PAGEPAGE23第2頁，共24頁儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘要通常加油站都有若干個(gè)儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，通過預(yù)先標(biāo)定好的罐容表，可得到罐內(nèi)油位高度與儲油量的變化關(guān)系。但許多儲油罐使用一段時(shí)間以后，由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。因而建立儲油罐變位后儲油量與油高及變位參數(shù)（縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)）之間的一般關(guān)系，對罐體儲油量的真實(shí)計(jì)算及加油站的經(jīng)營管理具有重要意義。對于問題一，本文先建立沒有變位時(shí)的罐體儲油量和油位高度的關(guān)系，將計(jì)算值與實(shí)際值進(jìn)行比較，進(jìn)行圖形仿真和誤差分析，從而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目煽啃院蜏?zhǔn)確性。對于發(fā)生縱向傾斜后的橢圓型儲油罐，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段積分處理，得出儲油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式。用建立好的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出給定油位探針監(jiān)測高度的儲油量，和實(shí)際儲油量進(jìn)行圖像曲線對比，并進(jìn)行誤差分析，從而驗(yàn)證建立的函數(shù)關(guān)系式的準(zhǔn)確性。在用建立好的模型對變位和未變位的兩種情況的儲油量隨探針監(jiān)測油位高度變化的曲線進(jìn)行對比并列表分析，從而得出罐體變位后同一監(jiān)測高度，變位后罐容體的實(shí)際儲油量比原先罐容表上標(biāo)定的值小，并計(jì)算出罐體變位后油位高度間隔1cm的罐容表標(biāo)定值。對于問題二，本文利用幾何關(guān)系，將橫向偏轉(zhuǎn)修正，以消除其對儲油量的影響，將問題歸結(jié)為只需要計(jì)算縱向偏轉(zhuǎn)對儲油量的影響，將儲油量的計(jì)算分成三部分：圓柱體和左右球冠體，圓柱體可直接積分得到，球冠體通過柱面坐標(biāo)變換，將二重積分轉(zhuǎn)換為定積分，然后利用微分中值定理近似計(jì)算該定積分。三者相加得到整個(gè)儲油量體積，且和問題一一樣分為油液面低于圓柱體部分右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間三段，再整合為一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。得出的計(jì)算值與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，進(jìn)行誤差分析，從而用線性擬合的方法對函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行修正使其與實(shí)際值的誤差更小。最后利用循環(huán)迭代并結(jié)合矩形套定理，逐步縮小范圍，以確定偏轉(zhuǎn)角，以使誤差在一定精度范圍內(nèi)符合實(shí)際值，最后將得到的偏轉(zhuǎn)角，代入建立的函數(shù)關(guān)系式，用以模擬檢驗(yàn)，得出結(jié)果與實(shí)際相符。之后我們給出了油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。最后，本文對模型進(jìn)行了進(jìn)一步的討論和改進(jìn)，對問題二建議制定出不同的對應(yīng)儲油量體積增長的拐點(diǎn)的表，只要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)利用二階差分近似求得拐點(diǎn)位置，只需查表即可得到。關(guān)鍵字：罐容體儲油量分段積分微分中值定理線性擬合循環(huán)迭代問題的背景通常加油站都有若干個(gè)儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。問題的提出與重述由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生變位，從而導(dǎo)致罐容表不能顯示實(shí)際的儲油量，罐容表誤差過大而不能正常使用，造成加油站油品虛假盈虧。這樣，就給加油站經(jīng)營管理帶來一些問題。如造成加油站虛假盈虧，無法對油品數(shù)量進(jìn)行正確的監(jiān)控和管理，以及年底盤底或新舊站長變更時(shí)，無法進(jìn)行正常的油品庫存交接。因而需要對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對于圖1所示的實(shí)際儲油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。αα圖1儲油罐正面示意圖圖2儲油罐縱向傾斜變位后示意圖圖3儲油罐截面示意圖圖3儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3mαα基本假設(shè)假設(shè)油浮子始終處于水平狀態(tài)，并且油浮子的體積不記，視為質(zhì)點(diǎn)；假設(shè)油位探針是固定的，不發(fā)生任何轉(zhuǎn)動；忽略外界因素對儲油罐內(nèi)部的影響并排除儲油罐的機(jī)械故障；假設(shè)油位不受溫度、壓力等因素的影響；假設(shè)油位探針檢測液位控制靈敏，罐容表標(biāo)定無誤；假設(shè)儲油罐容器壁光滑平整，沒有凹凸現(xiàn)象；忽略儲油罐內(nèi)各器件所占的體積。模型的主要符號變量說明問題一的主要符號說明：V：無變位時(shí)橢圓形儲油罐的儲油量；V1：橢圓型儲油罐變位后，底部部分覆蓋時(shí)的儲油量；V2：橢圓型儲油罐變位后，底部覆蓋頂部未覆蓋時(shí)的儲油量；V3：橢圓型儲油罐變位后，底部覆蓋頂部部分覆蓋時(shí)的儲油量；：橢圓型儲油罐的總體積；ｈ：探針監(jiān)測到的油位高度；：橢圓型儲油罐變位后，底部部分覆蓋時(shí)，油位與底部的相交線離左端的距離；：橢圓型儲油罐變位后，頂部部分覆蓋時(shí)，油位與頂部的相交線離左端的距離；問題二的主要符號說明：：儲油罐總體積：油罐圓柱體部分的體積：左端球冠體體積：右端球冠體體積：油位探針監(jiān)測到的高度：橫向偏轉(zhuǎn)修正后的高度問題的分析題目中的第一問要求我們建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。我們首先建立了無變位時(shí)小橢圓形儲油量與油位高度的一般關(guān)系函數(shù)式，并用附件1中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，由此得到無變位情況下理論值與實(shí)際值的相對誤差A(yù)。由于小橢圓型儲油罐縱向變形后，在油量少到低于油位探針最底端時(shí)和油量多于探針與橢圓柱體頂部的交點(diǎn)時(shí)，不能寫出儲油量與油位高度對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式，對這兩種情況不做出具體的對應(yīng)關(guān)系式?？v向變位后，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段處理，得出儲油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式。將油量理論值和實(shí)際值比較而得到相對誤差B，并和誤差A(yù)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)建立的函數(shù)關(guān)系式的正確性，并用所得的理論計(jì)算公式對變位前后儲油量同一高度儲油量進(jìn)行比較，從而得出罐體變位后對罐容表的影響以及油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。第二問要求我們對圖1所示的罐體建立變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，得出罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系式，并根據(jù)附件2的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)，用所建立的模型確定變位參數(shù)。由于橫向偏轉(zhuǎn)不會引起油液面的變化，只會影響油位探針測得的油位高度，所以我們對縱橫向變位后的標(biāo)定高度轉(zhuǎn)換成只有縱向變位時(shí)的油位標(biāo)定高度，設(shè)為發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)后的油位探針測得的高度，為轉(zhuǎn)換成只有縱向偏轉(zhuǎn)的油位探針測得的高度，由于探針必經(jīng)過探針?biāo)趫A柱橫截面的圓心，如圖5，有：，…………⑴圖5所以把研究儲油量與油位高度及參數(shù)，的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹谎芯績τ土颗c油位高度及參數(shù)的關(guān)系。則研究方法和問題一類似，也要分為圖5三段，①油液面低于圓柱體部分右端最低點(diǎn)，②油液面高于圓柱體部分左端最高點(diǎn)和③介于兩者之間的三段儲油量和油位高度的關(guān)系式。其中對圓柱體部分和左右球冠體分別積分求油量體積，三部分油量體積相加得出三段儲油量和油位高度的關(guān)系式，綜合得出儲油量與油位高度及變位參數(shù)的關(guān)系式，得出計(jì)算值，并與實(shí)際值比較，進(jìn)行誤差分析。然后運(yùn)用線性擬合的方法對V進(jìn)行修正，再利用附件2中的數(shù)據(jù)，用二分法原理，對，劃一個(gè)比較寬的范圍，結(jié)合閉矩形套定理編程，求出附件2的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的參數(shù)，，從而得出關(guān)系式。由此可求出儲油量的理論值，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析，驗(yàn)證函數(shù)關(guān)系式的可靠性，從而給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。問題一的模型建立與求解xxyXYxxyXYa-ab-b圖6橢圓方程：，則：，設(shè)儲油量的體積為V,橢

