江蘇省南通市

2022—2023學年第一學期高三12月聯(lián)考調(diào)研測試

數(shù)學試題

一、單項選算題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.設全集U={1,2,345,6},集合M滿足。。”;“節(jié)},則（▲）

A.2wMB.3wMC.4GMD.6史M

2.已知復數(shù)z滿足匕=l+i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部為（▲)

A.iB.1D.-1

3.在樹C中，石=2而，則而=（▲)

3-

A.—CD——CAB.—CD+—CAC.3CD-2CAD.3CD+2CA

2222

4.將一個圓形紙片剪成兩個扇形（沒有多余角料），將它們分別卷曲粘貼成圓錐形狀（重疊部

分忽略不計），若兩個扇形的面積比為1:2,則兩圓錐的高之比為（▲）

B.竽c2后6

A.y/2C?--------D.-

55

5.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點4（1,a）,5（2,5）,

且心―則cos2a=(▲)

A正22>/5

B.D.1

23~5~

6.設無為實數(shù)，若雙曲線7匕2-如2=7的一個焦點坐標為（（）,_5）,則上的值為（▲）

A.—^2B.V2D.1

7.某同學研究如下數(shù)表時，發(fā)現(xiàn)其特點是每行每列都成等差數(shù)列,

在表中，數(shù)41出現(xiàn)的次數(shù)為（▲）

A.8B.9

C.10D.11

8.已知函數(shù)/（x）=（x-l）eX+m（xlnx+]--x）存在極大值點和極小值點，則實數(shù)所可以

?。ā?/p>

37

B.——c-AD.----

2222

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足S1,=-〃2+i3n+l(〃€Ar),則下列說法正確的是

(▲)

A.｛《,｝為等差數(shù)列B.a(=13

C.S,中，$6、S7最大D.｛4｝為遞增數(shù)列

10.已知函數(shù)/(x)=sinx-acosx(x€/?)的最大值為2,/'弓)<。，則下列結論正確的是

(▲)

A.a=<73

B.f(x)在—-上單調(diào)遞減

|_66

C.直線x=2是/(X)圖像的一條對稱軸

6

D.把f(x)的圖象向左平移段個單位長度，得到的圖象關于點(稱,。)對稱

II.已知/(天」)，8(七必)是圓O：，+必=1上兩點，則下列結論正確的是(▲)

A.若點O到直線48的距離為卜則=

B.若&403的面積為且，則=工

43

C.若玉、2+必必=：,則點。到直線48的距離為正

22

D-|玉+乂一1|的最大值為Ji+L最小值為&一1

12.已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=7'(x),

/(2x-l)+f(3-2x)=/(-2)，g(-l+3x)+g(-3x)=g(-，貝U(▲)

A./(4)=0B,g(2)=g(-l)

C.=°D.g(2022)=g(0)

三、填空JB:本題共4小題，每小題5分，共20分?

13.函數(shù)/(x)=2'+a2”,對任意實數(shù)x都有/(-x)+/(x)=O,則實數(shù)a的值為_/_.

14.若關于x的不等式a?-x+a40在區(qū)間［0,2］上有解，則實數(shù)a的取值范圍是_A__.

15.一個圓臺兩個底面的直徑分別為2、4,該圓臺存在內(nèi)切球，則該圓臺的體積為▲.

16.已知拋物線C:/=2x，點/(2,2),。是坐標原點，4,3,M,N是拋物線C上的四個動點,

心%=&%=7,過點尸分別作的垂線，垂足分別為E,F,則點￡、尸距

離的最大值為▲.

四、解答題；本題共6小JH,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步事，

17.筌為數(shù)列｛4｝的前〃項積，且一+亍=1.

(1)證明：數(shù)列花+1｝是等比數(shù)列；

(2)求｛勺｝的通項公式.

18.如圖，在A4C8中，ZACB=-,ZCAB=-.AC=2,點M在線段4ff上.

23

733

⑴若cos/CM/工衛(wèi)，求CM的長；

6.

