鬲高春角岸

難點(diǎn)37數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，

相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與兒何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、

兒何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就

是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭

示其兒何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題

得到解決.運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的兒何意義及常見

曲線的代數(shù)特征

?難點(diǎn)磁場

1.曲線y=l+“二”(-2WxW2)與直線產(chǎn)r(x-2)+4有兩個交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)

廠的取值范圍

2.設(shè)於)=/-2QX+2,當(dāng)［-1,+8)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范

圍.

?案例探究

［例1］設(shè)4={1I-2W%WQ},B={yIy=2x+3,且％￡A},C={zIz=x2,

且x￡A},若C=B,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

命題意圖：本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目.屬★★★

★級題目.

知識依托：解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確

定集合C進(jìn)而將CjB用不等式這一數(shù)學(xué)語言加以轉(zhuǎn)化.

錯解分析：考生在確定z=f,的值域是易出錯，不能分類

而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉-2這一種特殊情形.

技巧與方法：解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語

言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖

形語言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.

解：二產(chǎn)2%+3在［-2,a］上是增函數(shù)

-IWyW2a+3,即B={yI-IWyW2a+3}

作出z=f的圖象,該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下:

匕匕

①當(dāng)-2WaW0時，以2&W4即C={zIz?&W4}

要使R8,必須且只須2。+324得L與-2WQV0矛盾.

-2

②當(dāng)04W2時,0WzW4即C={zI0WzW4},要使CqB,由圖可知:

必須且只需f"+3；4|-

0<a<2--------I..■L—J——>

1:4042a+3-

解得，WaW2

2

③當(dāng)a>2時，OWzWM,即C={zI0WzW“2},要使必須且只需

V+3解得2?

a>2

④當(dāng)。<一2時、A=0此時5=C=0,則成立.

綜上所述，。的取值范圍是（-8,-2）U:1,3］.

［例2］已知QCOSa+bsina=c,QCOS￡+bsin萬=（?（。匕70,a-￡Wkn,女￡

Z）求證：

a-pc2

cos2

2a2+b2

命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力.屬★★★★★

級題目.

知識依托：解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程.進(jìn)而由

A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上.

錯解分析：考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一.如何巧妙

利用其兒何意義是為瓶頸之二.

技巧與方法：善于發(fā)現(xiàn)條件的兒何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚

結(jié)論的兒

何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.

證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosa,sin與點(diǎn)8

（cosB,

sin￡）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=l的兩個交點(diǎn)如圖.

從而：IABI2=(cosa-cos^)2+(sina-sin嚀

=2-2cos(a-￡)

又???單位圓的圓心到直線I的距離

由平面兒何知識知IOAI2_(g?A5I了一即

,2-2cos(a-￡),c2

1-------------------------=a~2=—：

4a-+b

?錦囊妙計(jì)

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化:

（1）集合的運(yùn)算及韋恩圖

（2）函數(shù)及其圖象

（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線

以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式

的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析兒何方法.

以數(shù)助形常用的有：借助于兒何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)

果與兒何定理的結(jié)合.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)方程sin(x-￡)=■!■光的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是()

44

A.2B.3C.4D.以上均不對

2.(★★★★★)已知人龍)=(X-Q)(X-b)-2(其中aVb),且￡是方

程/(x)=0的兩根(則實(shí)數(shù)。、氏a、萬的大小關(guān)系為()

A.a<a<b<B.a<a<]3<b

C.a<a<b<J3D.a<a<]3<b

二、填空題

3.(★★★★★)(4cos0+3-202+(3sin&-(9、t為參數(shù))的最

大值是.

4.(★★★★★)已知集合4={%I5-尤，,2(丑_1)},B={xIx2-axWx-a},

當(dāng)A妥8時，則a的取值范圍是.

三、解答題

5.(★★★★)設(shè)關(guān)于龍的方程sin_Y+V^cosx+a=0在(0,勿)內(nèi)有相異解

a、￡.

(1)求。的取值范圍；

(2)求tan(a+￡)的值.

6.(★★★★)設(shè)A={(%,y)|y=ha?-x1,a>0},B={(x,y)I(x-l)2+(y-

3)2=/刈>0},且AGBW0,求a的最大值與最小值.

22

7.(★★★★)已知A(1,1)為橢圓與+?=1內(nèi)一點(diǎn)，吊為橢圓左焦

點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn).求IPQI+I而I的最大值和最小值.

