平行四邊形;對(duì)于乙方案,易證△ABN≌△CDM,所以AN=CM.因?yàn)锳N⊥BD,CM⊥BD,所以AN//CM,所以四邊形ANCM是平行四邊形;對(duì)于丙方案,易證△BAN≌△DCM,所以AN=CM,∠ANB=∠CMD,所以∠ANM=∠CMN,所以AN//CM,所以四邊形ANCM是平行四邊形.綜上可知,甲、乙、丙三種方案都是正確的.2.[2021四川南充中考]如圖,點(diǎn)E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),點(diǎn)F,G,H分別是BE,BC,CE的中點(diǎn),AF=3,則GH的長(zhǎng)為

.

答案

3.[2021天津中考]如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在BC,CD的延長(zhǎng)線上,且CE=2,DF=1,G為EF的中點(diǎn),連接OE,交CD于點(diǎn)H,連接GH,則GH的長(zhǎng)為

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答案

4.[2020北京中考]如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G在AB上,EF⊥AB,OG//EF.(1)求證:四邊形OEFG是矩形.(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的長(zhǎng).答案4.(1)證明:解法一

∵四邊形ABCD是菱形,∴OB=OD,又點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),∴OE是△ABD的中位線,∴OE//AB,又OG//EF,∴四邊形OEFG是平行四邊形.∵EF⊥AB,∴四邊形OEFG是矩形.