專題一數(shù)學思想方法課件專題一數(shù)學思想方法課件數(shù)學思想方法是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識中，經(jīng)過思維活動產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識.

數(shù)學思想：是對數(shù)學內(nèi)容的進一步提煉和概括，是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，帶有普遍的指導意義，是建立數(shù)學模型和用數(shù)學解決問題的指導思想.

數(shù)學思想方法是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人數(shù)學方法：是指從數(shù)學角度提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等.

數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，兩者的本質(zhì)相同，只是站在不同的角度看問題，故?；旆Q為“數(shù)學思想方法”.初中數(shù)學中的主要數(shù)學思想方法有：數(shù)學方法：是指從數(shù)學角度提出問題、解決問題過程中所采①化歸與轉(zhuǎn)化思想；②方程與函數(shù)思想；③數(shù)形結(jié)合思想；④分類討論思想；⑤統(tǒng)計思想；⑥整體思想；⑦消元法；⑧配方法；⑨待定系數(shù)法等.

①化歸與轉(zhuǎn)化思想；專題一數(shù)學思想方法課件分類討論思想方法分類討論思想是指當數(shù)學問題不宜統(tǒng)一方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，按照一定的分類方法或標準,將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案的思想.分類討論思想方法分類討論思想是指當數(shù)學問題不宜統(tǒng)一方分類原則：(1)分類中的每一部分都是相互獨立的；(2)一次分類必須是同一個標準；(3)分類討論應逐級進行.分類思想有利于完整地考慮問題，化整為零地解決問題.分類原則：分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)、幾何的各個數(shù)學知識板塊，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需有扎實的基礎(chǔ)知識和靈活的思維方式，對問題進行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全.

分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)【例1】(2011·金華中考)如圖，在平面直角坐標系中，點A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.