8.(★★★★★)把一個長、寬、高分別為25cm、20cm>5cm的長方

體木盒從一個正方形窗口穿過，那么正方形窗口的邊長至少應(yīng)為多少？

參考答案

?難點(diǎn)磁場

1.解析：方程產(chǎn)的曲線為半圓，尸Q-2)+4為過(2,4)的直

線.

答案：(■］

2.解法一：由人工)>。，在［-1,+8)上恒成立=尤2-2。工+2-在［-

1,+8)上恒成立.考查函數(shù)g(x)=x2-2ax+2-a的圖象在［-1,+81時位于x

軸上方.如圖兩種情況:

不等式的成立條件是：(1)A=4a2-4(2-a)VOnaC

(-2,1)

A>0

(2)<a<-\n“￡(-3,-2],綜上所述Q￡(-3,1).

g(-D>0

解法二：由Mx)>aox2+2>a(2x+l)

2

令yi=x+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象.

如圖滿足條件的直線/位于。與L之間，而直線hA對應(yīng)的。值(即直

線的斜率)分別為1,-3,

故直線/對應(yīng)的3,1).

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出yi=sin(x-7)與丁2=；8的圖象如圖.

答案：B

2.解析：是方程g(x)=(%-“)(％-6)=0的兩根，在同一坐標(biāo)系中作出函

數(shù)/(%)、g(x)的圖象如圖所示：

答案：A

二、3.解析：聯(lián)想到距離公式，兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(4cos?,3sin0),B(2L3,1-

2。

點(diǎn)A的兒何圖形是橢圓，點(diǎn)8表示直線.

考慮用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

答案.7后

4.解析:解得A={xI%e9或％W3},B={xI(x-a)(x-1)^0},畫數(shù)軸可

得.

答案：。＞3

三、5.解：①作出y=sina+q)(%￡(0,%))及曠=-鼻的圖象，知當(dāng)I-]?

VI且——

2

4時，曲線與直線有兩個交點(diǎn)，故-2,-6)U(-6,2).

②把sina+V5cos。=-a,sin8+拒cos￡=-a相減得tana+,

23

故tan(。+￡)=3.

6.解：?.?集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)。為圓心，&Q為半徑的

半圓；集合8中的元素是以點(diǎn)。'(1,Q)為圓心，。為半徑的圓.如圖所示

,.,AG8W0,.,.半圓。和圓。,有公共點(diǎn).

顯然當(dāng)半圓。和圓0'外切時，a最小

版a+a=I00rI=2,「?Qmin=2后"2

當(dāng)半圓。與圓O'內(nèi)切時，半圓。的半徑最大，即0Q最大.

此時后Q-Q=I00'|=2,Qmax=2拒+2.

22

7.解：由三+々=1可知。=3力=后,c=2,左焦點(diǎn)FQ2,0),右焦點(diǎn)&(2,0).

由橢圓定義，IPQI=2。-IPF2|=6-\PF2\,

：.\PF{\+\PA\=6-I尸產(chǎn)2I+I%I=6+I以I-|PF2|

如圖：

由II雨I-I尸&IIWIA尸2I=J(2T)2+(0_1)2=正知

-42^\PA\~\PF2\V2.

當(dāng)尸在A&延長線上的尸2處時，取右“=”號；

當(dāng)P在Aa的反向延長線的尸?處時，取左“=”號.

即I雨1-I尸&I的最大、最小值分別為0,-V2.

于是I尸QI+I出I的最大值是6+0,最小值是6-V2.

8.解：本題實(shí)際上是求正方形窗口邊長最小值.

由于長方體各個面中寬和高所在的面的邊長最小，所以應(yīng)由這個面對稱

地穿過窗口才能使正方形窗口邊長盡量地小.

如圖：

設(shè)AE=x,BE=y,

則有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y

.1+/=2()2卜=1。后

、2

.,1C心叵25后

??AB=九+y=10V2H------=--------.

22

難點(diǎn)38分類討論思想

分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以

分析解決.分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識面、分類思想和

技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹立分類討論思

想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體，

明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論

?難點(diǎn)磁場

1.(★★★★★)若函數(shù)/(*)=；3-1)1+3辦2_：x+(在其定義域內(nèi)有極

值點(diǎn)，則。的取值為.

2.(★★★★★)設(shè)函數(shù),穴%)=*，|x-<2I+1,x￡R.

(1)判斷函數(shù)"x)的奇偶性；

(2)求函數(shù)大%)的最小值.