圓柱體的長度為L，油位高度為h，則：…………⑵其中a=1.78/2=0.89m，b=1.2/2=0.6m，L=2.45m。把附件1工作表“無變位進(jìn)油”中的油位高度一欄的高度值代入⑵式，計(jì)算出儲油量的理論值，計(jì)算MATLAB程序見附件一（part1），實(shí)際值與理論計(jì)算值隨油位高度變化的圖像見圖7。從圖7可以看出實(shí)際值和理論計(jì)算值的曲線吻合的比較好。又將對應(yīng)高度的實(shí)際值與計(jì)算值列入excel表中并計(jì)算理論計(jì)算的儲油量與實(shí)際儲油量的差值，并算出理論計(jì)算的儲油量對實(shí)際儲油量的相對誤差。其計(jì)算結(jié)果見附件二（sheet1），現(xiàn)截取其中十行見下表一。從附件二(sheet1)中的計(jì)算結(jié)果可以看出，對于同一油面高度，理論計(jì)算的儲油量對實(shí)際儲油量的相對誤差=，其相對誤差的最大值為3.4917316%，最小值為3.486559%，總體平均誤差為3.4883831%,近似為3.488%，說明無變位情況下計(jì)算值和實(shí)際值的相差比例可以看成常數(shù)。圖和表的結(jié)果說明了理論公式的科學(xué)性，同時(shí)也說明了積分求理論公式這種方法的合理性。從而得出了未變位時(shí)小橢圓罐的罐容表每隔1cm的標(biāo)定值，程序見附件一（part2），結(jié)果見附件二(sheet2)，表二給出了罐容表的部分理論標(biāo)定值。而計(jì)算所得的相對誤差結(jié)果可以為橢圓型儲油罐變位后罐容表的重新標(biāo)定提供參考依據(jù)。圖7圖7表一油位高度/mm理論計(jì)算