【例1】(2011·金華中考)如(1)當∠AOB=30°，求弧AB的長度；(2)當DE=8時，求線段EF的長;(3)在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.(1)當∠AOB=30°，求弧AB的長度；【思路點撥】(1)(2)(3)【思路點撥】(1)【自主解答】(1)連接BC，∵A(10,0),∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的長【自主解答】(1)連接BC，∵A(10,0),∴OA=10,(2)連接OD，∵OA是⊙C的直徑，∴∠OBA=90°，(2)連接OD，又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分線，∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，∴AE=AO-OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB,∠OEF=∠DEA,得△OEF∽△DEA,∴又∵AB=BD,(3)設(shè)OE=x,①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即∴(3)設(shè)OE=x,當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x,∴CF∥AB，有∵△ECF∽△EAD,當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x,②當交點E在點C的右側(cè)時，∵∠ECF>∠BOA,∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO,連接BE,∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∴CF∥BE，∴②當交點E在點C的右側(cè)時，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，∴△CEF∽△AED,∴而AD=2BE,∴∵∠ECF=∠BAO，③當交點E在點O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO連結(jié)BE，得∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴③當交點E在點O的左側(cè)時，又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90°,∴△CEF∽△AED,∴而AD=2BE，又∵∠ECF=∠BAO,∵點E在x軸負半軸上，∴綜上所述，存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為：∵點E在x軸負半軸上，∴1.(2010·成都中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=90°,AB=BC,D是⊙O上與點B關(guān)于圓心O成中心對稱的點，P是BC邊上一點，連結(jié)AD、DC、AP，已知AB=8，CP=2，Q是線段AP上一動點，連結(jié)BQ并延長交四邊形ABCD的一邊于點R，且滿足AP=BR，則的值為_______.1.(2010·成都中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=專題一數(shù)學思想方法課件【解析】由題意知，四邊形ABCD是正方形，根據(jù)勾股定理得：由AP=BR可知有兩種情況：【解析】由題意知，四邊形ABCD是正方形，根據(jù)勾股定理(1)如圖1，當R在AD上時，由AB=BC，AP=BR，∠ABC=∠BAD=90°,得△ABP≌△BAR.∴AR=BP.又∵AR∥BP,∴BQ=QR=5,即(1)如圖1，當R在AD上時，由AB=BC，AP=BR，∠A(2)如圖2，當R在CD上時，同理可得△ABP≌△BCR,∴∠RBC=∠PAB,∴∠RBC+∠APB=∠PAB+∠APB=90°,∴BR⊥AQ,∴BQ·AP=AB·BP，∴BQ=4.8,∴QR=5.2.∴答案：(2)如圖2，當R在CD上時，同理可得△ABP≌△BCR,2.(2010·東營中考)如圖所示的矩形包書紙中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四個角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度.(1)設(shè)課本的長為acm,寬為bcm,厚為ccm,如果按如圖所示的包書方式，將封面和封底各折進去3cm,用含a,b,c的代數(shù)式，分別表示滿足要求的矩形包書紙的長與寬；2.(2010·東營中考)如圖所示的矩形包書紙中，虛線是折痕(2)現(xiàn)有一本長為19cm，寬為16cm，厚為6cm的字典，你能用一張長為43cm,寬為26cm的矩形紙，按圖所示的方法包好這本字典，并使折疊進去的寬度不小于3cm嗎？請說明理由.(2)現(xiàn)有一本長為19cm，寬為16cm，厚為6【解析】(1)矩形包書紙的長為(2b+c+6)cm,矩形包書紙的寬為(a+6)cm.(2)設(shè)折疊進去的寬度為xcm,分兩種情況：①當字典的長與矩形紙的寬方向一致時，根據(jù)題意，得解得x≤2.5.所以不能包好這本字典.【解析】(1)矩形包書紙的長為(2b+c+6)cm,矩形包②當字典的長與矩形紙的長方向一致時，同理可得x≤-6.所以不能包好這本字典.綜上，所給矩形紙不能包好這本字典.②當字典的長與矩形紙的長方向一致時，同理可得3.(2011·江西中考)將拋物線沿x軸翻折，得拋物線C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線C2的表達式.(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.3.(2011·江西中考)將拋物線①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；【解析】(1)(2)①令得x1=-1,x2=1,則拋物線C1與x軸的兩個交點坐標為(-1，0)，(1，0).∴A(-1-m,0),B(1-m,0).同理得D(-1+m,0),E(1+m,0)當時，如圖①，(-1+m)-(-1-m)∴【解析】(1)當時，如圖②，(1-m)-(-1-m)∴當或2時，B、D是線段AE的三等分點.當時，如圖②，(1-m)-(-1-m)②存在.理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：M().而M，N關(guān)于原點O對稱，∴OM=ON.∵A(-1-m,0),E(1+m,0),∴A,E關(guān)于原點O對稱，∴OA=OE，∴四邊形ANEM為平行四邊形.要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA，即(-m)2+∴m=1.∴當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.②存在.理由：連接AN、NE、EM、MA.依題意可得：數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決的思想方法.在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾為圖形性質(zhì)的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡便易行的方法.數(shù)形結(jié)合思想方法是初中數(shù)學中一種重要的思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：一是利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題，它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；二是運用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題，常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.為圖形性質(zhì)的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，【例2】(2010·曲靖中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=(x-h)2+k,所得拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)與y軸交于點C，頂點為D.【例2】(2010·曲靖中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中(1)求h、k的值；(2)判斷△ACD的形狀，并說明理由；(3)在線段AC上是否存在點M，使△AOM與△ABC相似.若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.(1)求h、k的值；【思路點撥】(1)(2)【思路點撥】(1)(3)(3)【自主解答】(1)∵y=x2的頂點坐標為(0,0),∴y=(x-h)2+k的頂點坐標D(-1,-4),∴h=-1,k=-4.【自主解答】(1)∵y=x2的頂點坐標為(0,0),(2)由(1)得y=(x+1)2-4.當y=0時,(x+1)2-4=0,x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).當x=0時,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3,∴C點坐標為(0，-3).又∵頂點坐標D(-1,-4),作出拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E.作DF⊥y軸于點F.(2)由(1)得y=(x+1)2-4.在Rt△AED中，AD2=22+42=20；在Rt△AOC中，AC2=32+32=18；在Rt△CFD中，CD2=12+12=2；∵AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形.在Rt△AED中，(3)存在.由(2)知，△AOC為等腰直角三角形，∠BAC=45°,在AC上取點M，連接OM，過M點作MG⊥AB于點G,①若△AOM∽△ABC,(3)存在.∵MG⊥AB,∴AG2+MG2=AM2,∵M點在第三象限，∴∵MG⊥AB,②若△AOM∽△ACB，OG=AO-AG=3-2=1.②若△AOM∽△ACB，∵M點在第三象限，∴M(-1，-2).綜上①、②所述，存在點M使△AOM與△ABC相似，且這樣的點有兩個，其坐標分別為∵M點在第三象限，4.(2010·十堰中考)如圖，點C、D是以線段AB為公共弦的兩條圓弧的中點，AB=4，點E、F分別是線段CD、AB上的動點，設(shè)AF=x，AE2-FE2=y,則能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是(