?案例探究

［例1］已知｛即｝是首項(xiàng)為2,公比為(的等比數(shù)列，S”為它的前〃項(xiàng)和.

⑴用S”表示S〃+i；

(2)是否存在自然數(shù)c和％,使得孤三>2成立.

S「c

命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識以及探索和論證存在性

問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不

等式；數(shù)列的基本性質(zhì).

錯解分析：第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯點(diǎn)，不能確定出

技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型.在探討第2

問的解法時，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想：即對雙參

數(shù)A,c輪流分類討論，從而獲得答案.

解：(1)由5?=4(1-—得

In

S,,M=4(1—擊)=；S“+2,(〃￡N*)

(2)要使二￡>2,只要''一2)<0

工一cc-Sk

因?yàn)镾*=4(1—:)<4

所以&一(4—2)=2」S*>0,(左6N*)

故只要?S?-2<cVS&,(k0N*)

因?yàn)镾,>Sk，(k￡N*)①

所以打-22|Si-2=1.

又&V4,故要使①成立，c只能取2或3.

當(dāng)c=2時，因?yàn)镾]=2,所以當(dāng)攵=1時，cVS?不成立，從而①不成立.

當(dāng)女22時，因?yàn)榫?-2、>c,由S&VSA+#WN*)得

43-2<衿3-2

故當(dāng)上22時，^Sk-2>c,從而①不成立.

當(dāng)c=3時，因?yàn)镾]=2,S2=3,

所以當(dāng)k=l,左=2時，cVSk不成立，從而①不成立

因?yàn)榫?-2=?>',又|S「2〈3+1-2

所以當(dāng)左23時，^Sk-2>c,從而①成立.

綜上所述，不存在自然數(shù)c,匕使3金>2成立.

Sk~c

[例2]給出定點(diǎn)A(a,0)(a>0)和直線/：x=-1,8是直線/上的動

點(diǎn)，N8Q4的角平分線交A3于點(diǎn)C求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的

曲線類型與Q值的關(guān)系.

命題意圖：本題考查動點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識，分類討

論的思想方法.綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析兒何知

識解題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：求動點(diǎn)軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

的基本特點(diǎn).

錯解分析：本題易錯點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)

滿足的關(guān)系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.

技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā),

探尋動點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).

解法一：依題意，記8(-1,份，(》￡R),則直線0A和OB的方程分

另！J為y=0和y=-bx.

設(shè)點(diǎn)C(%,y),則有0?a,由0C平分NA08,知點(diǎn)C到Q4、0B距

離相等.

Iy+bx\

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得Iy①

yll+b2

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

1+a

由X-QWO,得匕=一劍處②

x-a

將②式代入①式，得y?[(1-a)%?-2ax+(l+a)y2]=0

若yWO,則

(1-a)x2-2ax+(l+Q)y2=0(0Vx〈a)

若),=0則b=O,NAQB=?,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)滿足上式.

綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為

(1-a)x2-2ax+(l+?)y2=0(0<x<a)

⑴當(dāng)a=l時，軌跡方程化為y2=x(0WxVl)③

此時方程③表示拋物線弧段;

(ii)當(dāng)軌跡方程化為

)2

——+-^=l(OWx<a)④

(*)2J

1-a1-a2

所以當(dāng)0VQ<1時、方程④表示橢圓弧段;

當(dāng)Q>1時，方程④表示雙曲線一支的弧段.

解法二：如圖，設(shè)。是/與入軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作

龍軸，E是垂足.

(i)當(dāng)I8。IW0時，

設(shè)點(diǎn)C(x,y),則OVxVa,yNO

由CE〃出)，得I8。I」",?她=?-(l+a).

IEAIa-x

'：ZCOA=ZCOB=ZCOD-ZBOD="-ZCOA-/BOD

：.2ZC0A=Ji-/BOD

2tanCOA

..tan(2NC0A)

1-tan2cOA

tan(乃-NBOD)--tanBOD

/tanCOA=

x

39=需二照(/)

2.里

d(i+〃)整理，得

i)'a-x

r

(1-a)x2~2ax+(1+?)y2=0(0<x<a)

(ii)當(dāng)I8。I=0時,ZBOA=JT,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),滿足上式.

綜合⑴、(ii),得點(diǎn)C的軌跡方程為

(1-a)/-2ax+(l+a)y2=0(0W%Va)

以下同解法一.

