直線相關(guān)與直線回歸分析1第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月學習目標1.說出直線相關(guān)與直線回歸的概念；2.說出等級相關(guān)的適用范圍；3.能計算直線相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)、進行假設檢驗；4.能從專業(yè)角度考慮相關(guān)與回歸的實際意義。2第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個變量之間的關(guān)系大致分為兩種：3第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.兩個變量共同變化的，是一種相互依賴的關(guān)系例如身高與體重的關(guān)系?？梢杂孟嚓P(guān)分析方法去研究這種關(guān)系。可以研究兩個變量之間的相互關(guān)系的密切程度和變化趨勢，并用恰當?shù)慕y(tǒng)計指標表達。4第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.一個變量對另外一個變量有著某種依存關(guān)系例如兒子的身高與父親的身高有著某種依存關(guān)系，可以用回歸分析的方法去研究這種關(guān)系，即把兩個變量間的數(shù)量依存關(guān)系用函數(shù)形式表示出來，用一個或多個變量去推測另一個變量的估計值和波動范圍，這就是回歸分析。5第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月為了研究父親與成年兒子身高之間的關(guān)系，卡爾.皮爾遜測量了1078對父子的身高。把1078對數(shù)字表示在坐標上，如圖。用水平軸X上的數(shù)代表父親身高，垂直軸Y上的數(shù)代表兒子的身高，1078個點所形成的圖形是一個散點圖。它的形狀象一塊橄欖狀的云，中間的點密集，邊沿的點稀少，其主要部分是一個橢圓。6第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)直線相關(guān)分析

LinearCorrelation7第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.直線相關(guān)概念概念：描述和推斷兩個（事件、現(xiàn)象）正態(tài)變量（x、y)總的變化趨勢上協(xié)同變化規(guī)律性的密切程度和方向（但又非確定的函數(shù)關(guān)系）的統(tǒng)計分析方法。協(xié)同變化：同增同減，此增彼減8第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.直線相關(guān)的特點：兩變量同時進入數(shù)據(jù)分析；兩變量不區(qū)別為原因變量和結(jié)果變量，是一種互為因果的數(shù)量協(xié)同變化關(guān)系；變量類型：兩變量應同時滿足正態(tài)分布的條件（實際工作中近似正態(tài)分布）。9第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)分析1.圖示法：有無相關(guān)、相關(guān)程度、相關(guān)方向2相關(guān)系數(shù)：在求相關(guān)系數(shù)前，最好先做圖。10第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)分析：無自變量、因變量、地位平等。回歸分析：有自變量、因變量，兩者從屬關(guān)系。11第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月繪制散點圖分析研究兩個變量x與y之間的關(guān)系時，兩個變量的值可視為直角坐標系的一個點。為直觀地判斷兩個變量間的關(guān)系，可把每對（x,y)變量值在直角坐標系標點出來，此為散點圖。若一個變量x由小到大（或由大變?。?，則另一變量相應地由小到大（或由大到?。?，兩個變量的散點圖呈直線趨勢，可稱這種現(xiàn)象為共變。12第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、相關(guān)的類型★正相關(guān)★負相關(guān)★完全正相關(guān)★完全負相關(guān)★零相關(guān)

13第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月一、直線相關(guān)統(tǒng)計量14第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)及意義相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是用以衡量兩個變量線形相關(guān)有無、強弱與方向的統(tǒng)計指標。總體參數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)：r15第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)的計算公式16第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月r的計算結(jié)果：說明了兩個變量X與Y之間關(guān)聯(lián)的密切程度（絕對值大?。┡c關(guān)聯(lián)的性質(zhì)（正負號）。17第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月r是無量剛的統(tǒng)計量；-1<r<1