⑵點N是線段CB上一點，MN=",且+=4+百，求證：S2M，=：SA"c

2

19.在一個袋子里有大小一樣的6個小球，其中有4個紅球和2個白球.

(I)現(xiàn)存基網(wǎng)地每次從中摸出1個球，連摸3次，設摸到紅球的次數(shù)為X,求隨機變量X的概

率分布及期望；

(2)現(xiàn)不放網(wǎng)地依次從中摸出1個球，連摸2次，求第二次摸出白球的概率；

(3)若每次任意取出1個球，記錄顏色后放回袋中，直到取到兩次紅球就停止，設取球的次數(shù)

為Y,求丫=4的概率.

20.三棱臺48C-44G的底面是正三角形，乂4,平面羽。，43=4,4片=2,

例=百,￡是48的中點，平面4GE交平面ABC于直線/.

(I)求證：ACUix

(2)求直線片。與平面4G￡所成角的正弦值.

21.設橢圓E』+A=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳(7,0),用(L0),點GQ,-令在橢展

a*b2

￡±.

(1)求橢破￡的方程：

(2)設點T在直線x=3上，過7的兩條直線分別交E于兩點和產(chǎn),。兩點，且

|以卜|ra|="卜四|,求直線48的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.函數(shù)/(x)=aln(x+l)+x2-x.

(1)若曲線y=/(x)存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍;

(2)設0<。<1,試探究函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

2022-2023學年第一學期高三12月學情調(diào)研測試

數(shù)學答案

l.C2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.D

9.BC10.BCD11.AC12.ACD

y

13.-114.(-oo,-]15.14b兀16.2

23

17.(1)證明：由已知條件知Z,=4...ai!-\'an①

于是心=?！赋鲆?,?…??.1(?^2).②

由①②得3=%.③

（2分）

4-1

又土2"+'1=1④

Tn

（4分）

由③④得Tn=27；i+1,所以7；+1=2(7；,+1)

令〃=1,由7j=q,得（=3,，7；+1=4力0

所以數(shù)列｛,+1｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.-----------（6分）

（2）由（1）可得數(shù)列｛。+1｝是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.

（8分）

,,+1

時，2-1

法1：a?=^~

Ai-i2"-1

2,,+|-1

又4=7；=3符合上式，所以勺（10分）

2"-1

21

法2：將看=2田_1代回亮+2_=］得：4=（10分）

2"-1

anTn

在AC4M中,vcosZCAM=里：.sinZCAM=—

18.(1)66（1分）

AC-sin712x—

CM=----------_義=6.

sinZCMA百

CMAC

=6（5分）

由正弦定理得Sm^CAMsmACMA'則

（2）在ABMN中，MN=不,BM+BN=4+6

由余弦定理得：

MN2=BM2+BN2-IBM-BNcosNABC=(BM+BN)2-IBMBN(\+

即⑹=（4+廚一

2BM?BN-\1+

BM-BN=473（9分）

又SABMN=-BMB7Vsin-=-x4V3xl=V3SMBC=-x2x2V3=2V3

S&BMN=T^AABC

2....................................................................................................（12分）

19.（1）由題意分析x~B（3,|），X的可能值為0,1,2,3

所以P（X=O）=@=9p（x=i）=c；m

P（X=2）=4|）；J，P（X=3）=C；［|）*.----------------------------（4分）

分布列為：

X0123

1248

P

279927

E（X）=3x|=2-----------------------------------------------------------------------------------------（5分）

（2）記“第一次摸出紅球”為事件A,“第一次摸出白球”為事件4,“第二次摸出白球”為事件

5,則P⑷=|,P⑷=；，P（AB）g|*P（48）=2寸

即第二次摸出白球的概率為：P（AB）+P（4B）=2+七=；-

（用古典概型公式同樣給分）-------------------------------------------（9分）

（3）依題意，每次取到紅球的概率為9=2,取到白球的概率為2=，

6363

y=4即是“前3次只有1次取到紅球，其余2次取到白球，第4次取到紅球”