儲油量/L實(shí)際儲油

量/L理論值-實(shí)際值/L（理論值-實(shí)際值）/實(shí)際值159.02322.882631210.88260.034880128176.14374.63336212.6330.03489779192.59426.364941214.36490.034866262208.50478.131846216.13180.034917316223.93529.851951217.85190.034866992238.97581.605856219.60580.034885765253.66633.35261221.3520.034888889268.04685.08166223.0810.034865559282.16736.846871224.84680.034897191296.03788.577776226.57770.034878871表二油位高度/m理論計(jì)算

儲油量/L油位高度/m理論計(jì)算

儲油量/L油位高度/m理論計(jì)算

儲油量/L油位高度/m理論計(jì)算

儲油量/L0.1163.590.41199.310.72489.1513659.880.2450.270.51621.000.82910.841.13946.550.3803.540.62055.070.93306.611.24110.15橢球型儲油罐發(fā)生傾角為=4.10縱向變位后，在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)和高于左端最高點(diǎn)，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關(guān)系式，因而我們分了三段處理，得出儲油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系式（坐標(biāo)系見圖8）：圖8圖8由以上數(shù)據(jù)可得，(1).在油液面低于柱體右端最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)Z0為柱體底部部分覆蓋時(shí)，油位與底部的相交線離柱體左端的距離，由題中圖4可知Z00.4m時(shí)，油位探針不能檢測到油，所以此時(shí)油位探針檢測到的油位高度h值為：h=0。又柱體長度L=2.45m，所以對于0.4<Z0<2.45，對于Z處的油截面有，由此導(dǎo)出：即：（0.4<Z0<2.45）……⑶此時(shí)：從而得到h的范圍為：，即：。(2).在油液面高于柱體右端最低點(diǎn)和低于柱體左端最高點(diǎn)時(shí)，所以,對于Z處的油截面有y的積分上限為：則這種情況下儲油量與油位探針監(jiān)測到的油位高度的關(guān)系式為：…⑷此時(shí)h的范圍為，即0.1469mh1.1713m（3）.在油液面最高點(diǎn)高于柱體左端最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)Z1為頂部部分覆蓋時(shí)，油位與柱體頂部的相交線離柱體左端的距離，因?yàn)樵赯1>0.4m時(shí)，油位探針不能監(jiān)測到儲油量的值，此處不予考慮，所以Z1<0.4m。因而有：（為油位離柱體頂部的距離），則：對于Z處的油截面：（為Z處油位離柱體頂部的距離），所以可得y的積分下限為：由上可得此時(shí)儲油量的表達(dá)式：式中為橢圓柱體的總體積，即：所以……⑸此處0<Z1<0.4,<h<1.2,即1.1713m<h<1.2m.以上將橢圓柱體傾斜縱向變位時(shí)儲油量與油位高度的關(guān)系分為三段進(jìn)行考慮,得出了儲油量與測得的油位高度的關(guān)系式⑶、⑷、⑸。而題目中附件1的工作表“傾斜變位進(jìn)油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，工作表“傾斜變位出油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，所以對附件1中的數(shù)據(jù)只需用函數(shù)關(guān)系式⑷：（0.1469mh1.1713m）。首先建立對應(yīng)于⑷式的體積積分函數(shù)V=tuo（h,），程序見附件三。把附件一工作表“傾斜變位進(jìn)油”油位高度一欄的數(shù)據(jù)代入公式⑷計(jì)算，得出儲油量的理論計(jì)算值，其計(jì)算的MATLAB程序見附件四。在加油過程中，理論值和實(shí)際值隨高度變化的圖像見圖9。從圖9可以看出理論計(jì)算值和實(shí)際值的吻合效果很好。同時(shí)，將對應(yīng)高度的實(shí)際值與計(jì)算值列入excel表中并并計(jì)算理論計(jì)算的儲油量與實(shí)際儲油量的差值，并算出理論計(jì)算的儲油量對實(shí)際儲油量的相對誤差。其計(jì)算結(jié)果見附件五，現(xiàn)截取其中一部分，見下表三。從下表三和附件五知相對誤差有一個(gè)波動范圍，相對誤差的最大值為4.587221%，最小值為1.2719502%，平均誤差值為3.2303292%。此處的平均誤差與橢圓型儲油罐無變位時(shí)的平均誤差值3.4883831%很接近，這說明從整體上看，理論計(jì)算值與實(shí)際值產(chǎn)生的誤差是一樣的，即產(chǎn)生誤差的原因是一樣的?？v向變位后，從附件五的誤差數(shù)值和油位高度可以看出誤差數(shù)值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢，這可能是由于橢圓型儲油罐發(fā)生縱向變位后，沿Z軸各處液位深度不一致及油罐壁厚各處不完全均勻引起的。圖9圖9表三油位高度/mm理論計(jì)算

