安徽省滁州市來安縣半塔中學高三數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，正方體中，，分別為棱、上的點；已知下列判斷：①平面；②在側(cè)面上的正投影是面積為定值的三角形；③在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；④平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點的位置有關，與點的位置無關；其中正確判斷的個數(shù)有

(

)A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：B略2.某次數(shù)學測試后從兩個班中各隨機的抽取10名學生的數(shù)學成績，作出它們的莖葉圖如圖所示，已知甲班的中位數(shù)為，標準差為，乙班的中位數(shù)為，標準差為，則由莖葉圖可得

（

）A．

B．C．

D．參考答案：A3.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應填入的條件是A．i>10?

B．i<10?

C．i>20?

D．i<20?參考答案：A4.（理）設全集是實數(shù)集，，，則圖中陰影部分表示的集合是A． B． C． D．參考答案：B：Venn圖表示的是,因為，，所以，故選B。5.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像 （

）

A．向右平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：A略6.（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）．當x∈[﹣3，﹣1）時，f（x）=﹣（x+2）2，當x∈[﹣1，3）時，f（x）=x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（）A．336B．355C．1676D．2015參考答案：A【考點】：數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：直接利用函數(shù)的周期性，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的和，然后求解即可．解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）．可得函數(shù)的周期為：6，當x∈[﹣3，﹣1）時，f（x）=﹣（x+2）2，當x∈[﹣1，3）時，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2015=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故選：A．【點評】：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結合，函數(shù)的值的求法，函數(shù)的周期性的應用，考查計算能力．7.已知復數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點Z落在第二象限，則a的范圍(-1,

B.(-1.1)

C.(-∞,-1)

D.(1,)參考答案：C略8.設甲、乙兩地的距離為，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)的圖象為

參考答案：D9.設x∈R，則x=l是的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A10.把五位領導派往三個不同的城市監(jiān)督檢查指導食品衛(wèi)生工作，要求每個城市至少派一位領導的不同分配方案有（

）A.36種

B.150種

C.240種

D.300種參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點，右準線與一條漸近線的交點為P，且|OP|、|PF|、|OF|成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率

.參考答案：答案:

12.已知復數(shù)，則z的虛部為

．參考答案：113.如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當△ABC滾動到△A1B1C1時，頂點B運動軌跡的長度為；在滾動過程中，的最大值為．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由題意便可知道，點B的軌跡為兩個圓心角都為的圓弧和一個點，這樣即可求出點B的軌跡長度，分別求出點B在滾動前后的縱坐標的最大值，并求出P（），這樣即可求出的最大值．【解答】解：根據(jù)題意知，點B的軌跡為兩個圓心角為所對的圓弧和一個點；且圓弧的半徑為2；∴頂點B運動軌跡的長度為；，設B（x，y）；①沒滾動前點B坐標；∴；②第一次滾動后B點縱坐標y≤2；∴；③第二次滾動后B點坐標（3，0）；∴；④第三次滾動后B點縱坐標y≤2；∴；∴的最大值為．故答案為：．14.如圖，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，且．有以下結論：①當x＝0時，y∈[2，3]；②當P是線段CE的中點時，；③若x+y為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段；④x﹣y的最大值為﹣1；其中你認為正確的所有結論的序號為_____．參考答案：②③④【分析】利用向量共線的充要條件判斷出①錯，③對；利用向量的運算法則求出，求出x，y判斷出②對,利用三點共線解得④對【詳解】對于①當，據(jù)共線向量的充要條件得到P在線段BE上，故1≤y≤3，故①錯對于②當P是線段CE的中點時，故②對對于③x+y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，故P的軌跡是線段，故③對對④，，令，則，當共線，則，當平移到過B時，x﹣y的最大值為﹣1，故④對故答案為②③④【點睛】本題考查向量的運算法則、向量共線的充要條件,考查推理能力，是中檔題15.．正三棱錐內(nèi)接于球，且底面邊長為，側(cè)棱長為2，則球的表面積為

．參考答案：如圖，設三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．16.如圖，已知點在圓直徑的延長線上，過作圓的切線,切點為若,則圓的面積為

.參考答案：略17.和棱長為2的正方體6個面都相切的球的表面積是_________．參考答案：4π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）

已知函數(shù)

上恒成立.

