第二章第七節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四一、對(duì)數(shù)的定義一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝

，其中a叫做對(duì)數(shù)的

，N叫做

．logaN底數(shù)真數(shù)二、對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．loga1＝

；03．

和

沒有對(duì)數(shù)．2．logaa＝

；1負(fù)數(shù)零[理要點(diǎn)]第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四三、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：1．loga(M·N)＝

；logaM＋logaNlogaM－logaN3．logaMn＝

(n∈R)；nlogaM第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四四、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a>10<a<1第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)定義域：

值域：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)

當(dāng)0<x<1時(shí)，

；當(dāng)x>1時(shí)，y∈

當(dāng)0<x<1時(shí)，y∈

；當(dāng)x>1時(shí)，y∈

；在(0，＋∞)上為

在(0，＋∞)上為

(0，＋∞)R(1,0)y∈(－∞，0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)增函數(shù)減函數(shù)第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四五、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對(duì)稱．y＝xy＝logax第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四[究疑點(diǎn)]1．若MN>0，運(yùn)算性質(zhì)1、2還成立嗎？提示：不一定成立．2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域和值域有何聯(lián)系？提示：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的定義域是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的值域，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域．第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四答案：D第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2．(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝ (

)A．0 B．1C．2 D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解：(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四[歸納領(lǐng)悟]對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并．(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算．第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四答案：A第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四答案：D第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四4．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四解：(1)由ax－1＞0，得ax＞1.當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0.∴當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)．(2)當(dāng)a＞1時(shí)，設(shè)0＜x1＜x2，則1＜

＜

，故0＜－1＜

－1，∴l(xiāng)oga(

－1)＜loga(

－1)，∴f(x1)＜f(x2)，故當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．類似地，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明．第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四[歸納領(lǐng)悟]利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．

注意：在處理與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注意底數(shù)的取值范圍對(duì)解決問題的影響以及真數(shù)為正的限制條件．第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四[題組自測(cè)]第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2．已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)________f(a＋1)．(填寫“<”“＝”“>”之一)解析：∵f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴a>1.∴a＋1>2.∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．答案：<第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四3．已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并求取得最大值時(shí)的x的值．解：(1)先求定義域得x∈(－1,3)，由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4在區(qū)間(－1,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1,3)上是減函數(shù)，又由y＝log4u在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1]，遞減區(qū)間為[1,3)．(2)因?yàn)閡＝－(x－1)2＋4≤4，當(dāng)x＝1時(shí)，umax＝4，所以y＝log4u＝log44＝1，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值1.第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)在區(qū)間[3,4]上總有1<|y|<2，

試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四[歸納領(lǐng)悟]利用它們的單調(diào)性可以解決有關(guān)的大小比較問題，進(jìn)而可解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式和方程，其基本方法是“同底法”，即將不等式和方程兩邊化為同底的指數(shù)式(或?qū)?shù)式)，然后利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性脫去冪的形式(或?qū)?shù)符號(hào))，得出自變量的不等(或相等)關(guān)系，從而把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式(或方程)來解決．第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四一、把脈考情從近兩年的高考試題看，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，題型一般為選擇題、填空題，屬中低檔題，主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)數(shù)值大小，求定義域、值域、最值以及對(duì)數(shù)函數(shù)與相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．預(yù)測(cè)2012年高考仍將以對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四答案：D二、考題診斷1．(2010·天津高考)設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，

則 (

)A．a(chǎn)＜c＜b

B．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c解析：由于b＝(log53)2＝log53·log53＜log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.第三十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四答案：A第三十八頁，共四十頁，編輯于2023年