解法三：設(shè)C(%,y)、B(-l,b),則8。的方程為y=-灰，直線A8的方程

為

b,、

y=一；--(x-a)

1+a

?.?當(dāng)田。時、0C平分NA08,設(shè)NAOC=

直線。。的斜率為攵=tan0,OC的方程為y=kx于是

2tan。2k

tan23=

1-tan20l-k2

又tan20=-b

?.?C點(diǎn)在AB上

/.kx=———(X-6!)②

\+a

由①、②消去》，得(l+a)4=2+2(x-a)③

i—k~

又上=2,代入③，有

X

2.2

(l+a)-^--x——三(x-a)

x1一

X

整理，得(a-1)#-(1+。))?+2以x=0④

當(dāng)》=0時，即8點(diǎn)在x軸上時，C(0,0)滿足上式:

(X--—)22

0W1時，④式變?yōu)橐簧弦惨?^^=1

(，21

1-a\-a

當(dāng)0＜。＜1時，④表示橢圓弧段；

當(dāng)。＞1時，④表示雙曲線一支的弧段;

當(dāng)。=1時，④表示拋物線弧段.

?錦囊妙計(jì)

分類討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對問題分類、求解，要特別注意分

類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.分類討論常見的依據(jù)是：

1.由概念內(nèi)涵分類.如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面

的夾角等定義包含了分類.

2.由公式條件分類.如等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線

的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.

3.由實(shí)際意義分類.如排列、組合、概率中較常見，但不明顯、有些應(yīng)用

問題也需分類討論.

在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、

變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知lim匕其中Q￡R,則Q的取值范圍是()

?->?>2"+a"

A.a<0B.aV2或V

C.-2<a<2D.a<-2或a>2

2.(★★★★★)四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個

不共面的點(diǎn)，不同的取法共有()

A.150種B.147種C.144種D.141種

二、填空題

3.(★★★★)已知線段48在平面。外，A、8兩點(diǎn)到平面。的距離分

別為1和3,則線段AB的中點(diǎn)到平面a的距離為.

4.(★★★★★)已知集合A={xIx2-3x+2=0},3={%Ix2-ax+(a-1)=0},

C={xIx2-mx+2=0},且AU8=A,AClC=C,則Q的值為,冽的取值

范圍為.

三、解答題

5.(★★★★)已知集合A={xIX2+/?X+＜7=0},B={xIqx2+px+l=0}A,B

同時滿足：

①AG3W0,②AA8={-2}.求p、q的值.

6.(★★★★)已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)。(2,0)和圓C：x2+y2=l,動

點(diǎn)M到圓C的切線長與IMQ|的比等于常數(shù)4(4＞0).求動點(diǎn)M的軌跡方

程，并說明它表示什么曲線.

7.(*****)已知函數(shù)y=4x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)

W〃+l(〃=0』,2,…)時，該圖象是斜率為6"的線段(其中正常數(shù)#1),設(shè)數(shù)

列{X”}由/(%)%(〃=1,2,…)定義.

(1)求樸%2和％”的表達(dá)式;

(2)計(jì)算limx”；

H—＞00

(3)求/U)的表達(dá)式，并寫出其定義域.

8.(★★★★★)已知。＞0時，函數(shù)兀0=四-飯2

(1)當(dāng)匕＞0時，若對任意都有證明aW2b;

(2)當(dāng)。＞1時，證明：對任意[0,1],1於)IW1的充要條件是方

-1WaW2VF；

(3)當(dāng)0＜》Wl時，討論：對任意[0,1],\f(x)\W1的充要條件.

參考答案

?難點(diǎn)磁場

1.解析：即f{x}={a-1)/+ax-；=0有解.

當(dāng)Q-1=0時，，滿足.當(dāng)Q-1W0時、只需△=/-3-1)>0.

答案：&正或a=l

22

2.解:(1)當(dāng)a=0時,函數(shù)I-%)=(-%y+|-%|+l=f(x),此時段)為偶函

數(shù).

當(dāng)aWO時,刎=/+1<-。)=/+2|aI+1--a)Wf(a)爪-a)W-刎

此時函數(shù)/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)①當(dāng)xWa時，，函數(shù)4%)=、2-x+a+l=(x-g)2+a+；

若QW《，則函數(shù)人犬)在(-8,口上單調(diào)遞減.

從而函數(shù)/(%)在(-8加］上的最小值為Aa)=cJ+i

若a>；,則函數(shù)"r)在(-8,幻上的最小值為式'=1+“，且夫()W/(Q).