（1）求的值；

（2）若

（3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)上有最小值－5？若

存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由.參考答案：解析:（1）

恒成立

即恒成立

顯然時，上式不能恒成立

是二次函數(shù)

由于對一切于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

即

．

（2）

即

當，當．

（3）

該函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為

假設存在實數(shù)m使函數(shù)區(qū)間

上有

最小值－5.

①當上是遞增的.

解得舍去

②當上是遞減的，而在

區(qū)間上是遞增的，

即

解得

③當時，上遞減的

即

解得應舍去.

綜上可得，當時，

函數(shù)19.（2015?大連模擬）已知曲線C：，直線l：（t為參數(shù)）（1）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出直線l的極坐標方程和曲線C的參數(shù)方程；（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）把曲線C的普通方程化為參數(shù)方程，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標方程即可；（2）利用曲線C的參數(shù)方程求出點P到直線l的距離d，計算|PA|=，利用三角函數(shù)的恒等變換求出它的最大與最小值即可．解答：解：（1）∵曲線C：，∴C的參數(shù)方程為，θ為參數(shù)；又直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），化為普通方程是l：y=2﹣x，把代入得，ρsinθ=2﹣ρcosθ，化簡，得ρ（sinθ+cosθ）=2，即ρsin（θ+）=1，∴直線l的極坐標方程為ρsin（θ+）=1；（2）設曲線C上任意一點P（2cosθ，sinθ），則點P到直線l的距離為d==，∴|PA|==2d=|sin（θ+α）﹣2|，其中α為銳角，當sin（θ+α）=﹣1時，|PA|取得最大值，為+2；當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，為﹣2．點評：本題考查了直線與橢圓的參數(shù)方程和極坐標的應用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換的應用問題，是綜合性題目．20.已知是函數(shù)的極值點.（Ⅰ）求實數(shù)a的值；（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點，且.（參考數(shù)據(jù)：，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【分析】(Ⅰ)根據(jù)，求得實數(shù)的值，通過導數(shù)驗證函數(shù)單調(diào)，可知時極值點為，滿足題意；(Ⅱ)由(Ⅰ)函數(shù)的極小點值位于，此時的零點位于，且此為的極小點值點，代入，中，化簡即可得到關于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)在區(qū)間上的值域即可證明結論?！驹斀狻拷猓?Ⅰ)因為，且是極值點，所以，所以.此時，設，則.則當時，為減函數(shù).又，所以在時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù).所以為的極大值點，符合題意.（Ⅱ）當時，，為增函數(shù)，且，所以存在當時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點.又，已知，可得，所以，所以，且滿足.所以.其中也可以用如下方式證明：，設，則.則當時，，為減函數(shù)；當時，，為增函數(shù).所以所以在，所以【點睛】本題考查利用函數(shù)極值與導數(shù)關系的綜合應用問題，解決本題的關鍵是能夠利用零點存在定理確定零點處理問題，從而可將證明問題轉(zhuǎn)化為某一個區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)值域問題的求解，考查了學生基本計算能力以及轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于難題。21.如圖，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有，，.（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）由平面幾何知識可得，再由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得結論；（2）取中點為，可得，從而有平面，以為原點，為軸建立空間直角坐標系(如圖)，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角得出二面角（注意二面角是銳角還是鈍角）.【詳解】（1）證明：取中點，連接，則四邊形為菱形，即有，所以.又平面，平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得，取中點，連接，則，，又平面，平面平面，平面平面，∴平面.以為原點建系如圖，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，取，得.設平面的法向量為，則，取，，.∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定與求二面角.在立體幾何證明中，得出結論時，注意定理的條件要寫全，否則證明過程不全面.求空間角問題，可用向量法求解，即建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角與空間角的關系求解，這里對學生的計算能力要求較高.22.在直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點P（﹣1，0），其傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；（2）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍．參考答案：考點：直線與圓的位置關系；簡單曲線的極坐標方程．專題：直線與圓．分析：（1）先根據(jù)極坐標與直角坐標互化的公式，算出曲線C的直角坐標方程，再結合直線l的參數(shù)方程：，聯(lián)解得到關于參數(shù)t的二次方程，運用根的判別式列式并解之，即可得到角α的取值范圍；（2）由（1）可得曲線C的參數(shù)方程，從而得到x+y=3+2sin（θ+），最后結合正弦函數(shù)的值域，即可得到x+y的取值范圍．解答： 解：（1）將曲線ρ2﹣6ρcosθ+5=0化