第八節(jié)二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用(全國卷5年4考)【知識梳理】1.條件概率與相互獨(dú)立事件的概率(1)條件概率:設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=_____為在______發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.事件A

條件概率的求法(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=.(3)縮樣法:即縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡.(選修2-3P55T2改編)袋中有大小完全相同的2個白球和3個黑球,逐個不放回地摸出兩個球,設(shè)“第一次摸得白球”為事件A,“摸得的兩球同色”為事件B,則P(B|A)=________.

(2)相互獨(dú)立事件:設(shè)A,B為兩個事件,若P(AB)=_________,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.P(A)P(B)2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作__________,并稱p為_________.X～B(n,p)成功概率3.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù):φμ,σ(x)=(2)定義:一般地,如果對于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,則稱隨機(jī)變量X服從_________,記作X～_________.正態(tài)分布N(μ,σ2)(3)特點(diǎn):①曲線位于x軸_____,與x軸不相交;②曲線是單峰的,它關(guān)于直線_____對稱;③曲線在_____處達(dá)到峰值_______;④曲線與x軸之間的面積為__;上方x=μx=μ1⑤當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;⑥當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“_____”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“_____”,表示總體的分布越_____.瘦高矮胖分散(4)3σ原則①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈________;

②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈________;

③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈________.

0.68270.95450.9973【常用結(jié)論】1.若事件A與B相互獨(dú)立,則A與,與B,與也相互獨(dú)立.2.若A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).3.對于正態(tài)分布N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對稱軸知:(1)對任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).【基礎(chǔ)自測】題組一:走出誤區(qū)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)P(B|A)與P(A|B)的含義相同. (

)(2)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B). (

)(3)對于任意兩個事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (

)(4)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,“第1枚為正面”為事件A,“第2枚為正面”為事件B,則A,B相互獨(dú)立. (

)2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則P(0<X<2)= (

)A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2題組二:走進(jìn)教材(選修2-3P58T3改編)一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次,已知至少命中一次的概率為,則此射手每次射擊命中的概率為________.

考點(diǎn)一條件概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率【題組練透】1.(2019·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽,甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為,甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立,則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為(

)2.4個高爾夫球中有3個合格、1個不合格,每次任取一個,不放回地取兩次.若第一次取到合格的高爾夫球,則第二次取到合格高爾夫球的概率為________.

3.甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲,其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分,未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和p,且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響,則p值為 (

)考點(diǎn)二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【典例】(1)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為(

)A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312(2)在一次數(shù)學(xué)考試中,第22,23,24題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題,設(shè)5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為,每位考生對每題的選擇是相互獨(dú)立的,各考生的選擇相互之間沒有影響. ①求其中甲、乙兩人選做同一題的概率.②設(shè)選做第23題的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2018·黃岡模擬)位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的一個質(zhì)點(diǎn)P按下面規(guī)則移動：質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位，移動的方向向左或向右，并且向左移動的概率為，向右移動的概率為，則質(zhì)點(diǎn)P移動五次后位于點(diǎn)(1，0)的概率是 (

)2.為了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測量重量(單位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示. (1)求圖中a的值.(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)，用樣本估計(jì)總體.若從這種植物果實(shí)中隨機(jī)抽取3個，其中優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).考點(diǎn)三正態(tài)分布【明考點(diǎn)·知考法】 正態(tài)分布作為考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要載體，在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，試題常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及應(yīng)用、3σ原則的應(yīng)用，解題過程中常滲透數(shù)形結(jié)合的思想.命題角度1正態(tài)曲線的性質(zhì)【典例】(1)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(X>4)=P(X<0)，則μ= (

)A.1

B.2

C.3

D.4(2)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)=0.8，則P(0<ξ<4)=(

)A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2命題角度2

3σ原則的應(yīng)用【典例】(1)(2018·茂名模擬)設(shè)X～N(1，1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值是 (

)A.7539

B.6038

C.7028

D.6586(注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ-σ<X<μ+σ)=68.27%，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.45%)(2)某班有50名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績ξ(ξ∈N)服從正態(tài)分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為___________.

【對點(diǎn)練·找規(guī)律】1.在2018年初的高中教師信息技術(shù)培訓(xùn)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，哈爾濱市高中教師的培訓(xùn)成績X～N(85，9)，若已知P(80<X≤85)=0.35，則從哈爾濱市高中教師中任選一位教師，他的培訓(xùn)成績大于90分的概率為(

)A.0.85 B.0.65 C.0.35 D.0.152.商場經(jīng)營的某種袋裝大米質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布N(10，0.12)，任取一袋大米，質(zhì)量不足9.8kg的概率為________.(精確到0.0001)

注：P(μ-σ<x≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<x≤μ+3σ)=0.9973思想方法系列27——化歸思想在相互獨(dú)立事件概率中的應(yīng)用【思想詮釋】化歸思想，將一個問題由難化易，由繁化簡，由復(fù)雜化簡單的過程稱為化歸，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱.求相互獨(dú)立事件概率時，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)先判斷復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解.(2)一個復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行求解.對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解.【典例】為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場，某公司為手機(jī)客戶端用戶推出了多款A(yù)PP應(yīng)用，如“農(nóng)場”“音樂”“讀書”等.市場調(diào)查表明，手機(jī)用戶在選擇以上三種應(yīng)用時，選擇農(nóng)場、音樂、讀書的概率分