②當(dāng)寸，函數(shù)/00=/+工-。+1=(尤+；)2-

若QW-g,則函數(shù)?r)在［a,+8］上的最小值為人-()=：-0且大-

()勺⑷；

若a>-g,則函數(shù)八%)在［a,+8)單調(diào)遞增.

從而函數(shù)/(%)在［a,+8］上的最小值為/3)=—+1.

綜上，當(dāng)aW-g時，函數(shù)人x)的最小值為1-a；

當(dāng)-g<aWg時，，函數(shù)大尤)的最小值是/+1；

當(dāng)a>g時，函數(shù)/（x）的最小值是a+j

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：分。=2、Ia|>2和Ia|V2三種情況分別驗(yàn)證.

答案：C

2.解析：任取4個點(diǎn)共C：0=210種取法.四點(diǎn)共面的有三類：（1）每個面

上有6個點(diǎn)，則有4XC：=60種取共面的取法；（2）相比較的4個中點(diǎn)共3

種；（3）一條棱上的3點(diǎn)與對棱的中點(diǎn)共6種.

答案：C

二、3.解析：分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.

答案：1或2

4.解析:A={l,2},B={xI（x-l）（x-l+a）=O},

由AUB=A可得1-。=1或1-a=2；

由AGC=C,可知C={1}或。.

答案：2或33或（-2狡，2V2）

三、5.解：設(shè)沏64,xo是劭2+〃%（）+夕=0的根.

若的=0,則4={-2,0},從而p=2,<7=0,8={-g}.

止匕時408=0與已知矛盾，故的20.

將方程x（f+px0+q=Q兩邊除以尤（）2,得

1、,1八

q（——）+p（——）+1=0.

X。/

即‘滿足3中的方程，故工￡3.

%與

-2},貝ij-26A”且一2右耳.

設(shè)4={-2,即},則8={—1,,},且％()W2(否則405=0).

2%

若的=一!，貝-2W民與-2任8矛盾.

2X。

又由AClBW。，.,.%（）=',即x（）=±l.

%

BPA={-2,1}^A={-2,-1}.

故方程f+px+q：。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根-2,1或-2,-1

.fp=—(_2+l)=L/p=_(—2T)=3

U=(-2)xl=-2*(-2).(-1)=2

6.解：如圖，設(shè)MN切圓。于N,則動點(diǎn)”組成y\x/\

的集合是尸={M[\MN\=A\MQ\,^>0).\

'：ON1MN,|ONI=1,\°JJ

\MN\2=\MO\2~\ON\2=\MO\2~1|

設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

則M+y2-l=Ay/(x-2)2+y2

即(x2-l)(x2+y2)-42X+(42+l)=0.

經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個方程的點(diǎn)都屬于集合P,故方程為所求的軌跡方

程.

(1)當(dāng)4=1時，方程為x=H它是垂直于x軸且與x軸相交于點(diǎn)(工，

44

0)的直線；

2

2萬、221+32

（2）當(dāng)時、方程化為:A2-]+)-(/12-1)2

它是以（三,o）為圓心，坐可為半徑的圓.

2-112--11

7.解：(1)依題意式0)=0,又由於D=l,當(dāng)OWyWl,函數(shù)＞力＞)的圖象

是斜率為非=1的線段，故由

/U,)-/(0)..,

X1-0

??X\=1

又由人心)=2,當(dāng)lWyW2時，函數(shù)y=/U)的圖象是斜率為。的線段，故

由

/(x)-/(%,)_

2-U

x2-x｝

即12--Xl=—

b

...X2=1+—

h

記沏=0,由函數(shù)y=/(x)圖象中第〃段線段的斜率為少一，故得

X“一X“T

又由f(xn)=nf(xn1)=/1-1

工無“1〃=1,2,...

b

由此知數(shù)列｛島-%,一｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為L

b

>.(xk-xk-i)

k=]

,iiH嚴(yán)

bh'-'b-\

尸

即”—也—

b-\

(2)由(1)知，當(dāng)b＞\時,

/I—X?M—>00b—1b—1

當(dāng)O<"V1,8,%也趨于無窮大.Hmx”不存在.

ZI—>00

(3)由(1)知，當(dāng)OWyWl時，y=x,即當(dāng)OWxWl時，f(x)=x;

當(dāng)即無“W%W%"+i由(1)可知

於)=〃+。"(%-%”)(〃T,2,…)，由(2)知

當(dāng)匕>1時，y=/(%)的定義域?yàn)椋?,3)；

h-1

當(dāng)OV"<1時，y=/u)的定義域?yàn)椋?,+8).