r可正可負（正表正相關(guān)，負表負相關(guān)）；r＝0零相關(guān)（無線性相關(guān)）r的大小表示相關(guān)的程度，越接近1，表相關(guān)性越好，越接近0，表相關(guān)性越差。相關(guān)系數(shù)的特點：18第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月二、直線相關(guān)系數(shù)的計算例15－1某醫(yī)師研究12名癲癇病人口服魯米那后兩小時唾液藥物濃度與血液藥物濃度之間的數(shù)量關(guān)系。試計算兩種體液藥物濃度間的直線相關(guān)關(guān)系。19第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.根據(jù)原始數(shù)據(jù)做散點圖，從圖中各點的分布情況看，血液藥物濃度Y隨唾液藥物濃度X增加而增加的趨勢。2.計算相關(guān)系數(shù)（1）計算基礎數(shù)據(jù)根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得20第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）直線相關(guān)系數(shù)的假設檢驗上例中的相關(guān)系數(shù)r等于0.9256，說明了12名癲癇病人的唾液藥物濃度與血液藥物濃度之間存在相關(guān)關(guān)系。但是，這12名癲癇病人只是總體中的一個樣本，由此得到的相關(guān)系數(shù)會存在抽樣誤差。因為，總體相關(guān)系數(shù)（）為零時，由于抽樣誤差，從總體抽出的12例，其r可能不等于零。所以，要判斷該樣本的r是否有意義，需與總體相關(guān)系數(shù)=0進行比較，看兩者的差別有無統(tǒng)計學意義。這就要對r進行假設檢驗，判斷r不等于零是由于抽樣誤差所致，還是兩個變量之間確實存在相關(guān)關(guān)系。22第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

對相關(guān)系數(shù)的假設檢驗，常用t檢驗，選用統(tǒng)計量t的計算公式如下：

=n-2

23第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)建立假設H0：=0，即X與Y間無直線相關(guān)關(guān)系H1：≠0，即X與Y間有直線相關(guān)關(guān)系（2）確定檢驗水準：=0.05（3）確定單雙測檢驗：本例選擇雙測檢驗（4）計算t值：r=0.9256,n=12,代入公式=n-2=12-2=10

t=7.73，查t值表P436，上述計算t=7.73>2.228，由t所推斷的P值小于0.05，按=0.05水準拒絕H0，接受H1,r為正值，說明唾液藥物濃度與血液藥物濃度存在正相關(guān)關(guān)系。24第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)一定有內(nèi)在聯(lián)系嗎？某君喜得貴子，庭前種一小樹，每月測子高與樹高，積累了數(shù)據(jù)。統(tǒng)計計算發(fā)現(xiàn)，子高與樹高具有相關(guān)性，難道兩者真有內(nèi)在聯(lián)系？原來子高與樹高均與日俱增，時間變量與兩者得潛在聯(lián)系，造成了子高與樹高的虛假聯(lián)系。25第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系是一回事嗎？相關(guān)關(guān)系可能是：（1）兩個變量之間存在依存因果關(guān)系，如由于遺傳的原因，子女的身高數(shù)值的大小在很大程度上取決于父母的身高。（2）兩個變量之間存在相互的伴隨關(guān)系，如“蛙鳴而燕至”，雖然年年如此，但蛙鳴永遠也不能成為燕至的原因。26第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月直線相關(guān)的應用

相關(guān)是研究兩個變量間的相互關(guān)系，而且這種相互關(guān)系是用相關(guān)系數(shù)反應的。在確實存在相關(guān)關(guān)系的前提下，如果r的絕對值越大，說明兩個變量之間的關(guān)聯(lián)程度越強，那么，已知一個變量對預測另一個變量越有幫助；如果r絕對值越小，則說明兩個變量之間的關(guān)系越弱，一個變量的信息對猜測另一個變量的值無多大幫助。一般說來，當樣本量較大（n>100），并對r進行假設檢驗，有統(tǒng)計學意義時，r的絕對值大于0.7，則表示兩個變量高度相關(guān)；r的絕對值大于0.4，小于等于0.7時，則表示兩個變量之間中度相關(guān)；r的絕對值大于0.2，小于等于0.4時，則兩個變量低度相關(guān)。