儲油量/L實(shí)際儲

油量/L理論計(jì)算值-實(shí)際值（理論計(jì)算值-實(shí)際值）/實(shí)際值411.29999.1649962.8636.30490.037705274423.451047.4491012.8634.5890.034149833438.331107.1651062.8644.30480.041684512450.541156.6511112.8643.79070.039349694463.91211.2631162.8648.40330.041624357892.923033.332962.7370.60040.023829509904.343078.763012.7366.03020.021917065917.343129.9493062.7367.21910.021947446929.93178.843112.7366.11030.021238688941.423223.1653162.7360.43530.019108587954.63273.2333212.7360.50320.018832333968.093323.7243262.7360.99420.018694222980.143368.1413312.7355.4110.016726688從以上對結(jié)果的分析可以知道，以上建立的函數(shù)關(guān)系式可以用來對罐體變位后儲油量的計(jì)算?？捎靡陨瞎舰恰ⅱ?、⑸對罐容體進(jìn)行重新標(biāo)定。在時(shí)，對變位和沒有變位時(shí)同一高度的儲油量比較的圖10，Matlab程見附件六。由圖10可以看出變后油位探針監(jiān)測同一油位高度時(shí)，變位前的儲油量大于變位后的儲油量。所以需要對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。首先建立對應(yīng)于⑶式的體積積分函數(shù)V1=tuo1（h,）（見附件七）和⑸式的體積積分函數(shù)V3=tuo3（h,）（見附件八），再分別編寫程序算出對應(yīng)的V1值，0.1469mh1.1713m對應(yīng)的V2值（V2和附件三中的V等價(jià)），1.1713m<h<1.2m.對應(yīng)的V3的值，程序見附件九。從而得出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值，標(biāo)定值見表四。綜合圖形和表格可以看出，在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型計(jì)算得到的結(jié)果具有可行性，進(jìn)而可以說明該模型是正確可靠的。從而問題一得到解決。表四油位高