)4.(2010·十堰中考)如圖，點C、D是以線段AB為公共弦專題一數(shù)學思想方法課件【解析】選C.延長CD交AB于點G，則CG⊥AB，AG=BG=2，∴AE2-FE2=EG2+AG2-(EG2+FG2)=4-FG2=4-(2-x)2=-x2+4x,∴y=-x2+4x.且根據(jù)題意知x≥0,y≥0.故選C.【解析】選C.延長CD交AB于點G，5.(2011·威海中考)如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK.5.(2011·威海中考)如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD(1)若∠1=70°,求∠MKN的度數(shù);(2)△MNK的面積能否小于?若能,求出此時∠1的度數(shù);若不能,試說明理由;(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大?請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況,求最大值.(1)若∠1=70°,求∠MKN的度數(shù);【解析】(1)∵四邊形ABCD為矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1，∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN.∵∠1=70°.∴∠KNM=∠KMN=70°.∴∠MKN=40°.【解析】(1)∵四邊形ABCD為矩形，(2)不能.過M點作ME⊥DN，垂足為點E，則ME=AD=1.由(1)知：∠KNM=∠KMN.∴MK=NK又MK≥ME,∴NK≥1.∴△MNK的面積最小值為不可能小于(2)不能.(3)分兩種情況：情況一：將矩形紙片對折，使點B與點D重合，此時點K也與D重合.設(shè)MK=MD=x,則AM=5-x，(3)分兩種情況：由勾股定理，得12+(5-x)2=x2.解得,x=2.6.MD=ND=2.6.由勾股定理，得情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC.設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=5-x.同理可得MK=NK=2.6,△MNK面積的最大值為1.3.情況二：將矩形紙片沿對角6.(2010·臨沂中考)如圖，二次函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象與x軸交于A、B(2，0)兩點，且與y軸交于點C；(1)求該拋物線的關(guān)系式，并判斷△ABC的形狀；(2)在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；6.(2010·臨沂中考)如圖，二次函數(shù)y=-x2+ax+b(3)在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由.(3)在此拋物線上是否存在點P，使得以A、C、B、P四點為頂【解析】(1)根據(jù)題意，將A(0)，B(2，0)代入y=-x2+ax+b中，得解這個方程組，得∴該拋物線的關(guān)系式為當x=0時，y=1,∴點C的坐標為(0,1),【解析】(1)根據(jù)題意，將A(0)，B(2，0)代入∴在△AOC中，在△BOC中，∴△ABC是直角三角形.(2)D點的坐標為∴在△AOC中，(3)存在.由(1)知，AC⊥BC.①若以BC為底邊，則BC∥AP，如圖1所示，可求得直線BC的關(guān)系式為直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的關(guān)系式為把點代入直線AP的關(guān)系式，求得∴直線AP的關(guān)系式為(3)存在.由(1)知，AC⊥BC.∵點P既在拋物線上，又在直線AP上，∴點P的縱坐標相等，∵點P既在拋物線上，又在直線AP上，②若以AC為底邊，則BP∥AC，如圖2所示.可求得直線AC的關(guān)系式為y=2x+1.直線BP可以看作是由直線AC平移得到的,所以設(shè)直線BP的關(guān)系式為y=2x+b，把點B(2,0)代入直線BP的關(guān)系式，求得b=-4,∴直線BP的關(guān)系式為y=2x-4.②若以AC為底邊，則BP∥AC，如圖2所示.∵點P既在拋物線上，又在直線BP上，∴點P的縱坐標相等,∵點P既在拋物線上，又在直線BP上，當∴點P的坐標為綜上所述，滿足題目條件的點P為()或().當化歸思想是一種最基本的數(shù)學思想，用于解決問題時的基本思路是化未知為已知，把復雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實際問題數(shù)學化，實現(xiàn)不同的數(shù)學問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可循，容易解決的問題的思想.化歸轉(zhuǎn)化思想化歸思想是一種最基本的數(shù)學思想，用于解決問題時的基本【例3】(2009·泉州中考)如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米.(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示)；【例3】(2009·泉州中考)如圖，等腰梯形花圃ABCD的底(2)若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2.①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量x的取值范圍)，并求當時x的值；②如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？(2)若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2.【思路點撥】(1)(2)①作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F②【思路點撥】(1)【自主解答】(1)∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=(40-2x)米.【自主解答】(1)∵AB=CD=x米，(2)①如圖，過點B、C分別作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°，(2)①如圖，過點B、C分別作BE⊥AD又EF=BC=40-2x,∴AD=AE+EF+DF=解得：x1=6，(舍去)，∴x=6.又EF=BC=40-2x,②由題意，得40-x≤24，解得x≥16,結(jié)合①得16≤x＜20.∴函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段，其對稱軸為②由題意，得40-x≤24，解得x≥16,∵由上圖可知，當16≤x＜20時，S隨x的增大而減小，∴當x=16時，S取得最大值.此時，∵由上圖可知，7.(2010·眉山中考)如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°,∠C=60°,AD=4,則下底BC的長為_____.