27第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

前面我們討論了12名癲癇病人的唾液藥物濃度和血液藥物濃度之間的關(guān)系，知道了二者之間成正相關(guān)。那么，如果我們知道了一位癲癇病人的唾液藥物濃度，能推斷出血液藥物濃度的大小嗎？或血液藥物濃度可能在什么范圍內(nèi)呢？還有，唾液藥物濃度和血液藥物濃度。那么，體重每增加1微克，血液藥物濃度增加多少呢？上面的相關(guān)關(guān)系分析不能提供給我們需要的答案。這些要用直線回歸的方法來解決。28第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月五、直線相關(guān)分析的注意點作直線相關(guān)分析時，應結(jié)合散點圖來判斷兩變量的數(shù)量協(xié)同變化關(guān)系是否呈直線關(guān)系，避免將某些曲線關(guān)系誤判為直線關(guān)系；應該注意假相關(guān)情況；當兩變量均明顯不呈正態(tài)分布時，最好采用秩相關(guān)統(tǒng)計分析方法計算秩相關(guān)系數(shù)。29第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)直線回歸分析linearRegression30第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月“回歸”一詞的來由“回歸”一詞最早由Golton在一項有關(guān)父親與兒子身高的研究中提出。兒子的身高（Y）與父親的身高（X)自然是相關(guān)的，他發(fā)現(xiàn)身材高大的父親所生兒子的高度不少要比其父親矮，而身材矮小的父親所生的兒子不少要比其父親高；也就是說，無論是身材高還是身材矮的父親所生兒子的身高有向人群的平均身高“回歸”的趨勢，這就是“回歸”的生物學內(nèi)涵。后來人們借助“回歸”一詞來描述通過自變量的數(shù)值預測反應變量的平均水平。31第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月為了通過可測或易測的變量對未知或難測或不可測量的狀態(tài)進行估計，可以借助回歸分析。例如：我們可以用身高、體重、肺活量這些容易測得的指標來估計心室血輸出量、體循環(huán)總血量等相對難測的指標；通過對產(chǎn)婦的尿雌三醇含量的檢測來估計腹中胎兒體重，以便采取必要的措施降低生產(chǎn)過程的難產(chǎn)風險。32第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）當我們知道了兩個變量之間有直線相關(guān)關(guān)系，并且一個變量的變化會引起另一個變量的變化，這時，如果它們之間存在準確、嚴格的關(guān)系，它們的變化可用函數(shù)方程來表示，叫它們是函數(shù)關(guān)系，它們之間的關(guān)系式叫函數(shù)方程。（2）但在實際生活當中，由于其它因素的干擾，許多雙變量之間的關(guān)系并不是嚴格的函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)方程反映，為了區(qū)別于兩變量間的函數(shù)方程，我們稱這種關(guān)系式為直線回歸方程，這種關(guān)系為直線回歸.33第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月直線回歸的定義分析兩個變量X、Y之間確切的定量關(guān)系，建立一個方程式，從而可由X變量的大小推算出Y變量的估計值。直線回歸就是用來描述一個變量如何依賴于另一個變量。34第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月回歸方程

直線回歸的任務就是要找出一個變量隨另一個變量變化的直線方程，我們把這個直線方程叫做直線回歸方程。

:是由自變量X推算應變量Y的估計值(讀作Yhat)a：是回歸直線在Y軸上的截距，即X=0時的Y值；b:為樣本的回歸系數(shù)，即回歸直線的斜率，表示當X變動一個單位時，Y平均變動b個單位。35第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月直線回歸分析的特點：兩變量同時進入數(shù)據(jù)分析；兩變量必須區(qū)分為自變量X和應變量Y;要求應變量Y為正態(tài)分布，或?qū)籜值的應變量Y與直線回歸方程估計值的差值服從正態(tài)分布適用于兩變量數(shù)量協(xié)同變化關(guān)系密切的情況，否則回歸估計誤差過大，無應用價值。36第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月直線回歸分析的意義可以用來較準確描述兩變量的定量關(guān)系；可以在一定自變量變化線性范圍內(nèi)由自變量預報應變量值，給定應變量的控制限值，利用直線方程尋找自變量的控制限值。37第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

要使是最適合的直線，

必須滿足下列條件:

(1)直線上方各點離回歸線的距離（以平行于Y軸計算）之和與直線下方各點離回歸線的距離之和絕對值相等，但方向相反，因此：38第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）此直線是使得誤差平方和為最小值的直線，即因變量的實際觀察值y與理論值之差的平方和取最小值。對于每一個x值來說，它所對應實際的y值，與估計的值往往會存在差異，這個差異就是用估計值來代替實際y值所產(chǎn)生的誤差，即，誤差越小越好，由于理論上，因此要把為最小值的直線當作回歸直線是很困難的。一個最佳且能表達同樣目的的方法，那就是將此直線定義為使得誤差平方和為最小值的直線。這個方法稱為最小二乘法。39第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)最小二乘法原理，a和b的計算公式Lxy為離均差積和，Lxx為x的離均差平方和40第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月三、直線回歸分析的方法步驟與作圖例15－2根據(jù)例15－1的資料以唾液藥物濃度作自變量X，以血藥物濃度作應變量Y，進行直線回歸分析，并作出回歸直線。具體過程見書P26941第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例16-3某研究人員采用不同劑量山莨菪堿測得小白鼠的擴瞳指數(shù)，試分析山莨菪堿和擴瞳指數(shù)之間的回歸關(guān)系。1.繪制散點圖有相關(guān)關(guān)系，再作回歸分析2.計算回歸系數(shù)42第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）編制回歸系數(shù)計算表：求基礎數(shù)據(jù)43第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）計算離均差平方和及離均差積和44第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)計算b，a，得回歸方程:45第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月=0.445+0.117X是否一定能說明山莨菪堿與擴瞳指數(shù)之間存在回歸關(guān)系？

46第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月回歸直線的描繪

根據(jù)求得的回歸方程，可以在自變量X的實測范圍內(nèi)任取兩個值，代入方程中，求得相應的兩個Y值，以這兩對數(shù)據(jù)找出對應的兩個坐標點，將兩點連接為一條直線，就是該方程的回歸直線?；貧w直線一定經(jīng)過（0，a），（）。這兩點可以用來核對圖線繪制是否正確。47第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月與直線相關(guān)一樣，直線回歸方程也是從樣本資料計算而得的，同樣也存在著抽樣誤差問題。所以，需要對樣本的回歸系數(shù)b進行假設檢驗，以判斷b是否從回歸系數(shù)為零的總體中抽得。為了判斷抽樣誤差的影響，需對回歸系數(shù)進行假設檢驗?？傮w的回歸系數(shù)一般用β表示。

48第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.方差分析F=MS組間/MS組內(nèi)2.t檢驗

回歸系數(shù)的假設檢驗H0：β=0H1：β≠0α=0.05選擇合適的假設檢驗方法，計算統(tǒng)計量計算概率值P做出推論：統(tǒng)計學結(jié)論和專業(yè)結(jié)論當變量Y服從正態(tài)分布時，回歸系數(shù)得顯著性檢驗可用t檢驗，也可用方差分析49第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.采用方差分析

（了解）50第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1.平方和與自由度的分解因變量Y得變化規(guī)律：y值的變異可用離均差平方和來反映：51第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月是回歸值與平均數(shù)之差的平方和，根據(jù)回歸方程，回歸值因此可以把看做是由于x的變化而引起的y值的變化，所有這些量的平方和