度/m儲油量/L油位高

度/m儲油量/L油位高

度/m儲油量/L油位高

度/m儲油量/L0.001.67440.30595.24520.601798.5240.903072.4270.013.5310.31630.14620.611841.7970.913112.0010.026.26350.32665.58080.621885.1310.923151.2340.039.97480.33701.52560.631928.5130.933190.110.0414.75630.34737.95840.641971.9310.943228.6120.0520.69080.35774.85770.652015.3720.953266.7220.0627.85420.36812.2030.662058.8240.963304.4210.0736.31630.37849.97470.672102.2750.973341.6910.0846.14240.38888.15370.682145.7130.983378.5110.0957.39350.39926.72170.692189.1260.993414.8620.1070.1270.40965.66080.702232.51.003450.720.1184.39680.411004.9540.712275.8241.013486.0640.12100.25410.421044.5840.722319.0861.023520.870.13117.74750.431084.5350.732362.2731.033555.1140.14136.9230.441124.7910.742405.3721.043588.7690.15157.81840.451165.3360.752448.3721.053621.8080.16180.25910.461206.1550.762491.2591.063654.20.17203.99940.471247.2340.772534.021.073685.9150.18228.90660.481288.5570.782576.6431.083716.9180.19254.88490.491330.1110.792619.1151.093747.1710.20281.85770.501371.8810.802661.4231.103776.6360.21309.76080.511413.8540.812703.5521.113805.2660.22338.53870.521456.0150.822745.4911.123833.0130.23368.14260.531498.3520.832787.2251.133859.8190.24398.52850.541540.8510.842828.741.143885.6180.25429.65670.551583.4990.852870.0221.153910.3320.26461.49060.561626.2830.862911.0571.163933.8590.27493.99670.571669.190.872951.831.173956.0560.28527.14380.581712.2080.882992.3261.183976.510.29560.90240.591755.3230.893032.5311.193995.3921.204012.599圖10圖10問題二的模型建立與求解1．體積公式推導(dǎo)由以上問題分析⑴式可得：發(fā)生縱向偏轉(zhuǎn)和橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)的油位探針監(jiān)測高度h0轉(zhuǎn)換為只有縱向變位時(shí)的油位探針監(jiān)測高度h，有：則以下只需建立只有縱向變位時(shí)儲油量與油位高度的數(shù)學(xué)模型?？v向偏轉(zhuǎn)下儲油量與油位高度的關(guān)系式建立如下：圖11如圖11（儲油罐發(fā)生變位后的等價(jià)示意圖）所示，表示油位探針與圓柱體左端面的距離，表示油位探針與圓柱體右端面的距離，h1，h2分別表示液面與圓柱體左端面、右端面的交線到圓柱體底部的距離，則有：………………〔6〕由圖1和題目中的數(shù)據(jù)可得：，r為球冠體的半徑，R為圓柱體橫截面的半徑，由R=1.5求得r=1.625m。圖11中為油液面與左球冠體的交線和油液面與圓柱體左端面的交線的高度差，設(shè)d為球冠體球心到對應(yīng)圓柱體端面的距離，則d=r-1=0.625m，由勾股定理：，所以可以得到和的關(guān)系式。同理，可得到和的關(guān)系式：我們把實(shí)際儲油罐體積分為三部分計(jì)算，在問題的分析中已有說明，即為中間圓柱體、左球冠體、右球冠體體積的計(jì)算。（1）中間圓柱體體積的計(jì)算：由圖12所示的油面和圓柱體左右端面都相交的情況簡單容易計(jì)算體積，所以先計(jì)算這種情況下的體積。如下所示。其他較復(fù)雜的情況———油面低于圓柱體右端面最低點(diǎn)和油液面高于圓柱體左端面最高點(diǎn)時(shí)的情況，在計(jì)算總體積時(shí)計(jì)算。圖12圖13油面法向量為,且油面過點(diǎn),由幾何關(guān)系（如圖13）有,故油面方程為:如圖13，分別為左、右端面的y軸坐標(biāo)值，又，則可得圓柱體部分儲油量為：，記為。（2）左球冠體、右球冠體體積的計(jì)算。為了方便計(jì)算左球冠體、右球冠體儲油的體積，如圖14，我們把這每一側(cè)的球冠體的體積用一平行于平面的截面切割成兩部分，且兩截面與圓柱體底部的距離分別為h1，h2。這兩部分體積我們分別形象地稱之為、。首先計(jì)算下圖14左球冠體陰影部分的體積的公式:圖14圖15由幾何關(guān)系有（圖15）:又斜面過點(diǎn),斜面的單位法向量為，故斜面方程為:圖16經(jīng)柱面坐標(biāo)變換,代入方程得圖16在z坐標(biāo)確定時(shí),由圖16中幾何關(guān)系得:，為柱面坐標(biāo)下的積分上限；，為的積分下限利用對稱性,由于縱向偏角不會太大,故很小,為了便于計(jì)算，利用微分中值定理做近似計(jì)算有:上述結(jié)果記為:同理可得右球冠體的：近似為：記為，且等價(jià)于，所以程序里用代替，以便于編程。圖19然后計(jì)算下圖17的陰影部分體積,由文獻(xiàn)《容器內(nèi)存留液體體積與液位高度函數(shù)關(guān)系》[3]有:(本題中為1m,圖19為3m)，C為球冠體的厚度，D為圓柱體的底面直徑，h油罐體水平時(shí)的油面高度。最后根據(jù)上述兩半部分公式,對儲油罐兩端球冠體進(jìn)行