8.(1)證明：依設(shè)，對任意x￡R,都有/U)W1

2

7f(x)^-b(x--)2+—

2b4b

2

:./(—)=—^1

2b4b

'：a>0,b>0

:.a&2庭.

(2)證明:必要性：

對任意工￡[0,1],I/)IWin-lW“x),據(jù)此可以推出

即a-62-1,:.a》b-1

對任意無￡[0,1],If(x)IWln“x)Wl.

因?yàn)閎>l,可以推出A4=)W1即a?-1W1,

4b

:?aW2&,：.b-\WaW2jE

充分性：

因?yàn)閎>l,a^b-1,對任意工￡[0,1].

可以推出ax-bx2^b(x-x2)--1

即ax-hx12-1

因?yàn)閎>1,QW2后,對任意[0,1],可以推出QX-新工-b/W1

即ax-1,.?.-1W/)W1

綜上，當(dāng)b>\時，，對任意xe[0,1],\f(x)IW1的充要條件是b-1

WaW2y[b.

(3)解：V?>0,0<"Wl

[0,1]^(x)=ax-bx*-b》-1

即-x)2-1

Ax)Wln/(l)WlnQ-bWl

即aW》+l

aWb+1=>f(x)^：(b+l)x~Z?x2^1

即於)W1

所以當(dāng)Q>0,0<bWl時，對任意工￡[0,1],If(x)IW1的充要條件是a

W0+1.

難點(diǎn)39化歸思想

化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助

某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到

解決問題的思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)

化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法.

?難點(diǎn)磁場

1.(★★★★★)一條路上共有9個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中3

個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關(guān)閉，那么關(guān)

閉路燈的方法總數(shù)為.

2.(★★★★★)已知平面向量。=(指-1)/=(3，個).

(1)證明a_LA;

(2)若存在不同時為零的實(shí)數(shù)攵和3使x=z+(*-3)5,y=-履+例且

x_Ly,試求函數(shù)關(guān)系式ZJt);

(3)據(jù)(2)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程人。-攵=0的解的情況.

?案例探究

［例1］對任意函數(shù)/U),x￡D,可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)輸

m

生器，其工作原理如下：咽，

I金〃

①輸入數(shù)據(jù)的￡D,經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出修=/(的)；I

②若為eD,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若即6D,則將為運(yùn)治』

NOT

反饋回輸入端，再輸出工2=汽修)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去.上

現(xiàn)定義/。)=生心

X+1

(1)若輸入x()=學(xué)，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列｛為｝,請寫出｛3｝的所有

65

項(xiàng)；

(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)xo

的值;

(3)若輸入向時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列｛與｝,滿足對任意正整數(shù)“均有無"

<x?+1；求％o的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查學(xué)生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力.

屬★★★★★級題目.

知識依托：函數(shù)求值的簡單運(yùn)算、方程思想的應(yīng)用.解不等式及化歸轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.

錯解分析：考生易出現(xiàn)以下幾種錯因：(1)審題后不能理解題意.(2)

題意轉(zhuǎn)化不出數(shù)學(xué)關(guān)系式，如第2問.(3)第3問不能進(jìn)行從一般到特殊的

轉(zhuǎn)化.

技巧與方法：此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強(qiáng)的題目.由于陌生

不易理解并將文意轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換.

解：(1)???/(%)的定義域(-8,-i)u(-1,+8)

■數(shù)列｛g｝只有三項(xiàng),尤T,%2=-1

195

(2)/(%)=—~-=x，即x~3x+2=0

x+\

/.x=l或x=2,即x0=l或2時

4x?-2

%="一=x"

x.+l

故當(dāng)劭=1時,x?=L當(dāng)對=2時,xn=2(n^N*)

(3)解不等式x<匕~>得％V-1或1<%<2

x+1

要使尤i<M，貝尤2<一1或

對于函數(shù)=g=4—工

x+1x+1

若修<-1,貝1J12小龍1)>4,X3=f(X2)<X2

若1<為<2時、無2=次修)>修且1<尤2V2

依次類推可得數(shù)列｛與｝的所有項(xiàng)均滿足

x?+i>x?(nGN)

綜上所述，修￡(1,2)

由修成3,得的仁(1,2).

［例2］設(shè)橢圓Ci的方程為m+《=1(。>6>0),曲線。2的方程為y=L

abx

且曲線C.與。2在第一象限內(nèi)只有一個公共點(diǎn)P.