...p（y=4）=C；x|x（qx|=^-.-----------------------------------------------------------------（12分）

20.（1）證法1：在三棱臺ABC-44G中，AC〃AC1,

又平面平面則〃平面分）

AC<zA￡E,4GUAGE,AC\C.E,------------------------（2

又ACu平面ABC,平面ABCn平面4GE=/，所以AC/〃.-------------------（5分）

證法2：在三棱臺ABC—A4G中，AC〃AG，

又4clz平面ABC,ACu平面ABC,則AG//平面ABC,--------------------------（2分）

又4Gu平面AGE,平面ABCn平面AGE=/，所以4G/〃，

又AC〃AG，所以AC/〃.-----------------------------------------------------------------------（5分）

證法3：在三棱臺ABC—AgG中，AC〃AG，平面45cli平面44G，

又平面A4Gn平面AGE=4G，平面ABCn平面A&E=/,所以AG〃/,

又AC//4G,所以AC///.------------------------------------------(5分)

(2)因為e_L平面ABC,在平面ABC內(nèi)作ArLAC,以A為原點，分別為

y軸，z軸建立空間直角坐標系，5(273,2,0),E(V3,l,0),C(0,4,0),4(°，0，6)，

B,(V3,1.V3),C,(0,2,0),

4E=(6,1,-6)，而=(0,2,0),鴕=(-V3,3,一6)，

設平面AGE的一法向量為G=(x,y,z),則

n=6x+y-也z=b

?〃=2y=0

令光=1,則5=(1,0,1)...................(8分)

設直線用。與平面AGE所成角為仇

則sin0=|cos<B}C,n>|=〔'￡,-2^.,\

\B,C\\n\5

所以，求直線4c與平面所成角的正弦值為巫.....................(12分)

21.(1)由已知橢圓的左、右焦點分別為6(-1,0),8(1,0),."=1,

a2-b2=c2=1(2

a=4A

方法一：由題意得〈13，解得1,2C，

-r+—7=1〔。~=3

.a4/r

橢圓E的方程為3+4=1；---------------------------------------(4分)

43

22

方法二：由2a=|A用+卜用=,(1+1)2+(_|)2+^(1-1)+(-|)=|+1=4,

則〃=2,又c=1,得A=退，

橢圓E的方程為《+?=1；---------------------------------------(4分)

43

(2)設7X3,t),AB:y-t=ki(x-3),PQ:y-t=k2(x-3)

y-t=k.(x-3),,,

由，，,消去y得：(3+46口2+甌。-3勺)X+4Q—3K)2-12=0

3x+4y=12

設4內(nèi)，弘),5(工2，%)，了1<3,工2<3,

8kl(t-3kl)-4(T)-2

由題意為+x=-,A,A-7—(6分)

23+%3+4#

從而|啊.|閩=Jl+將p—xlJl+rp-q

=(1+4)(3—%)(3—/)

—(1+k；)[9+XyX-,—3(X]+)J

二(1+?9+也什巴3^r1

3+%3+%

_(1+好)(4—+15)

―3+4"

(8分)

同理「「卜|70=a+M;：?曳，又窗，\TB\=\TP\-|712|

所以(1+6?=0+廿?,即攵；=片，又攵豐k

3+4代3+%''

故匕+k2=0.直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為零.-------------------(12分)

2x?+x—1+a

22.⑴1(x)=-------------,x>-l

x+]

由題意，存在xe(—l,+oo),使得/(幻=0---------------------------------(2分)

即關于x的方程2/+X-I+a=0在(-1,+00)上有實根,

該方程等價于a=—2f—x+1,

9

則。的取值范圍是函數(shù)y=-2/—x+i,xe(-1,+8)的值域，值域為(一8,-],

8

9

所以，。的取值范圍是(-00,—].---------------------------------------------(4分)

8

11

(2)設g(x)=+X-1+。，對稱軸工=—