平行罐體分割后再計(jì)算儲油罐兩端球狀體的體積:左球冠體體積（圖18）：，記為(因?yàn)橐灿晌ㄒ淮_定)右球冠體體積（圖19）：，記為圖17圖18從上面可以看出中間段、左球冠狀、右球冠狀儲油體積計(jì)算的表達(dá)式都可以實(shí)現(xiàn)。（3）總體積的計(jì)算經(jīng)過問題分析，可以明顯地得到油面和實(shí)際儲油罐的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系分成如下圖20所示的三種情況:圖20圖20情形I（圖21）:圖21：由圖中幾何關(guān)系有:積分下限，；積分上限，,且，即為油液面與罐體頂部交線所在位置到圓柱體左端面的距離。圖21即::公式不變化,情形II:所有,,同原公式帶入情形III（圖22）::由幾何關(guān)系,積分上限為：

:公式不變化,圖22綜合以上三種情況可得：,2．體積函數(shù)的修正利用以上公式用Matlab計(jì)算體積，由于油罐

開始標(biāo)記時(shí)并未發(fā)生偏轉(zhuǎn)（見題目的附件2），因此可認(rèn)為顯示高度與顯示體積即為兩種偏轉(zhuǎn)角皆為0時(shí)的對應(yīng)值。將油位高度代入理論公式，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，計(jì)算程序見附件十，得出理論儲油量與實(shí)際儲油量的比較圖，見圖23：圖23圖23圖23中紅線為計(jì)算值，藍(lán)線為實(shí)際值。從圖中可以看出兩者有誤差，誤差來源可能是在計(jì)算體積中應(yīng)用微分中值定理產(chǎn)生的，設(shè)這一誤差為。因此對計(jì)算函數(shù)進(jìn)行平移修正為：（單位：m3）其中為待定系數(shù)。為了求得該系數(shù)，則原公式變?yōu)椋?，則y為線性函數(shù)。在無變位情況下，將代入各部分儲油量體積計(jì)算公式，從而得出y值，再利用Matlab中的polyfit函數(shù)對y與擬合，從而得到，程序見附件十四。再將油位高度代入修正后的理論公式，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，得出理論儲油量與實(shí)際儲油量的比較圖，見圖24：圖24從圖24可以看出修正后的函數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好，因而修正后的計(jì)算公式可以用來確定變位罐容體的變位參數(shù)和罐容表值的重新標(biāo)定。3．偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算簡記前述體積計(jì)算公式為：。利用二分法的原理，對平面劃一范圍不斷四等份搜索偏轉(zhuǎn)角。具體算法如下：取題目中的附件2中的一組油高，記為。對應(yīng)累計(jì)出油為。又在理論上，從到的累計(jì)出油為：。則總誤差為；取定區(qū)域?yàn)?，四等份，取每一小區(qū)域的中點(diǎn)，計(jì)算。比較的大小，把總誤差最小的點(diǎn)所在的小區(qū)域的四個(gè)頂點(diǎn)賦給，返回（2）繼續(xù)計(jì)算直到總誤差達(dá)到足夠的精度停止。在以上算法中，記步驟（3）第