7.(2010·眉山中考)如圖，已知梯形ABCD中，AD∥B【解析】過點A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，則四邊形AEFD是矩形，∴AE=DF，EF=AD=4，在Rt△ABE中，【解析】過點A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E∴DF=AE=∴在Rt△DCF中，答案：10∴DF=AE=8.(2011·紹興中考)數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題目.小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：8.(2011·紹興中考)數(shù)學課上，李老師出示了如下框中的題(1)特殊情況，探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE______DB(填“＞”、“＜”或“=”).(1)特殊情況，探索結(jié)論(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE______DB(填“＞”、“＜”或“=”).理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計新題.在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長.(請你直接寫出結(jié)果).(2)特例啟發(fā)，解答題目【解析】(1)=(2)=方法一：在等邊三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,∴△AEF為等邊三角形,∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF,【解析】(1)=又∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE,∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=BD.又∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,方法二：在等邊三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,∠ABD=120°,∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠ACE,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠ACE,方法二：在等邊三角形ABC中,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,∴△AEF是正三角形，∠EFC=180°-∠ACB=120°=∠ABD,∴△EFC≌△DBE,∴DB=EF,而由△AEF是正三角形可得EF=AE.∴AE=DB.(3)1或3.∵EF∥BC,9.(2010·威海中考)(1)探究新知：①如圖，已知AD∥BC,AD=BC，點M，N是直線CD上任意兩點.求證：△ABM與△ABN的面積相等.9.(2010·威海中考)(1)探究新知：②如圖，已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點.試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由.②如圖，已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD(2)結(jié)論應用：如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點D.試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.(友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論.)(2)結(jié)論應用：【解析】(1)①分別過點M,N作ME⊥AB，NF⊥AB,垂足分別為點E,F.∵AD∥BC,AD=BC,∴四邊形ABCD為平行