7.2離散型隨機變量及其分布列1．通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念．(重點)2．理解離散型隨機變量的分布列，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列．(難點)1．通過離散型隨機變量及其分布列的概念與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助分布列的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．在拋擲一枚骰子的試驗中，正面向上的點數(shù)可以為“1，2，3，4，5，6”六種情況，每種情況的概率均為eq\f(1,6)．為了用數(shù)學(xué)語言來清晰描述每個隨機現(xiàn)象的規(guī)律，我們可以用“1”表示擲出1點，用“2”表示擲出2點……以此類推．那么所有隨機現(xiàn)象的結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？這些數(shù)字又能否用一個變量來表示呢？知識點1隨機變量(1)隨機變量的概念一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量．(2)隨機變量的特點①取值依賴于樣本點．②所有可能取值是明確的．(3)離散型隨機變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱之為離散型隨機變量．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個． ()(2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機變量． ()(3)試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值． ()[答案](1)√(2)√(3)√知識點2概率分布列(1)概念：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)表示離散型隨機變量的分布列可以用表格或圖形表示．Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n．②p1＋p2＋…＋pn＝1．求離散型隨機變量的分布列的步驟是什么？[提示]求離散型隨機變量的分布列的步驟：(1)找出隨機變量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；(3)列成表格形式．2．若離散型隨機變量X的分布列為X01P2a3a則a＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)A[由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，2a＋3a＝1，所以a＝eq\f(1,5)．]知識點3兩點分布X01P1－pp若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布或0－1分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．3．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)C[設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，ξ的分布列為ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示試驗失敗，“ξ＝1”表示試驗成功，由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,3)．故選C．]類型1離散型隨機變量的判定【例1】指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．(1)某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；(2)某超市5月份每天的銷售額；(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位ξ．[解](1)車輛數(shù)X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量．(2)某超市5月份每天銷售額可以一一列出，故為離散型隨機變量．(3)實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量．(4)不是離散型隨機變量，水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉．判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果．(2)將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．(1)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取1張，被取出的卡片的號數(shù)；(2)一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)；(3)某林場樹木最高達(dá)30m，則此林場中樹木的高度．[解](1)只要取出一張卡片，便有一個號碼，因此被取出的卡片可能的號數(shù)可以一一列出，是離散型隨機變量．(2)從10個球中取3個球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球．即其結(jié)果可以一一列出，是離散型隨機變量．(3)林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以取(0，30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量．類型2隨機變量的可能取值及試驗結(jié)果【例2】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數(shù)為X．(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X．[解](1)X可取0，1，2，3．X＝0表示取5個球全是紅球；X＝1表示取1個白球，4個紅球；X＝2表示取2個白球，3個紅球；X＝3表示取3個白球，2個紅球．(2)X可取3，4，5．X＝3表示取出的球編號為1，2，3；X＝4表示取出的球編號為1，2，4；1，3，4或2，3，4．X＝5表示取出的球編號為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．[母題探究]1．(變條件、變設(shè)問)在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個紅球贏2元，而每取出一個白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？[解]ξ可取1，4，7，10．ξ＝10表示取5個球全是紅球；ξ＝7表示取1個白球，4個紅球；ξ＝4表示取2個白球，3個紅球；ξ＝1表示取3個白球，2個紅球．2．(變設(shè)問)本例(2)中，“最大”改為“最小”，其他條件不變，應(yīng)如何解答？[解]X可取1，2，3．X＝3表示取出的3個球的編號為3，4，5；X＝2表示取出的3個球的編號為2，3，4或2，3，5或2，4，5；X＝1表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3．用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果的關(guān)鍵點和注意點(1)關(guān)鍵點：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值對應(yīng)的意義，即一個隨機變量的取值對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果．(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．(1)在2021年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示．[解](1)X可能取值0，1，2，3，4，5，X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．(2)ξ可能取值為0，1，當(dāng)ξ＝0時，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標(biāo)；當(dāng)ξ＝1時，表明該射手在本次射擊中擊中目標(biāo)．類型3分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用【例3】設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))．[解](1)∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＋eq\f(4,a)＝1，∴a＝10，則P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,10)．(2)由a＝10，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可以求與概率有關(guān)的參數(shù)的取值或范圍，還可以檢驗所求分布列是否正確．(2)由于離散型隨機變量的各個可能取值表示的事件是彼此互斥的，所以離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．提醒：在利用分布列的性質(zhì)求參數(shù)的值時，注意參數(shù)的取值范圍．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak，k＝1，2，3，4，5．(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))．[解](1)由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，得a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝eq\f(1,15)．(2)由(1)，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝eq\f(k,15)，k＝1，2，3，4，5．∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)．(3)∵eq\f(1,10)<ξ<eq\f(7,10)，∴ξ＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5)．類型4離散型隨機變量的分布列【例4】一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解](1)隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，所以隨機變量X的分布列為X3456Peq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,2)(2)X的取值不小于4的概率為P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(19,20)．[母題探究](變條件)本例若改為“X表示取出球的最小號碼”，求X的分布列．[解]隨機變量X的可能取值為1，2，3，4．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，所以X的分布列為X1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)求離散型隨機變量分布列時應(yīng)注意的問題(1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個值對應(yīng)的隨機事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率．(2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運算量，還可以驗證分布列是否正確．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某花店每天以8元/枝的價格從鮮花種植基地購進(jìn)若干枝百合，然后以10元/枝的價格出售．若有剩余，則將剩余的鮮花以4元/枝的價格退回種植基地．為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該花店統(tǒng)計了近50天的日需求量(單位：枝)，整理得如表：日需求量(單位：枝)100110120130140150160頻數(shù)51088775以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率．(1)求該花店鮮花日需求量n(單位：枝)的分布列；(2)若該花店一天進(jìn)貨130枝，記花店當(dāng)天獲得的利潤為X(單位：元)，求X的分布列．[解](1)花店鮮花日需求量n(單位：枝)的分布列為：n100110120130140150160P0.10.20.160.160.140.140.1(2)當(dāng)日需求量不低于130枝時，花能夠全部賣出，利潤為X＝2×130＝260，概率為0.16＋0.14＋0.14＋0.1＝0.54，當(dāng)日需求量為120時，剩余10枝沒有賣出，利潤為X＝2×120－4×10＝200，當(dāng)日需求量為110時，剩余20枝沒有賣出，利潤為X＝2×110－4×20＝140，當(dāng)日需求量為100時，剩余30枝沒有賣出，利潤為X＝2×100－4×30＝80，所以獲得的利潤X的分布列為X80140200260P0.10.20.160.541．袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到1個紅球D．至少取到1個紅球的概率B[A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求．]2．拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和記為ξ，那么ξ＝4表示的隨機試驗的結(jié)果是()A．一枚是3點，一枚是1點B．兩枚都是2點C．兩枚都是4點D．一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點D[ξ＝4可能出現(xiàn)的結(jié)果是一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點．]3．拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)等于()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)A[根據(jù)題意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．拋擲兩顆骰子，按所