j次重復(fù)得到的區(qū)域?yàn)?，必有，邊長以的速度收斂到0，由閉矩形套定理必定能收斂到一個(gè)點(diǎn)。利用附件十六的搜索數(shù)據(jù)（由原題提供的附表二計(jì)算得到）及附件十一提供的程序，循環(huán)10次，計(jì)算得：，將，代入修正后的體積計(jì)算公式與附表二提供的數(shù)據(jù)比較如圖25、圖26，程序見附件十五。所有具體的數(shù)值與相對誤差見附件十二（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)）與附件十三（一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)如表五。從圖25、圖26可知理論計(jì)算值和實(shí)際數(shù)據(jù)幾乎重合。而從附件十二中可得相對誤差的最大值為4.05%,最小值為0，平均值為0.533%;附件十三可得相對誤差的最大值為4.61%,最小值為0，平均值為0.591%。從圖和這些數(shù)據(jù)可得求得的兩偏轉(zhuǎn)角精度很高，可靠性和準(zhǔn)確性很好，可以用來對題中附件2所對應(yīng)的變位罐容體的罐容表的重新標(biāo)定。因而，將，這組偏角代入校正后的罐容體儲油量計(jì)算公式，即可得出高度與體積的關(guān)系，程序見附件十七，罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值見表六。圖25（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)。紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù)，藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù)）圖26(一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù),紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù)，藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù))表五顯示高度(m)實(shí)際數(shù)據(jù)(L)計(jì)算數(shù)據(jù)(L)相對誤差2.6243149.09149.250.0010731772.620768.4568.7460.0043243242.6103199.27198.040.006172532.606670.0570.7230.0096074232.5996136.36135.650.0052068062.5876232.74233.890.0049411362.582107.97109.190.0112994352.579649.2448.9810.0052599512.575480.6581.8250.0145691262.5695120.29119.040.0103915542.5641108.24106.860.0127494462.559883.4686.2260.0331416252.5485229.93229.944.34915E-052.5396181.7180.520.0064942212.528238.52239.380.0036055682.5216131.79132.430.0048562112.5102238.33238.358.39173E-052.508242.9243.3040.0089468782.5001171.34170.960.002217813表六（變?yōu)楹蠊奕荼碇匦聵?biāo)定值）高度(m)體積(L)高度(m)體積(L)高度(m)體積(L)0180．331167042441220.1450．131.1193042.1467590.21125.11.2219772.2493130.32258.61.3247062.3517680.43730.71.4274772.4541050.55460.31.5302732.5563000.67401.81.6330812.6583300.79521.91.7358842.7601660.8117941.8386692.8617670.9141951.9414202.963078363976同時(shí)，為便于比較計(jì)算結(jié)果，這里給出無變位時(shí)儲油罐的罐容表每隔10cm的儲油量標(biāo)定值，見表七，程序只需將附件十七中的都換成0即可。表七（無變位時(shí)罐容表理論計(jì)算值）高度(m)體積(L)高度(m)體積(L)高度(m)體積(L)0133.281185852461790.1693.151.1212532.1487690.217741.2239832.2512650.33192.61.3267582.3536470.44876.71.4295622.4558940.56780.31.5323822.5579830.68869.51.6352012.6598870.7111171.7380062.7615710.8134991.8407812.8629900.9159941.9435102.964071364630綜上圖形和表格可以看出，在同一油位高度下計(jì)算得到儲油罐的油量容積和實(shí)際儲油罐的油量容積吻合的很好，因此在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型計(jì)算得到的結(jié)果具有一定的可行性，進(jìn)而可以說明該模型是正確可靠的。八、模型的進(jìn)一步討論和改進(jìn)對問題一的改進(jìn)：橢圓型儲油罐縱向變位后，從附件五的誤差數(shù)值和油位高度可以看出誤差數(shù)值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢。雖然計(jì)算值和實(shí)際值的誤差很小，但為了計(jì)算更準(zhǔn)確，更接近實(shí)際，我們對誤差隨監(jiān)測油位高度的變化進(jìn)行了多項(xiàng)式擬合，發(fā)現(xiàn)三次擬合效果最好。擬合圖形和散點(diǎn)圖見圖27（散點(diǎn)為附件五中的（理論計(jì)算值-實(shí)際值）/實(shí)際值，藍(lán)線為擬合曲線），從圖中可以看出擬合效果很好。