(1)試用Q表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)A、8是橢圓C1的兩個焦點(diǎn)，當(dāng)Q變化時一，求AAB尸的面積函

數(shù)S3)的值域；

(3)記min｛yij2,....，%｝為力以,...,力中最小的一個.設(shè)g(a)是以橢圓

C.的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)式a)=min｛g(Q),S(a)｝的表達(dá)式.

命題意圖：本題考查曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查推

理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識解題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：兩曲線交點(diǎn)個數(shù)的轉(zhuǎn)化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式.

錯解分析：第(1)問中將交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)

計(jì)算錯誤，不能借助△找到。、b的關(guān)系.第⑵問中考生易忽略Q>b>0這

一隱性條件.第(3)問中考生往往想不起將min｛g(a),S(a)｝轉(zhuǎn)化為解不等式g(a)

25(a).

技巧與方法：將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)

用化歸思想的靈魂.要求必須將各知識的內(nèi)涵及關(guān)聯(lián)做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有

橋梁、轉(zhuǎn)化有效果.

解：(1)將產(chǎn)工代入橢圓方程，得

X

X21

a2+b2x2

化簡,得b2x4-a2b2x2+a2=0

由條件，有△=a4b4-4a2b2=Q,得ab=2

a-a

解得x=—i=或—(舍去)

V2

故尸的坐標(biāo)為喉，爭.

高為烏

(2)在△A8P中，IABI=2^a2-b2,

a

：.S⑷=g.2>]a2-b2■—=J2(1-^-)

2

9：a>b>O,h=-

a

.?.Q>2,即痣，得ov_4<i

aa

于是OVS(a)<V2,故△4BP的面積函數(shù)S(Q)的值域?yàn)?0,血)

(3)g(iz)=c2=a2-b2=a2-&

a

解不等式g(a)2S(a)，即/一22MT)

整理，得a8-IO/+242O,即(。4_4)(/_6)20

解得。忘后(舍去)或。2折,

故火Q)=min{g(a),S(a))

ci_------(V2<q4V6

口2(1-*)(a<V6)

?錦囊妙計(jì)

轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一

樣的.不等價(jià)轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實(shí)質(zhì)，需對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修

正.

應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡

量是等價(jià)轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化有：正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的

轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常

量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知兩條直線/i：y=x/2：ax-y=0,其中a￡R,當(dāng)這兩條直

線的夾角在(04)內(nèi)變動時，。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(―,6)

3

C.(―,1)U(1,右)D.(1,V3)

3

2.(★★★★)等差數(shù)列｛“和｛兒｝的前幾項(xiàng)和分別用5n和表示,若

,則lim%的值為()

Tn3n+5I—bn

A.-B.lC.—D.-

339

二、填空題

3.(★★★★)某房間有4個人，那么至少有2人生日是同一個月的概

率是.(列式表示即可)

4.(★★★★★)函數(shù)八%)=丁-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則b的

取值范圍是.

三、解答題

5.(★★★★)已知/00=坨。+1)田(尤)=2坨(2]+。”￡區(qū)是參數(shù)).

(1)當(dāng)t=-1時,解不等式/)Wg(x);

(2)如果%￡[0,1]時，“x)Wg(x)恒成立，求參數(shù)/的取值范圍.

6.(★★★★★)已知函數(shù)人])=。1%+。2#+。3/+…+%x","￡?4*且。1、。2、

的、...、%構(gòu)成一個數(shù)列｛"”｝，滿足人1)=￡

(1)求數(shù)列｛的｝的通項(xiàng)公式,并求lim國;

〃一＞8uZ7n+\

(2)證明0＜犬；)＜1.

2

7.(★★★★★)設(shè)A、3是雙曲線f-21=1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1,2)

2

是線段AB的中點(diǎn).

(1)求直線A3的方程；

(2)如果線段A8的垂直平分線與雙曲線相交于C、。兩點(diǎn)，那么A、

B、C、。四點(diǎn)是否共圓？為什么？

8.(★★★★★)直線與函數(shù)-3%的圖象有相異三個交點(diǎn)，求

。的取值范圍.

參考答案

?難點(diǎn)磁場

1.解析：9個燈中關(guān)閉3個等價(jià)于在6個開啟的路燈中，選3個間隔(不

包括兩端外邊的裝置)插入關(guān)閉的過程故有C；=10種

答案：10

2.(1)證明：?》=6xg+(—l>￥=0,：.a±b

(2)解：Vx±j,.*.x,y=0

即la+(*-3)。]?(-&“+力)=0,整理后得

-ka2+[/-k(t2-3)]a?b+t(t2-3),b2=0

'：a?〃=0癖2=422=1

上式化為-4k+t(t2-3)=0,k=—t(t2~3).