反映了在y總的變異中由于x與y的線性關(guān)系而引起y變化的部分，稱它為回歸平方和，用SS回表示，y的這部分變異是由x解釋的。因此回歸平方和也就是考慮了x與y的線性關(guān)系，或者說作了回歸后能使總平方和減少的部分，所以越大，說明回歸效果越好。53第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月是所有觀察點距回歸直線的剩余的平方和，根據(jù)前述的最小二乘法原理，這個量是在所有類似的直線中與觀測點距離平方和最小的一個，它除了x對y的線性影響之外的一切因素對y變異的作用，稱為剩余平方和（或殘差平方和）用SS剩表示，也就是在總平方和中無法用x解釋的部分。在散點圖中，各實測點與回歸直線越近，也就越小，說明直線回歸的估計誤差越小。54第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月為y的離均差平方和，又稱總平方和，用SS總表示，說明未考慮x與y的回歸關(guān)系時y的變異，三者之間的關(guān)系：SS總＝SS回+SS剩V總=v回+v剩V總＝N-1,N為樣本含量V回：對應于自變量的個數(shù)，因此v回＝1，v剩＝N-2以離均差平方和除以自由度可得均方，即MS回＝SS回/v回MS=SS回/v回如果回歸均方顯著地大于剩余均方，則說明回歸是顯著的，因此可用方差分析的方法來檢驗回歸方程是否有顯著性意義。55第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.采用t檢驗方法將除以它的自由度n-2，即得估計值的方差，稱為剩余方差，開方即得剩余標準差，其中Sy.x為各觀察值y到回歸直線的距離的標準差，它的意義是指當x對y的影響被扣除后，y仍有剩余變異，其變異的程度可用來衡量，故用來反映y的剩余變異。56第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月自由度=5-2=3，查t值表，t0.05(3)=3.182,6.573>3.182，P<0.05,按=0.05檢驗水準，拒絕H0,說明擴瞳指數(shù)與山莨菪堿之間存在直線回歸關(guān)系。57第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月六、直線回歸分析中應注意的問題1、作直線回歸分析適合在兩變量數(shù)量協(xié)同變化直線關(guān)系較為密切時進行，否則直線回歸方程預報誤差過大，無實用價值。2、直線回歸方程原則上只適用于樣本資料提供的自變量線性范圍內(nèi)，不能任意外延。自變量線性范圍以外尚不知道兩變量是否存在直線關(guān)系。58第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3.直線回歸分析只要求應變量Y或?qū)籜值的Y-Yhat值呈正態(tài)分布，對數(shù)值型自變量X無正態(tài)分布要求。4.應用直線回歸分析方法制作實驗方法的工作曲線時，由于工作曲線應用屬于“逆預報”，是通過應變量Y推X值，故必須滿足X與Y呈近似直線函數(shù)關(guān)系時，才能這樣做。為此，要求作為樣本資料中自變量的各標準液濃度應重復測定幾次，取對應每一標準液濃度的Y的均值，建立直線回歸方程并繪出工作曲線。59第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月七、直線相關(guān)與直線回歸分析的比較60第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）聯(lián)系兩種分析方法都是研究兩變量數(shù)量協(xié)同變化直線關(guān)系的統(tǒng)計方法；關(guān)系：

能進行回歸分析的變量之間存在相關(guān)關(guān)系。所以，對于兩組新數(shù)據(jù)（兩個變量）可先做散點圖，求出它們的相關(guān)系數(shù)，對于確有相關(guān)關(guān)系的變量再進行回歸分析，求出回歸方程。61第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b

r與b的符號一致。r為正時，b也為正，表示兩變量是正相關(guān)，是同向變化。r為負時，b也為負，表示兩變量是負相關(guān)，是反向變化。r與b的假設檢驗結(jié)果一致，可用r的顯著檢驗代替b的顯著性檢驗。

62第62頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月同一資料直線相關(guān)系數(shù)與直線回歸系數(shù)假設檢驗的結(jié)果和水平一致，即tr=tb同一資料r2=byx.bxy63第63頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)與回歸的區(qū)別

1.意義：相關(guān)反映兩變量的相互關(guān)系，即在兩個變量中，任何一個的變化都會引起另一個的變化，是一種雙向變化的關(guān)系。回歸是反映兩個變量的依存關(guān)系，一個變量的改變會引起另一個變量的變化，是一種單向的關(guān)系。2.應用：研究兩個變量的相互關(guān)系用相關(guān)分析。研究兩個變量的依存關(guān)系用回歸分析。64第64頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3.研究性質(zhì)：相關(guān)是對兩個變量之間的關(guān)系進行描述，看兩個變量是否有關(guān)，關(guān)系是否密切，關(guān)系的性質(zhì)是什么，是正相關(guān)還是負相關(guān)。回歸是對兩個變量做定量描述，研究兩個變量的數(shù)量關(guān)系，已知一個變量值可以預測出另一個變量值，可以得到定量結(jié)果。4.相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b：r與b的絕對值反映的意義不同。r的絕對值越大，散點圖中的點越趨向于一條直線，表明兩變量的關(guān)系越密切，相關(guān)程度越高。b的絕對值越大，回歸直線越陡，說明當X變化一個單位時，Y的平均變化就越大。反之也是一樣。

65第65頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2