因而設(shè)誤差隨油位高度變化的函數(shù)關(guān)系式為。有理論計(jì)算函數(shù)關(guān)系式為：，又，為使矯正后的結(jié)果更接近實(shí)際值，因而可近似得到（V理論-V矯正）/V矯正=f(h),導(dǎo)出。由以上公式重新標(biāo)定罐容表的值將更準(zhǔn)確。圖27對問題二的改進(jìn)：在前述模型建立的的函數(shù)后，對于問題（2）中求偏轉(zhuǎn)角度的解答是通過不斷迭代嘗試搜索，只能逐步逼近，方法上不夠簡潔，且需要計(jì)算機(jī)幫助。由于偏轉(zhuǎn)角的不同，導(dǎo)致罐體位置的變化，會影響油量進(jìn)出與高度升降的速度，即關(guān)于有拐點(diǎn)位置。同時(shí)又有時(shí)的即為拐點(diǎn)。因此，我們可以改進(jìn)偏轉(zhuǎn)角度的方法，以簡化尋找的難度。首先在偏轉(zhuǎn)角的一定范圍內(nèi)計(jì)算不同高度的油的體積，在進(jìn)行一次數(shù)值差分，再重復(fù)進(jìn)行二次插分，用以代替二階導(dǎo)數(shù)，最小的點(diǎn)即為拐點(diǎn)。以建立偏轉(zhuǎn)角與拐點(diǎn)的近似對應(yīng)關(guān)系表。只要對實(shí)際測量所得的數(shù)據(jù)做與以上同樣的處理，找到拐點(diǎn)并與關(guān)系表對應(yīng)即可找出偏轉(zhuǎn)角九、模型的檢驗(yàn)及科學(xué)性分析模型的檢驗(yàn)：對于問題一，我們首先建立了無變位時(shí)橢圓形儲油罐的儲油量和油面高度的關(guān)系式，由關(guān)系式計(jì)算出來的出油量和實(shí)際值的比較見圖7，從圖中可以看出，理論計(jì)算和實(shí)際很接近，吻合得很好，這說明我們建立的模型的正確性、可靠性。同樣，我們建立的對于縱向變位時(shí)橢圓形儲油罐的出油量和油面高度的關(guān)系式，儲油量理論計(jì)算值和實(shí)際值的比較見圖9，同樣可以看出理論值的曲線幾乎和實(shí)際值的曲線平行并且十分靠攏，說明了建立的模型的準(zhǔn)確性，可以用來對罐容表值進(jìn)行重新標(biāo)定。對于問題二，我們首先建立了罐內(nèi)儲油量和油位高度及變位參數(shù)之間的關(guān)系式，并利用題目中的附件2中顯示高度和顯示油量容積進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，其結(jié)果見圖23和圖24，從修正后的圖24可以看出模型計(jì)算值和實(shí)際值吻合程度非常好，說明了模型的正確性。通過附件二中部分?jǐn)?shù)據(jù)通過迭代的方法計(jì)算出，并將計(jì)算出來的代入（）進(jìn)行模擬，并與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，結(jié)果見圖25和圖26及附件十二和附件十三，可見絕大部分計(jì)算值與實(shí)際值重合，說明結(jié)果的可靠性和模型的正確性?？茖W(xué)性分析：（1）思維的合理性對于問題一，我們建立了未變位和變位的理論計(jì)算模型，對理論計(jì)算值和實(shí)際值進(jìn)行比較分析，得出建立模型的合理性，并對變位前和變位后同一高度的理論計(jì)算模型值進(jìn)行比較，得出了罐體變位后對罐容表的影響，并成三段考慮了儲油量與油位高度的關(guān)系式，從而更準(zhǔn)確地對罐體變位后罐容表值進(jìn)行標(biāo)定。對于問題二，先考慮油面與圓柱體左右兩底面都有交線的情形，再考慮只與圓柱體單一底面有交線的復(fù)雜情形，并將圓柱體部分，球冠體部分分開計(jì)算，然后進(jìn)行整合，得出儲油量和油面高度的一般關(guān)系式。利用題中附件2的數(shù)據(jù)用MATLAB并結(jié)合二分法原理計(jì)算出變位參數(shù)，并回代進(jìn)行檢驗(yàn)。然后又對模型進(jìn)行了一步討論和分析，因而我們的思路是合理可行的。（2）方法的科學(xué)性本文針對不同問題，使用了各種可靠的科學(xué)的建模方法，其間我們運(yùn)用了分段積分考慮，微分中值定理對球冠體近似計(jì)算，線性擬合的方法對問題二的理論計(jì)算公式進(jìn)行修正，并用迭代的方法計(jì)算出了變位參數(shù)，并回代入方程進(jìn)行仿真，與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。所以我們建立的模型對問題一、二的求解是合理的、科學(xué)的。模型的評價(jià)1、模型的優(yōu)點(diǎn)（1）通過處理數(shù)據(jù)、分析圖形，巧妙地應(yīng)用了積分函數(shù)，對理論計(jì)算值與實(shí)際值比較后，進(jìn)行了修正，使模型更合理；（2）運(yùn)用了微分中值定理計(jì)算球冠體儲油量，所得結(jié)果較為可靠。(4)運(yùn)用了線性擬合的方法對問題二的儲油量計(jì)算公式進(jìn)行修正，使公式更為精確。（3）運(yùn)用了循環(huán)迭代法確定，計(jì)算出的值準(zhǔn)確。（4）運(yùn)用CAD作圖，使模型更為明了。2、模型的缺點(diǎn)（1）對于問題一建立的理論儲油量和油位高度對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式未作矯正，對罐容表重新標(biāo)定的值有一定誤差。（2）對問題二，建立的體積函數(shù)關(guān)系式過于復(fù)雜，未利用題中附件2中全部數(shù)據(jù)并依據(jù)最小二乘法找到最佳的偏轉(zhuǎn)角，只能找到近似值。參考文獻(xiàn)[1].周曉陽，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與Matlab[M]，武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002年；[2].馬知恩，王綿森，工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第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