4

(3)解：討論方程L(，-3)-％=0的解的情況，可以看作曲線向)=LQ2-

44

3)與直線y=&的交點(diǎn)個數(shù)

于是/'⑺=](P-l)=](r+l)(Ll).

44

令/⑺=0,解得人=-1上=1.當(dāng)，變化時，/Q)加的變化情況如下表：

t(-°°,--1(_1(1,+

1)1,1)8)

f'+0-0+

⑺

財(cái)/極大極小/

值值

當(dāng)U-1時，加有極大值，/⑺極大值=；；

當(dāng)t=l時，用)有極小值，加)極小值=-

而3"=0時，得t=-也,0,6.

所以/U)的圖象大致如右：,

__L

于是當(dāng)左＞;或攵＜-g時，直線產(chǎn)攵與曲線》三/⑺夢

-十-

僅有一個交點(diǎn)，則方程有一解；

當(dāng)攵=」或上-工時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則方程有兩解；當(dāng)左=0,

22

直線與曲線有三個交點(diǎn)，但晨/不同時為零，故此時也有兩解；當(dāng)-，＜左＜0

2

或04＜，時，直線與曲線有三個交點(diǎn)，則方程有三個解

2

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：分析直線，2的變化特征，化數(shù)為形，已知兩直線不重合，

因此問題應(yīng)該有兩個范圍即得解

答案：C

2.解析:化和的比為項(xiàng)的比52?_,=(2〃-1)4+；2"T=(2〃-l)a“Hi=(2n-l)b?.

...”=邑巴=4(2〃-1)=&二±取極限易得

b?3(2〃-1)+56n+2

答案：A

二、3.解析：轉(zhuǎn)化為先求對立事件的概率即四人生日各不相同的概率

A4

答案：1-能

4.解析：轉(zhuǎn)化為/'(尤)=3%2-3。在(0,1)內(nèi)與x軸有兩交點(diǎn)只須r

(0)<0且/⑴>0.

答案：0<b<l

x+l>0

二、5.解：（1）原不等式等價(jià)于“2x-l〉0即.2

x+l<(2x-l)214x-5x>0

x<0或x>-

，原不等式的解集為3%》-｝.

4

x+l>0

(2)光6[0,1]時，/(x)Wg(x)恒成立..,.工￡[0,1]時<2x+f>0恒成立.

(x+l)<(2x+f)2

x+1>0

即<f>-2x恒成立

tN—2,x+Jx+1

即[0,1]時，-2%+而1■恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求

[0,1]的最大值問題

令〃=V77T,貝|JX=〃2一1,則〃￡[1,V2].

2x+Jx+1=-2(〃-—)2+—.

48

當(dāng)〃=1即x=0時，-2x+而T有最大值1

.?"的取值范圍是，21.

2

6.(1)解：｛Q”｝的前n項(xiàng)和5”=。]+。2+…+。"=貝1)=〃2,由an=Sn-Sn-]=n-(n

-1)2=2〃-1(〃22)，又ai=Si=l滿足an=2n-1,故｛〃〃｝通項(xiàng)公式為afl=2n-l(nG

*

N)

“TOOQ〃+]〃fCO2n+1

(2)證明：???/《)=1?j+3?尹…+(2〃-1號

/(Al?i+3?1+…+⑵-3)/+(2〃-1)9②

①-②得:|W)=1?；+2?|+2?5+―?+2??-(2〃-1)?擊

-(2n-1)^Y=1-ZLL1.

3239273"T3,,+13"

3"=(1+2)"=1+C；?2+C>22+…>l+2n>l+〃(nGN*)

.?.O<^tl<l,.-.O<1-答<1，即0<A1)<1

2

7.解：(1)設(shè)AB:y=k(x-1)+2代入x2-]=1.

整理得(2-必)f-2左(2-k)x~(2-k)2-2=0①

設(shè)4(尤],乃)、B(尤2,%),為/2為方程①的兩根

所以2-MW0且為+必=2乂2-/).又N為AB中點(diǎn)，

2-匕

有g(shù)(%]+%2)=1..;ZQ-攵)=2-爐,解得攵=1.故A5：y=x+l.

(2)解出A(-1,0)、B(3,4)得CD的方程為y=3-尤.與雙曲線方程

聯(lián)